2022年三角函數(shù)的易錯(cuò)點(diǎn)以及典型例題及高考真題

1、- . 三角函數(shù)的易錯(cuò)點(diǎn)以及典型例題與真題1.三 角 公 式 記 住 了 嗎 ？ 兩 角 和 與 差 的 公 式 _； 二 倍 角 公式 :_ 萬(wàn) 能 公 式_ 正 切 半 角 公 式_；解題時(shí)本著“ 三看的根本原那么來(lái)進(jìn)展 :“ 看角 ,看函數(shù),看特點(diǎn) ,根本的技巧有 :巧變角 ,公式變形使用 ,化切割為弦 ,用倍角公式將高次降次；萬(wàn)能公式：1 sin 2+cos 2=1 21+tan 2=sec 231+cot 2=csc 24對(duì)于任意非直角三角形 ,總有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證明：利用A+B= -C 同理可得證 ,當(dāng) x+y+z=n nZ時(shí),該關(guān)系式也成

2、立由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論：5cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 6cotA/2+cotB/2+cotC/2=cotA/2cotB/2cotC/2 7cosA2+cosB2+cosC2=1-2cosAcosBcosC 8sinA2+sinB2+sinC2=2+2cosAcosBcosC 9設(shè) tanA/2=t sinA=2t/1+t2 A 2k+ ,kZtanA=2t/1-t2 A 2k+ ,kZcosA=1-t2/1+t2 A 2k+ ,且A k+/2 kZ- -.可修編 - . - . 2.在解三角問題時(shí),你留意到正切函

3、數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎？正切函數(shù)在整 個(gè)定義域是否為單調(diào)函數(shù)？你留意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎？3.在三角中,你知道1 等于什么嗎？1sin2xcos2x2 secxtan2xtanxcotxtan4sin2cos0這些統(tǒng)稱為 1 的代換 常數(shù)“ 1 的種種代換有著廣泛的應(yīng)用 仍有同角關(guān)系公式：商的關(guān)系,倒數(shù)關(guān)系,平方關(guān)系；誘導(dǎo)公試： 奇變偶不變,符號(hào)看象限 4. 在 三 角 的 恒 等 變 形 中 , 要 特 別 注 意 角 的 各 種 變 換 如,222等5.你仍記得三角化簡(jiǎn)題的要什么嗎？項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少、分母不含三角函數(shù)、且能求出值的式子,肯定要算出值來(lái)6.你仍記得三角化簡(jiǎn)

4、的通性通法嗎？切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特別角 . 異角化同角,異名化同名,高次化低次；你仍記得降冪公式嗎？cos 2x=1+cos2x/2;sin 2x=1-cos2x/2 7.你仍記得某些特別角的三角函數(shù)值嗎？sin15cos75642,sin75cos15642,sin1851a, b 48.你仍記得在弧度制下弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？lr,S 扇形1lr 29. 幫助角公式：asinxbcosxa2b2sinx其中角所在的象限由的符號(hào)確定,角的值 由tanb確定在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用. a10.三角函數(shù)正弦、余弦、正切圖象的草圖能快速畫出嗎？能寫出他們的單調(diào)區(qū)、對(duì)稱軸

5、、對(duì)稱中心,取最值時(shí)的x 值的集合嗎？別忘了kZ三角函數(shù)性質(zhì)要記牢；函數(shù)y=Asinxk 的圖象及性質(zhì)：-.可修編 - . - - . 振幅|A| ,周期 T= 2 , 假設(shè) x=x 0 為此函數(shù)的對(duì)稱軸,那么 x0 是使 y 取到最值的點(diǎn),反之亦然,使 y 取到最值的 x 的集合為,當(dāng),0 A 0 時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為；當(dāng) 0 時(shí)要利用誘導(dǎo)公式將 變?yōu)榇笥诹愫笤儆蒙厦娴慕Y(jié)論；五點(diǎn)作圖法：令 x 依次為 0 , , 32, 求出 x 與 y,依點(diǎn) x, y 作圖2 2留意 1x 的整體化法思維求單調(diào)性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、值域等；2用換元法時(shí),留意新的定義域圍；11.三角函數(shù)圖像變換仍記得

6、嗎？平移公式 1假如點(diǎn)Px,y按向量ah ,k平移至 P x ,y ,那么xxh,平移后的方程為 fx-h,y-k=0 yyk.（2） 曲線 fx,y=0 沿向量ah,k12.解三角形的幾個(gè)結(jié)論： 1 正弦定理 : 2 余弦定理 : 3面積公式13.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時(shí),你是否注 意到它們各自的取值圍及意義？異面直線所成的角、直線與平面所成的角、向量的夾角的取值圍依次是0,2,0,2,0,；,0,0,0,2；直線的傾斜角、1l 到2l 的角、1l 與2l 的夾角的取值圍依次是,2,2；反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值圍分別是2,2,0- -.可修編 - .

7、- . 14.三角函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)的典型例題（1）隱含條件例 1設(shè) 0,sincos1 2,那么cos2的值為；錯(cuò)解：sin23,022,cos27 4；4正解：sin0,cos0且sincos10,223,23,cos2tan7 4；42cosx7x,那么例 11sinx,0 x；13錯(cuò)解：12或5 12；5正解：12；5例 1-2.一組似是而非的問題在 ABC 中,cos A3,sin B5,求sinC的值；15 13212,513在 ABC 中,cos A3,sin B5,求cosC的值；513在 ABC 中,sin A4,cosB12,求sinC的值；513解0A,0B,sinA1cos 2

8、 A1324,cosB1sin2 B5513sinCsinAB,BsinABsinAcosBcosAsinsinC4123563,或sin C4123533 65,51351365513513-.可修編 - . sin C0,sin C63；又 C 為三角形的角,65解：0A,0B,- - ,cosB1sin. 21212 13,sinA1cos 2 A13242 B15 1355cosCcosABcosABcosAcosBsinAsinB,時(shí) , 當(dāng)cos B12時(shí) ,cosC3124516； 當(dāng)cosB135135136513cosC3124556,51351365BcosC5612cos

9、Bcos651316 65；CB,即BC,cosC注：舍去增解是難點(diǎn),可利用單位圓中的余弦線段先作直觀判定；解：0A,0B,23,sinB31cos 2 B112 1325,cosA1sin2 A145513sinCsinABsinABsinAcosBcosAsinB,sinC4123563 65,或sin C412533；51351351351365注：此題兩解均成立；假設(shè)求sinC,必為兩情形之一：兩解均成立或一解為負(fù)值；tan, tan,且、例 2方程x24ax3 a10 a 為大于1 的常數(shù)的兩根為2,2,那么tan2的值是；0,tan2的值是 2；0知：22錯(cuò)解：1 或 2；2正解：

10、由tan0,tan例 21.tan和tan40的兩根,那么p 、 q 間的關(guān)系是是方程x2pxqApq10Bpq10Cpq10Dpq10答案： C；例 22.tanxtany25,cotxcoty30,那么tanxy-.可修編 - . - - . A120B150C 180D200 答案： B；（2）綜合應(yīng)用題型時(shí),留意考慮全例 3.關(guān)于 x 的方程x2xsin2sincot0的兩根為、,且022；假設(shè)數(shù)列 1,11,112, ,的前100 項(xiàng)和為 0,求的值；sin,錯(cuò)解：由韋達(dá)定理知：sin2,cos,11由S 100112sin1000得sin1,02,6或5或72sin266或11；6

11、正解：1當(dāng)q1與q1時(shí),等比數(shù)列的求和公式不同；2方程有解仍應(yīng)考慮 0；11；6（3）去肯定值要留意分類爭(zhēng)論例 4假設(shè)cotm,2,那么 cos；cos0,錯(cuò)解：由1cot2csc2解得sin2112,mcos21m22,cos1m221m2；mmm正解：cos1m221m2；mm當(dāng)m0時(shí),為第三象限角,cos0,當(dāng)m0時(shí),為第四象限角,當(dāng)m0時(shí),cos0；-.可修編 - . 例 4-1 假設(shè) xyA 定值,那么 sinxsiny 的最大值為；y2cosx2ysinx2y2cosx2ysinA ,錯(cuò)解： sinxsin- - 0. 10. sinxsiny 的最大值為 2sin A ；正解：

12、| 2sinA ；4留意 tan 的分式表達(dá)形式是否分類爭(zhēng)論分母為例 5. 終邊上一點(diǎn)P x , 5,且cos2x 求 sin. 4錯(cuò)解：sintancos52x10；x44正解： 假設(shè)x0時(shí),cos0,sin1當(dāng) x 0 時(shí),sintancos52xx445式子處理考慮要全面例 6.1cos21sin2cos2 k,kZ,.求的取值圍 . tancot2錯(cuò)解：cos |cos |sin|sin2 | cos2 sin,cos0,k3,kZsin022k2k,kZ2 k,2k2正解分析： cos0,| cos| sin時(shí)也成立, 故為24例 6-1.sinsin=1 ,求 cos 2cos的取

13、值圍；+coscos=m+1-.可修編 - . 解：令 coscos=m 那么 sinsin2cos =m+1m= cos 1 223-1cos 1 -3m1221 2m分析：又由coscossinsinm1 ,同理得 22- - 1m1；. 226式子處理導(dǎo)致有增根要代入驗(yàn)證例 7.在ABC 中,3sinA4cosB6,4sinB3cosA1,求 C 的大小 . 解：兩式平方相加：sinAB1 2, A30 0,或 A150 0； C30 0；當(dāng) A30 0時(shí),4sinB3cosA0 4sin 03cos3001故應(yīng)舍去；注：舍去 A300對(duì)同學(xué)來(lái)說是一個(gè)難點(diǎn)；（7）留意換元后的取值圍例 8

14、.sinxsiny1,求sinx2 cosy 的最大值和最小值；1；3錯(cuò)解一：sinx2 cosysinx1211,612當(dāng)sinx1時(shí),取得最小值11；當(dāng) sinx1時(shí),取得最大值612錯(cuò)解二：sinx2 cosycosx1211,4 3；2121時(shí),取得最小值11；當(dāng) cosx1時(shí),取得最大值當(dāng)cosx212正解分析：解法二忽視了圍限制,應(yīng)由11xsiny1y1得：2siny1；sin1sin3315.三角函數(shù)高考真題集合- -.可修編 - . - - . -.可修編 - . - - . -.可修編 - . - - . -.可修編 - . - . 真題集合答案12022年 1 卷理科 17 題22022年 2 卷理科 17 題32022年 3 卷理科 17 題- -.可修編 - . - . 42022年文科 1 卷 11 題：C=30 度；所以選 B 52022年文科 2 卷 16 題：B=60 度；62022年文科 3 卷 15 題：A=75 度；72022年理科 1 卷 17 題82022年理科 2 卷 13 題：- -.可修編 - . - . 92022年理科 3 卷 8 題：1