2022年三角恒等變換各種題型歸納分析

1、三角恒等變換 一、學(xué)問點：（一）公式回憶：coscoscossinsin. 簡 記 ： C（）sinsincoscossin. 簡 記 ： S（）tantantan,簡 記 ：T1tantansin22sincos, 簡 記S2k2）,簡 記T2cos2cos2sin2,簡 記C2tan212tan2k4且tan2cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2二倍角公式不僅限于2 是 的二倍的形式,其它如4 是 2 的兩倍, /2 是 /4的兩倍, 3 是 3 /2 的兩倍, /3 是 /6 的兩倍等,全部這些都可以應(yīng)用二倍角公 式；因此,要懂得“ 二倍角 ” 的含義,即當 =2

2、時, 就是 的二倍角；凡是符合 二倍角關(guān)系的就可以應(yīng)用二倍角公式；（二）公式的變式cos21cosa2cos21cos21sin2sin21cos 222 cos1cos22sin2sin21coscos21cos222tan2sin21cossin21cos221sincos1costan21cos21coscossin公式前的號,取決于合一公式：xa2b2所在的象限,留意爭辯.ab2sinxa2bb2cosasinxbcosxa2b2sinx其中tanba二典例剖析：基礎(chǔ)題型題型一：公式的簡潔運用例 1: 課本例題 已知sin25 13,424,2,求sin4,cos4,tan4.y .同

3、型練習(xí) 已知cos212,22,求sin,cos,tan.213課本例題在tan2A2B.ABC中,cosAtanB2,求53,x1,求提高練習(xí) 已知sinx,tany tanx,52題型二：公式的逆向運用例 2: 1 . 求以下各式的值：; 2 12tan 15; 3 12sin275 1sin22 5.cos22 5.2 tan152 . 化簡以下各式： 1sin424 cos2;2 1tan 2 32tan 32; 3 sin4cos43 . 求值：1cos 12cos5;2 cos 36cos7212題型三：升降冪功能與平方功能的應(yīng)用例 3. 1. 化簡以下各式：1sin;21sin2

4、cos 2x.1 1sin40;2 3 1cos 20;4 1cos;2 .化簡： 1 1sin2cos 21sin2cos 21sin2cos 23 . 已知sinxcos x1 3, 0 x,求sin2x 和cos 2提高題型：題型一：合一變換例 1 1.sin1233cos12, 13sin2 13cos2有最大值？并求這個最大值.2 . 當銳角取何值時sinx103. 求y5sinx70 的最大值.方法：角不同的時候,能合一變換嗎？.4 求函數(shù)y2sinx102cos x55 的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值時的x 的值.5 .fxasinxbcosx ,當f31 且fx 的最

5、小值為k 時,求k 的取值范疇.6 求函數(shù)y32sinx的值域.22cosx方法：1.轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的最值2.合一變換 +有界性 3.萬能公式換元為二次分式題型 2：角的變換（ 1）把要求的角用已知角表示 例 2 1. 已知,為銳角,sin8,cos2321,求cos的值.2的值.,求cos2.17294,tan1,求cos的值類似題,為銳角,cos532. 已知23,sin,cos12,求cos4513類似題 已知cos21,sin2,且2,0293方法： 1、想想常見的角的變換有哪些？2、求值時留意爭辯爭辯角的范疇；3.cos43,sin512,且0 ,4,34,3.,求sin,求.541

6、34類似題 已知4,3,0,4,cos42,sin3 45sin45134. 已知sin22sin,求證：tan3tan.5tan2類似題 已知7sin3sin,求證：2tan2證明的方法也是角的變換：把要求證的角轉(zhuǎn)化為已知的角. （2）互余與互補1. 已知cosxm ,就sin2x4_.2. 化簡：3tan6,27,求sin2x2sin2x13cot33. 已知sin4x3,求sin2x4. 已知cos4x3,且7x551241tanx方法：善于發(fā)覺補角和余角解題,關(guān)注4x,4xx三者關(guān)系題型 3：非特殊角求值例 3: 1.2cos 10sin20;類似題sin7cos15sin8cos20

7、cos7sin15sin82.1cos3;類似題sin13sin101050cos503 .tan81;類似題sin212cos 28tan124 .212sin70cot5tan 5sin1705 .tan 103cos 10sin506 . 12cos20sin10sin207 .1312 cos802 cos10cos203tan 102sin2808 .2sin50sin10 1方發(fā)： 1 削減非特殊角的數(shù)量；題型 4：式的變換1、tan 公式的變用2 留意“ 倍” 、“ 半” ；tantantantantan 1tantan141tantan41tan1tan例 4: 化簡：1.ta

8、n12tan6tan12tan6;類似題tan111tan114,tan111tan114xtan6x2 .tan18tan423tan18tan42類似題tan6xtan6x3tan63.tan20tan60tan60tan10tan10tan204. 1tan11tan2 1tan44 1tan45x5.tan 18x tan 12x3tan 18xtan 126.tanx4tan4x224,就 1tan1tan2為什么？由5可推廣：2、齊次式1 .sin12cos 12是方程6 x25x10 的兩個實數(shù)根. 求: 1 tan 的值；sin12cos 122 . 已知tan,tancos2

9、 sin2sin32 cos 的值.3、“1”的運用（ 1 sin , 1 cos 湊完全平方）2x.1. 化簡以下各式：11sin;21cos2. 化簡： 11sin2cos2;21sin2cos1sin2cos21sin2cos23. 已知sinxcosx1,0 x,求sin2x 和cos234、兩式相加減,平方相加減1. 已知sinsin3,coscos4,求cos.ABC的面積.55類似題1 已知cossin1,sincos1,求sin.23類似題2 已知sinsinsin0,coscoscos0 ,求cos.2. 已知cos1,cos3,求tantan的值.55類似題 已知sin1,

10、sin1,求tan的值.23tan3 .2022 全國 銳角ABC中 ,sinAB3,sin AB11, 求證：tanA2tanB552 如AB3 ,求AB邊上的高.類似題ABC中 ,BAC45,BC 邊上的高把BC 分成BD,2DC3 的兩部分,求5、一串特殊的連鎖反應(yīng)（角成等差,連乘）求值：. cos 36cos 72sin70cos5類似題sin6sin42sin66sin782 .sin 10sin30sin503 . cos11cos2cos3cos4 11類似題cosx 2cosx 4cosx1111112n題型 5：函數(shù)名的變換要點： 1切化弦； 2正余互化2,32例 5:1 .

11、 1如fcosxcos 17x ,求證：fsinx sin17 x 2 xR ,nZ,且fsinx sin4 n1x,求fcosx2 . 化簡22 cos113,且sin3 . 化簡sin2 1tan2tan.242tan4sin5,求 1cos; 2 cos4 . 如銳角,中意tantan73題型 6：給值求角要點：先確定角的范疇（盡可能縮?。?再選擇恰當?shù)暮瘮?shù)例 6:1 .,為銳角,cos25,sin10,求的值.的值.2,求的值.510類似題 已知,為鈍角,且sin5,sin10,求的值5102 .,為銳角,tan1,tan1,tan1,求.2583 . 已知tan1,tan1,且0 ,

12、0,求227類似題 已知04, 04,且3 sinsin 2,4tan21tan 24 . 已知3sin22sin2,1 3sin22sin20 ,為銳角,求2.題型 7：化簡與證明 方法：上述 7 類常見方法 思路：變同角,變同名,變同次 例 7:1. 已知7sin3sin,求證：2tan225tan2為 3,求a 的值.2. 化簡：11sincos1sincossincos1sincos3. 化簡1sincossin2cos2022cos4.sin2sin2cos2cos21cos2cos2.25. 化簡：1sin223cos22tan42cot 2題型 8：綜合應(yīng)用tancos24例 8

13、:x sin2xcos 2 x. 1求fx 的最小正周期；2 求 fx 的值域.1 . 設(shè)ftanxcotx.2 已知函數(shù)fx 22 cosx23sinxcosxa ,如fx 在6,3上最大值與最小值之和3 . 已知函數(shù)fx 3sin2x62sin2x12,xR .1求函數(shù)fx 的最小正周期；2 求使函數(shù)fx 取得最大值的x 的集合.4 . 06 福建 如函數(shù)fx sin2x3sinxcos x22 cosx .1求函數(shù)fx 的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； 2 函數(shù)fx 的圖象可以由函數(shù)ysin2x 的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？總結(jié)：一、 S 、 C 公式的逆向運用（1）變角,以符合公式的形式（ 2

14、）合一變換 二、角的變換 1、變換角：要點： （ 1）把要求的角用已知角表示；（2）留意角的范疇 2、互余與互補 三、非特殊角求值方向：（1）削減非特殊角的個數(shù)（2）關(guān)注倍、半角關(guān)系（3）利用一些特殊的數(shù)值四、式的變換 1、tan 公式的變用 2、齊次式 3、 “1”的運用（ 1 sin , 1 cos 湊完全平方）4、兩式相加減,平方相加減 5、一串特殊的連鎖反應(yīng)（角成等差,連乘）五、函數(shù)名的變換 要點：（1）切割化弦； （2）正余互化 六、倍、半角公式的功能（1）升降冪功能, （ 2）平方功能（七、給值求角問題1 sin , 1 cos ）要點：（1）先確定角的范疇（盡可能縮?。?（2）選擇恰當?shù)暮瘮?shù)八、化簡與證明問題思路：變同角,變同名,變同次補充公式（明白）sincos1sinsin12tan2.sinsin