一次方程組的古今表示及解法

1、一次方程組的古今表示及解法教學(xué)目標(biāo)：1、對同樣一個實(shí)際問題，讓學(xué)生經(jīng)歷古今幾種表示法和解法，通過觀察、比較、分析和歸納，讓學(xué)生理解一次方程組在古今表示法和解法是一脈相承的 .2、讓學(xué)生了解有關(guān)一次方程組數(shù)學(xué)史方面的知識，介紹中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成就及其蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)文化在熏陶.學(xué)情分析：七年級的學(xué)生已經(jīng)掌握二元一次方程組、 三元一次方程組的相關(guān)概念及其解法， 知道解方程組的基本思想是 消元.這對于這節(jié)課的理解和學(xué)習(xí)奠定了必要的基礎(chǔ)但是學(xué)生們對于數(shù)學(xué)文化感受較少，中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就離他們很遙遠(yuǎn)，很難有與有榮 焉的感覺，所以需要在課堂中逐漸滲透中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化 .重點(diǎn)：一次方程組古今表示法和

2、解法的相同性.難點(diǎn)：對算籌圖的理解和運(yùn)算.教學(xué)活動：活動一：導(dǎo)入1、趣題引入引言：同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過了二元一次方程組、三元一次方程組，隨著實(shí)際問題的復(fù)雜化， 我們很可能還需要用上更多元的一次方程組.其實(shí)不光我們現(xiàn)代研究一次方程組，我國古代很早就開始對一次方程組進(jìn)行研究，古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中就收錄了不少研究成果.其中“方程”章的第一個問題是這樣的：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗； 上禾二秉，中禾三 秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六 斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何.” 將其翻譯為現(xiàn)代漢語是這樣的：上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得糧食39斗；上等

3、谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得糧食34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得糧食26斗.問上，中，下等谷每束各可得糧食幾斗.師：大家可以用什么方法來解決這個問題？生：方程組.師：那么請同學(xué)們思考后來列方程組解答 .學(xué)生完成解答，并且通過問答可以歸納： TOC o 1-5 h z (1)、解決這個實(shí)際問題的工具是一一方程(2)、表示方式是一一包含字母及數(shù)字的三元一次方程組(3)、計算方程組的方法是一一代入法，加減法，但思想都是消元思想2、問題探究 師：這是古人提出的問題，古人又是怎么來解決的呢？古人的解法是先將這個題目用算籌圖表示出來如下上等谷中等谷下等谷斗數(shù)(束)(束)(束)III

4、 II三 HITII III=11彳1II1-T算籌圖(1)探究“算籌”和“算籌計數(shù)法”它是什么意思呢？不妨讓我們先來認(rèn)識一下“算籌”算籌是我國古代的一種計算工具，有很長的使用歷史？中國春秋時代就出現(xiàn)了鐲0第考古發(fā)現(xiàn)，古代的算籌實(shí)際上是一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、金屬等材料制成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個布袋里，系在腰部隨身攜帶。需要記數(shù)和計算的時候，就把它們?nèi)〕鰜?，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。另怖這些都是一根根不起眼的小棍子，在中國數(shù)學(xué)史上它們卻是立有大功的。它們有專門的計數(shù)方法一一算籌計數(shù)法：在算籌計數(shù)法中，1以縱橫兩種排列方式來表示單位數(shù)目，如

5、下圖 ，其中1-5均分別以縱或橫的方式排列相 應(yīng)數(shù)目的算籌來表縱式:橫式：1 tl HI示，6-9則以上面的一個算籌表示數(shù)目5再加下面相應(yīng)的算籌來表示。IlliIIUIT K W=w _L 土4567892、表示一位數(shù)時，用縱式表示；3、表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零 則用0來表示。這 種計數(shù)法遵循十進(jìn)制。介紹歷史：中國古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造？把它與世界其他古老民族的記數(shù)法作一比較，其優(yōu)越性是顯而易見的。古羅馬的數(shù)字系統(tǒng)只有七個基本符號，如要記稍大一點(diǎn)的數(shù)目就相當(dāng)繁難？古美洲瑪雅人用的是20進(jìn)位；古巴比倫人用的是 6

6、0進(jìn)位。20進(jìn)位至少需要20個數(shù)碼，60進(jìn)位則需要60個數(shù)碼，這就使記數(shù)和運(yùn)算變得十 分繁復(fù)，遠(yuǎn)不如只用09這10個數(shù)碼便可表示任意自然數(shù)的十進(jìn)位制來得簡捷方便。中國古代數(shù)學(xué)之所以在計算方面取得許多卓越的成就，在一定程度上應(yīng)該歸功于這一符合十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法.當(dāng)然，算籌計數(shù)法除了表示正整數(shù)和零，也可以表示分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù):2000多年前禹中 囚用祥琴表示分?jǐn)?shù).活動一請用算籌計數(shù)法表示下列各數(shù)：(1) 5(2)27(3) 30(4)195(2)探究算籌圖解決問題的方法?古人用一張算籌圖來表示這個問題，現(xiàn)在請一位同學(xué)師：現(xiàn)在我們?nèi)匀换氐絼偛诺膯栴}來來翻譯一下這張算籌圖？ TOC o 1-5 h z 生

7、：321392 313412326師：古人是怎么用這幾組數(shù)來解決問題的呢？如果想不通的話，可以觀察這些數(shù)與我們所列的方程組有何關(guān)系？ 生：這些數(shù)字與各未知數(shù)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)相同生：可以猜想古人也是列方程組來解決實(shí)際問題師：所以，古人和我們是殊途同歸？他們也列方程組來解決實(shí)際問題，只是這個方程組將未知數(shù)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)寫在規(guī)定位置上，然后省略了未知數(shù)、加號及等號師：隨著阿拉伯?dāng)?shù)字和用字母表示數(shù)的推廣和普及，我們現(xiàn)在在方程組形式上更為直觀一些，可是如果未知數(shù)個數(shù)一多，這種表示方式反而會更加繁雜？而古人這種省略未知數(shù)、加號及等號，只在規(guī)定位置寫系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)在做法，卻給了我們啟發(fā)，我們的方程組如果這樣表示

8、會不會更簡潔呢？所以，在近代高等代數(shù)中，就用這種方式來表示一次方程組，并起名“矩陣”，用“矩陣” 可以更簡潔直觀的表示多元一次方程組那么，表示完算籌圖以后，是如何計算的呢？古代是用“直除法”來計算的？請閱讀以下材料并填空：材料二：閱讀材料，完成下面求解過程過程：直除法：我國古代解方程組時，具體解法是：在一個方程兩邊同乘另一個方程中某個未知數(shù)的系數(shù)，然后再累減另一個方程，從而消去這個未知數(shù)。例如，解下面這個方程 組:3x 2y z= 39 2x 3y z = 34 2y + 3z= 26在式兩邊同乘以3,得再用 式連續(xù)兩次減去式，同樣 的，在式兩邊同乘以生：消去未知數(shù)x.再用式減去式，得 把組成

9、一個新的方 ; TOC o 1-5 h z 程組為;師：通過這四步計算，達(dá)到了什么目的？;這個方程組與原方程組相比，消去了未知數(shù)接下來，再用同樣的方法，消去 y,A37再可以求得 x=所以，方程組的解為,y=17*37 x = 417匚11 z = 4師：觀察下圖，請根據(jù)你對材料二的理解，來說說算籌圖的計算過程III II I 1UT TWlll |o| I II III -1hi ii i =mr II III I M| I II III -TIII II I b mu i -mi jii 丁麗.tf|師：所以算籌圖計算的本質(zhì)還是什么?生：消元？III II I Ro mu i -mi從而歸

10、納：(1)、解決這個實(shí)際問題的工具是一一方程？、表示方式是一一算籌圖.、計算的方法是一一直除法，但思想都是消元思想III II I胃皿 O IIIII 1 =1111 一 I II III =T3、總結(jié)升華師：請同學(xué)們來說說，從古到今，有什么變了，什么沒變？生：沒變的有：解決實(shí)際問題問題的工具還是方從而求得z=11程和方程組； 計算方程組的基本思想還是消 元 .變了的有： 表示方式從算籌圖變?yōu)榱俗帜负蛿?shù)字組成的方程組及矩陣， 計算方法從直除法改進(jìn)為代入法和加減法 .師：實(shí)際上，矩陣就是延續(xù)了算籌圖的表示方法和計算方法， 只是隨著現(xiàn)代科技的進(jìn)步，我們可以用直除法編制計算機(jī)程序，利用計算機(jī)，再繁雜

11、的一次方程組都可以迅速解答. 師：回首歷史，中國古代數(shù)學(xué)家們非常的了不起， 九章算術(shù)中用算籌圖解多元一次方程組的方法大約出現(xiàn)在公元一世紀(jì)左右；印度最早出現(xiàn)于第七世紀(jì) （ 約 628 年 ） ； 而在歐洲最早提出三元一次方程組和解法的是16 世紀(jì)中 （ 1559 年 ） 的法國數(shù)學(xué)家布丟 （Buteo ） 布丟提出的解法與算籌圖相類似，比中國晚了 1500 多年?？梢娋耪滤阈g(shù) 中的方程術(shù)， 不但是中國古代數(shù)學(xué)中的偉大成就， 在世界數(shù)學(xué)史上， 也是一份值得我們自豪的寶貴遺產(chǎn)立足現(xiàn)在，同學(xué)們可以看到，從古到今，一次方程組的表示方法和解法是一脈相承的， 放眼未來，在大家學(xué)有所成時，你又會給數(shù)學(xué)帶來什么樣的變革和發(fā)