2022年高考考前20天終極沖刺攻略（二）核心考點(diǎn)解讀-立體幾何與空間向量

1、時(shí)間：5月 25日 今日心情： 核心考點(diǎn)解讀立體幾何與空間向量高考預(yù)測線線角.線面角和二面角是高考的熱點(diǎn)，選擇題.填空題皆有，解答題中第二問必考，一般為中檔題，在全卷的位置相對穩(wěn)定，主要考查空間想象能力.邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化與化歸的應(yīng)用能力.選擇題和填空題一般不用空間向量法.但要理解向量基本定理的本質(zhì)，感悟“基底”的思想，并運(yùn)用它解決立體幾何中的問題.應(yīng)試技巧空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（1）設(shè)，則； ； ； ； .（2）設(shè)，則. 這就是說，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式.已知，則；已知，則，或者.其中表示與兩點(diǎn)

2、間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式.（4）向量在向量上的射影為.（5）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，是內(nèi)的兩條相交直線，則，由此可求出一個(gè)法向量（向量及已知）.（6）利用空間向量證明線面平行：設(shè)是平面的一個(gè)法向量，為直線的方向向量，證明，（如圖8-155所示）.已知直線（），平面的法向量，若，則.（7）利用空間向量證明兩條異面直線垂直：在兩條異面直線中各取一個(gè)方向向量，只要證明，即.（8）利用空間向量證明線面垂直：即證平面的一個(gè)法向量與直線的方向向量共線.（9）證明面面平行.面面垂直，最終都要轉(zhuǎn)化為證明法向量互相平行.法向量互相垂直.（10）空間角公式.異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向

3、向量，為異面直線所成角的大小，則.線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則.二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中.（11）點(diǎn)到平面的距離為，為平面的法向量，則.1（2021天津高考真題）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值（III）求二面角的正弦值【解析】（I）以為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫?/p>

4、平面；（II）由（1）得，設(shè)直線與平面所成角為，則；（III）由正方體的特征可得，平面的一個(gè)法向量為，則，所以二面角的正弦值為.2（2021全國高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)椋瑒t，而，故.在正方形中，因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，故，故為直角三角形且，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫?（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.3（2021北京高考真題）如圖：在正方體中，為

5、中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值【解析】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由于為正方體，為中點(diǎn)，故，從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點(diǎn)，當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，即點(diǎn)為中點(diǎn).(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.4（2021浙江高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求

6、直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）在中，由余弦定理可得，所以，由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，而與相交，所以平面，因?yàn)椋?，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為5（2021全國高考真題（理）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn) （1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?【解析】（1）因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，所以平面又因?yàn)椋瑯?gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)

7、，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則又因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，所以平面又因?yàn)槠矫妫裕?）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，即令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為所以，此時(shí)6（2021全國高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【解析】（1）因?yàn)?，O是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面平面，且平面平面，所以平面因?yàn)槠矫妫?（2）如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個(gè)

8、法向量為又平面的一個(gè)法向量為，所以，解得又點(diǎn)C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為7（2020山東高考真題）已知點(diǎn)，分別是正方形的邊，的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起，使二面角為直二面角，如圖所示.（1）若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【解析】證明：（1）連接，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，在中，又因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以.同理可證得，又因?yàn)椋謩e為正方形的邊，的中點(diǎn)，故，所以.又因?yàn)?，所以平面平?又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)闉檎叫危謩e是，的中點(diǎn)，所以四邊形為矩形，則.又因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵矫嫫矫?，平面，所以平面，則為直線在平面內(nèi)的射影，因?yàn)闉橹本€與平面所成的角.

9、不妨設(shè)正方形邊長為，則，在中，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，在中，即為直線與平面所成角的正弦值.8（2020海南高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l（1）證明：l平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值【解析】（1）證明： 在正方形中，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)椋云矫妫?）因?yàn)閮蓛纱怪?，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，設(shè)，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方

10、向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.9（2020全國高考真題（理）如圖，在長方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，求二面角的正弦值【解析】（1）在棱上取點(diǎn)，使得，連接.，如圖1所示.在長方體中，所以四邊形為平行四邊形，則，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，因此點(diǎn)在平面內(nèi).（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，.所在直線分別為.軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖2.則.，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的

11、一個(gè)法向量為，由，得，取，得，則，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為.10（2020全國高考真題（理）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值【解析】（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，則，所以，又為等邊三角形，則，所以，則，所以，同理，又，所以平面；（2）過O作BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫?，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，令，得，所以故，設(shè)二面角的大小為，由圖可知二面角為銳二面角，所以.11

12、（2020全國高考真題（理）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1MN，且平面A1AMNEB1C1F；（2）設(shè)O為A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【解析】（1）分別為，的中點(diǎn)，又，在中，為中點(diǎn)，則，又側(cè)面為矩形，由，平面，平面，又，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面 ，又平面，平面，平面，平面平面.(2)如圖，過O作的平行線分別交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由于平面，平面，平面，平面，所以平面平面又因平面平面，平面平面，所以因?yàn)椋悦嬗忠?，所以面，所以與平面所成的角為令，則，由于O為的中心，故在中，由勾股定理得所以由于，直線與平