量子力學(xué)考研2021量子力學(xué)導(dǎo)論考研真題解析

1、子力學(xué)考研2021 子力學(xué)導(dǎo)論考研真題解析解析】0粒子在勢場態(tài)能量。中國科學(xué)院2006研解題思路】利用不確定關(guān)系求解哈密頓量的最小值I問題。根據(jù)不確定原理有因為所以只需要求解出IAx = (-所以基態(tài)能量為【知識儲備】 若F,G = 0,則算符F和G有共同的本征函數(shù)系；其逆定理也成立。對易算符的性質(zhì)：在F和G的共同本征函數(shù)系中測量F和G,都有確定值。若F，G/0，則有不確定關(guān)系或(向s&E快？經(jīng)常使用的關(guān)系式21設(shè)粒子所處的夕卜場均勻但與時間有關(guān)，即 W ,與坐標(biāo)r無關(guān)，試將體系 的含時薛定諤方程分離變量，求方程解 ,一的一般形式，并取=皿* , 以一維情況為例說明V(t )的影響是什么。中國

2、科學(xué)院2006研【解題思路】理解記憶含時薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程，以及分離變量法在求解薛定諤方程 時的應(yīng)用?！窘馕觥扛鶕?jù)含時薛定諤方程帶入可得上式左邊是關(guān)于時間t的函數(shù)，右邊是關(guān)于坐標(biāo)r的函數(shù)，因此令它們等于常數(shù)s，得所以因此|*+ |ihWE C =峋）段）=exp（1 ） exp W 一般情況下，若所求解能量的本征值是不連續(xù)的，則最后的波函數(shù)寫成各個能量 定態(tài)波函數(shù)的求和形式；如果能量是連續(xù)值，則相應(yīng)的寫成積分形式。【拓展發(fā)散】當(dāng)粒子所處的夕卜場與時間和位置坐標(biāo)都有關(guān)，即一，可以利用題解相 同的方式去探索波函數(shù)的具體形式，并且和定態(tài)以及只與時間有關(guān)的兩種情形相 比較，得出在這些不同情況下

3、相應(yīng)的勢場函數(shù)的具體形式變化對波函數(shù)的影響。 22設(shè)U為幺正算符，若存在兩個厄米算符A和B,使U=A + iB，試證： (1)A2 + B2 = 1，且一二二二：；(2 )進(jìn)一步再證明U可以表示成M , H為厄米算符。中國科學(xué)院2006研 【解題思路】理解厄米算符和幺正算符的定義和物理含義，并注意辨析它們之間的區(qū)別，不要 混淆?！窘馕觥恳驗閁為幺正算符，所以I =1和- =1 ,由一一一 =1可得(應(yīng) + 沼(A + iB) = (X +沼)=T i 4 = 1由二：可得B=(+ 謁+ 話)=(+ 沼乂應(yīng)謁)=甘 + # T 43 = 1因此A2+32 =1因為 =1 所以算符A和算符B有共同

4、的本征函數(shù)，即.：,，三.二因為才1+B J所以(泌+在渺=(必+礦垣=即/十臚=1所以U.= (A-弟)# = (a ib) - 一、1 稅i -活)砂=(右=(cos 0 isind)=泠=舟敢其中，三：=二【知識儲備】幺正算符S+=S-i厄米算符A =A23粒子在一維無限深方勢阱中運(yùn)動，受到微擾“=切缶心曲的作用，求第n個能級的一級近似，并分析所得結(jié)果的適用條件。中國科學(xué)院2006研【解題思路】對于在一維無限深方勢阱中運(yùn)動的粒子，可以通過定態(tài)薛定諤方程求解本征值和 本征波函數(shù)，而在受到微擾后，可以直接利用定態(tài)非簡并微擾理論求解修正的能 量和波函數(shù)?！窘馕觥吭谝痪S無限深方勢阱中運(yùn)動的粒子受

5、到的勢能函數(shù)為所以利用定態(tài)薛定諤方程可得對應(yīng)的本征波函數(shù)和本征值分別為當(dāng)粒子受到微擾二二二一時，利用定態(tài)非簡并微擾理可得一級修正為=j以驢三愆必&+ 件娘號s - &材法相應(yīng)的適用條件所以【知識儲備】一維無限深方勢阱在阱內(nèi)（|x| a)，體系所滿足的定態(tài)薛定諤方程是，定態(tài)薛定諤方程是體系的能量本征值本征函數(shù)定態(tài)非簡并微擾理論微擾作用下的哈密頓量第n個能級的近似表示波函數(shù)的近似表示【拓展發(fā)散】在同樣的物理模型和情形下，改變微擾的具體形式，可以用同樣方式求解修正的能量和波函數(shù)，如果微擾是含時微擾，則可以用含時微擾理論求解躍遷幾率。V24粒子以能量E入射一維方勢壘，0 X ?:土，設(shè)能量三二，求透射

6、系數(shù)T。中國科學(xué)院2006研 【解題思路】 對于已知勢場具體表達(dá)式的情況，明顯利用薛定諤方程求解本征波函數(shù)和本征 值，在勢壘存在時，根據(jù)透射系數(shù)和反射系數(shù)的定義式求解相應(yīng)的結(jié)果?！窘馕觥繉τ谌肷湟痪S方勢壘的粒子，由定態(tài)薛定諤方程可得當(dāng)乂 0 時，-=：令得當(dāng)：忸.-.土 二時，二;，=j令當(dāng)乂3 時，-=：由波函數(shù)在x = 0處的連續(xù)性可得由波函數(shù)在x = 0處的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性可得由波函數(shù)在x = a處的連續(xù)性可得由波函數(shù)在x = a處的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性可得整理可得n _M庭A小透射系數(shù)為丁 =生=折=口7；（尸+ /）七（做矽+ Akrcr【知識儲備】 定態(tài)薛定諤方程孑頃3）=頃）方形勢壘0. Qr

7、心）在量子力學(xué)中，與經(jīng)典物理顯著不同的是，能量E大于U0的粒子有可能越過勢 壘，但也有可能被反射回來；而能量E小于U。的粒子有可能被勢壘反射回來， 但也有可能貫穿勢壘而運(yùn)動到勢壘右邊x a的區(qū)域中去。當(dāng)EU0,透射系數(shù)D表示貫穿到x a區(qū)域的粒子在單位時間內(nèi)流過垂直于x 方向的單位面積的數(shù)目，與入射粒子（在xa區(qū)域，另一部分被勢壘反射回去?！就卣拱l(fā)散】對于粒子入射方勢壘的物理模型，分別假設(shè)EV和E0時，再加上弱磁場三二三.3 ：，求t0時的波函數(shù)，以及測到自旋反轉(zhuǎn)的概率。中國科 學(xué)院2006研 【解題思路】在原置于磁場中的零電荷的粒子上，加載一個恒定的弱磁場，可以利用含時微擾理論，求解粒子自旋

8、狀態(tài)的反轉(zhuǎn)概率?！窘馕觥吭趖 = 0時，粒子在磁場中的哈密頓量為H = 逐=-四;吼粒子的處在本征態(tài)上，則相應(yīng)的能量為E或版=帆在t 0時，粒子受到弱磁場=三上,J ：的微擾，其相應(yīng)的微擾哈密頓量為H =岫=-蹌扒 1、粒子的初態(tài)為，粒子狀態(tài)反轉(zhuǎn)，其末態(tài)為。根據(jù)含時微擾理論可得相應(yīng)的躍遷概率為其中山=機(jī)電_慫）其中體系在微擾作用下由初態(tài)fk躍遷到終態(tài)fm態(tài)的概率幅為5成）站打相應(yīng)的矩陣元為I.r饑勺ig時心=（州砰 = *片（1。）吼 =-3心0% =_皿=-阿并且膈諦=ha -因此14=甘碼(壽心&二隊m升=皿 浦%g誘%所以自旋反轉(zhuǎn)的概率為吟 =MM :點(diǎn)京(1-攻?！局R儲備】自旋為1/

9、2粒子在磁場中的作用勢為I- = * ,其中5?為磁矩。含時微擾理論含時微擾體系哈密頓量AA AH(t)=H + H(t)體系波函數(shù)W所滿足的薛定諤方程為，. A . , . .一將W按H0的本征函數(shù)七展開得w 二 gg&M則在t時刻發(fā)現(xiàn)體系處于fm態(tài)的概率是|am (t)|2。. A .若體系在t = 0時處于H0的本征態(tài)fk，則口 g = %體系在微擾作用下由初態(tài)fk躍遷到終態(tài)fm態(tài)的概率幅為2 = 土氐(”帝相應(yīng)的躍遷概率為吒5=1%（就株q描瞄w ,其中編=*玨碎）【拓展發(fā)散】粒子帶上電荷，改變微擾的形式，在原有磁場的基礎(chǔ)上加一個周期性脈沖的磁場， 形成類似拉比震蕩的模式。28粒子在勢場V中運(yùn)動并處于束縛定態(tài)-中，試證明粒子所受勢場作用力的平均值為零。中國科學(xué)院2006研【解題思路】直接利用勢場中作用力的表達(dá)式，求解其平均值，然后利用與哈密頓量的對