高考平面向量專題突破

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 平面向量【考情上線】平面向量這部分知識(shí)本身很重要，作為工具性知識(shí)廣泛應(yīng)用于三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何的教學(xué)中，以填空題考查本章的基本概念和性質(zhì)，此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問(wèn)題，向量的基本運(yùn)算可以為真空題，也可以為中檔的解答題，向量與數(shù)列、不等式、函數(shù)等代數(shù)內(nèi)容的綜合問(wèn)題對(duì)學(xué)生的能力考查有較高的要求，以解答題考查圓錐曲線中的典型問(wèn)題，此類題綜合性比較強(qiáng)，難度大，以解析幾何中的常規(guī)題為主。平面向量的基本概念及線性運(yùn)算【知識(shí)回顧】一

2、、向量的有關(guān)概念及表示方法向量：既有大小又有方向的量。向量一般用來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，如：幾何表示法，；坐標(biāo)表示法。向量的模：向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度），如的模分別記作|和。注：向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。幾類特殊向量零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行，零向量0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問(wèn)題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件。（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，向量為單位向量。將一個(gè)向量除以它的模即得到單位向量，如的單位向量為：平行向量（共線向量）：方向相同或相反

3、的非零向量，稱為平行向量。記作。規(guī)定：與任何向量平等，任意一組平行向量都可以移到同一直線上，由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。（4）相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作。關(guān)于相反向量有： 零向量的相反向量仍是零向量， =； ； 若、是互為相反向量，則=,=,+=。（5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量。記為。相等向量

4、經(jīng)過(guò)平移后總可以重合。二、向量的線性運(yùn)算1.向量加法（1）定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+=。規(guī)定：；（2）向量加法的法則“三角形法則”與“平行四邊形法則”用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線。三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和。注：當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加： ，但這時(shí)必須“首尾相連”。（3）向量加法的運(yùn)算律：交換律： 結(jié)合律：2.法向量的減定義：若則向量叫做與的差，記

5、為。求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。向量減法的法則“三角形法則”與“平行四邊形法則”BC三角形法則：當(dāng)有共同起點(diǎn)時(shí)，表示為從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)的向量。平行四邊形法則：兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，差向量是如圖所示的對(duì)角線。設(shè)則-=.3.實(shí)數(shù)與向量的積定義：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的。數(shù)乘向量的運(yùn)算律；。三、向量共線定理定理：若與是兩個(gè)非零向量，則共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，即 推論：若與是兩個(gè)非零向量，則共線存在兩個(gè)均不為零的實(shí)數(shù)，使得，應(yīng)用：可以證明三點(diǎn)共線：三點(diǎn)共線。四、平面向

6、量的基本定理定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：。我們把不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。注意：要平面內(nèi)的兩個(gè)向量不共線，都可以作為一組基底，當(dāng)用基底寫(xiě)成時(shí)，稱之為向量的分解， 當(dāng)若與是兩個(gè)非零向量，則共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得時(shí)，稱為向量的正交分解。應(yīng)用：證明向量共面：若不共線，則與共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使證明四點(diǎn)共面：若不共線，存在實(shí)數(shù)對(duì)使四點(diǎn)共面，證明三點(diǎn)共線：若不共線，存在實(shí)數(shù)對(duì)使 三點(diǎn)共線。五、平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，由平

7、面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作的橫坐標(biāo)，y叫做作縱坐標(biāo)。規(guī)定： ， 相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量； 向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān),只與其相對(duì)位置有關(guān)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則；若，則；若=(x,y)，則=(x, y)；若，則；若， 則六、線段的定比分點(diǎn)從標(biāo)公式設(shè)直線上有一條有向線段和一個(gè)不同于的動(dòng)點(diǎn)P，若,即,則稱點(diǎn)P為有向線段的定比分點(diǎn)，且稱P分有向線段成定比。設(shè)，則若，得到中點(diǎn)坐標(biāo)七、幾個(gè)重要結(jié)論1. ，2. 若為的重心。【例題講解

8、】考點(diǎn)一：向量的基本概念例1. 判斷下列命題是否正確，不正確的說(shuō)明理由。若向量同向，且，則；若向量，則的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；對(duì)于任意向量，且的方向相同，則；由于零向量方向不確定，故不能與任意向量平行。向量與向量是共線向量，則四點(diǎn)在一條直線上；起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量。解：（1）不正確，因?yàn)橄蛄渴遣煌跀?shù)量的一種量，它由兩個(gè)因素來(lái)確定，即大小與方向，所以兩個(gè)向量不能比較大小，故（1）不正確. （2）不正確，由只能判斷兩個(gè)向量長(zhǎng)度相等，不能判斷方向。 （3）正確，因?yàn)椋曳较蛳嗤?，由兩向量相等的條件可得 （4）不正確，由零向量性質(zhì)可得與任一向量平行，可知（4）不正確。

9、 （5）不正確，若向量與向量是共線向量，則向量與所在的直線平行或重合，因此，不一定共線。 （6）正確，對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小與方向，是可以任意平行移動(dòng)的。例2. 判斷下列各命題是否正確：若，則；單位向量都相等；向量就是有向線段；兩相等向量若其起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；若，則；若，則；若四邊形是平行四邊形，則解：（1）不正確，由只能判斷兩個(gè)向量長(zhǎng)度相等，不能判斷方向（2）不正確，單位向量只是模均為單位長(zhǎng)度1，而對(duì)方向沒(méi)有要求；（3）不正確，有向線段有三個(gè)要素：起點(diǎn)、終點(diǎn)及長(zhǎng)度，向量有兩個(gè)要素：大小與方向。有向線段只是向量的一種表示形式，不能把兩者等同起來(lái)；（4）正確，因兩相等向量的模相等，方

10、向相同，故當(dāng)它們的起點(diǎn)相同時(shí)，則終點(diǎn)必重合；（5）正確，由向量相等定義可得（6）不正確，若，則對(duì)兩個(gè)不共線的向量與，也有，但（7）不正確，考點(diǎn)二：向量的基本運(yùn)算例3. 如圖所示，已知，試用 表示：（1）; （2）; （3）.例4.如右圖，以向量為邊作,用表示解：， 又即有考點(diǎn)三：共線向量例5. 設(shè)兩個(gè)非零向量不共線，（1）若，求證：三點(diǎn)共線。（2）試確定實(shí)數(shù)，使和共線。解：（1）證明：，共線。又它們有公共點(diǎn)B，三點(diǎn)共線（2）與共線，存在實(shí)數(shù)，使得 即，是不花線的兩個(gè)非零向量，例6設(shè)兩個(gè)非零向量不共線.(1)如果，求證：三點(diǎn)共線；(2)如果，且三點(diǎn)共線，求的值。解：（1）證明： 與共線，又與有公

11、共點(diǎn),三點(diǎn)共線(2) 三點(diǎn)共線,與共線，從而存在實(shí)數(shù)使得即，由平面向量的基本定理，得考點(diǎn)四：向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算例7.已知,設(shè)，且，(1)求(2)求滿足的實(shí)數(shù)；(3)求的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。解：由已知得：(1)=(2)（3），又例8.已知向量，且，求實(shí)數(shù)的值。解： ， 又，考點(diǎn)五：共線向量的綜合問(wèn)題例9.如圖所示，已知點(diǎn)，求和交點(diǎn)的坐標(biāo)。解：法一：設(shè)，則，由共線的充要條件知：，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為法二：設(shè)，則共線， 又,且向量共線。 ，聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)為例10.如圖所示，在中，與將于點(diǎn)，設(shè)以為基底表示.解：設(shè)則，三點(diǎn)共線，即 而,三點(diǎn)共線，即由，【例題講解】考點(diǎn)一：向量的基本概念例1. 判斷下列命題是否正確

12、，不正確的說(shuō)明理由。若向量同向，且，則；若向量，則的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；對(duì)于任意向量，且的方向相同，則；由于零向量方向不確定，故不能與任意向量平行。向量與向量是共線向量，則四點(diǎn)在一條直線上；起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量。例2. 判斷下列各命題是否正確：若，則；單位向量都相等；向量就是有向線段；兩相等向量若其起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；若，則；若，則；若四邊形是平行四邊形，則考點(diǎn)二：向量的基本運(yùn)算例3. 如圖所示，已知，試用表示：（1）; （2）; （3）.例4.如右圖，以向量為邊作,用表示考點(diǎn)三：共線向量例5. 設(shè)兩個(gè)非零向量不共線，（1）若，求證：三點(diǎn)共線。（2）試確定

13、實(shí)數(shù)，使和共線。例6設(shè)兩個(gè)非零向量不共線.(1)如果，求證：三點(diǎn)共線；(2)如果，且三點(diǎn)共線，求的值。考點(diǎn)四：向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算例7.已知,設(shè)，且，(1)求(2)求滿足的實(shí)數(shù)；(3)求的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。例8.已知向量，且，求實(shí)數(shù)的值?？键c(diǎn)五：共線向量的綜合問(wèn)題例9.如圖所示，已知點(diǎn)，求和交點(diǎn)的坐標(biāo)。例10.如圖所示，在中，與將于點(diǎn)，設(shè)以為基底表示.平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義三維目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能：（1）理解平面向量數(shù)量積的幾何意義及其物理意義； （2）掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；（3）理解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；（4）了解用平面

14、向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。2、過(guò)程與方法 （1）在學(xué)習(xí)和運(yùn)用向量的數(shù)量積的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)平面向量本質(zhì)及它與生活和自然科學(xué)聯(lián)系，認(rèn)識(shí)事物的統(tǒng)一性，并通過(guò)學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積感受數(shù)形結(jié)合的思想方法；（2）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性。（3）通過(guò)對(duì)向量的數(shù)量積的探究、交流、總結(jié)，從各角度、用各方法來(lái)體會(huì)向量之間的關(guān)系和作用，不斷從感性認(rèn)識(shí)提高到理性認(rèn)識(shí)，。3、情態(tài)與價(jià)值觀（1）通過(guò)用向量數(shù)量積解決問(wèn)題的思想的學(xué)習(xí)，使學(xué)生加深

15、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性、概括性和應(yīng)用性，培養(yǎng)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗。（2）通過(guò)對(duì)向量數(shù)量積及所產(chǎn)生的思想方法的學(xué)習(xí)及探索，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探索、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參與意識(shí)和合作精神； 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義及應(yīng)用(能利用數(shù)量積解決求平行、垂直、夾角等問(wèn)題) 教學(xué)難點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系； 運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。二、合作探究，精講點(diǎn)撥SF探究一：數(shù)量積的概念1、給出有關(guān)材料并提出問(wèn)題3：（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)

16、生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。 （2）這個(gè)公式的有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：W（功）是 量，F(xiàn)（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字語(yǔ)言表述“功的計(jì)算公式”嗎?期望學(xué)生回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積2、明晰數(shù)量積的定義數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量 bcos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：，即：= cos（2）定義說(shuō)明：記法“”中間的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。（3）提出問(wèn)題4：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？ 期望學(xué)

17、生回答：線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個(gè)數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。（4）學(xué)生討論，并完成下表：的范圍090=900180的符號(hào)（5）探究題組一 ：已知，當(dāng)，與的夾角是60時(shí)，分別求.解：當(dāng)時(shí)，若與同向，則它們的夾角，cos036118；若與反向，則它們的夾角180，cos18036（-1）18；當(dāng)時(shí)，它們的夾角90，；當(dāng)與的夾角是60時(shí)，有cos60369評(píng)述： 兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0，180，因此，當(dāng)時(shí)，有0或180兩種可能. 探究二：研究數(shù)量積的幾何意義1.給出向量投影的概念：如圖，我們把cos（cos）叫做向量在方向上（在方

18、向上）的投影，記做：OB1=cos注：投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng) = 0時(shí)投影為 |b|；當(dāng) = 180時(shí)投影為 |b|.2.提出問(wèn)題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？期望學(xué)生回答：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影cos 的乘積。探究三：探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)1、數(shù)量積的性質(zhì) 性質(zhì)：若和均為非零向量 （1）0 （垂直）（2）與同向時(shí)， =，與 反向 時(shí)， =-特別地：=2 = （長(zhǎng)度）（3）cos=（夾角）（4） （注意等號(hào)成立的條件）2、探究題組二已知=6，=4, 與的夾角為60，求（+2 ）（-3），并思考此運(yùn)算過(guò)程類似于實(shí)數(shù)哪

19、種運(yùn)算？解：（+2 ）（-3）=.-3.+2.-6. =36-3460.5-644 = -72評(píng)述：可以和實(shí)數(shù)做類比記憶數(shù)量積的運(yùn)算律變式：（1）(+)2=2+2+2 （2）(+ )(-)= 22 探究題組3：解： 思悟小結(jié)：知識(shí)線：（1）平面向量的數(shù)量積；（2）平面向量的數(shù)量積的幾何意義；（3）平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；4）平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。思想方法線：（1）公式或定義法；（2）數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法。四、針對(duì)訓(xùn)練 鞏固提高： 下列各式（1） （2）（3）（4）正確的個(gè)數(shù)為 已知：，則在上的投影為 下列命題中（1） （2） （3）（4） （5） （6）其中真命題

20、的個(gè)數(shù)有 4、 13.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的中心在原點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，分別是兩條漸近線的方向向量。任取雙曲線上的點(diǎn)，若（、），則、滿足的一個(gè)等式是 4ab1 。解析：因?yàn)?、是漸進(jìn)線方向向量，所以雙曲線漸近線方程為又雙曲線方程為，=，化簡(jiǎn)得4ab116）已知平面向量滿足，且與的夾角為120，則的取值范圍是_解析：利用題設(shè)條件及其幾何意義表示在三角形中，即可迎刃而解，本題主要考察了平面向量的四則運(yùn)算及其幾何意義，突出考察了對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題。12.已知向量a（2，1），b（1，m），c（1，2）若（ab）c，則m 1 .解析：，所以m=-113.已知向量，滿足，

21、 與的夾角為60，則 【答案】 【解析】考查向量的夾角和向量的模長(zhǎng)公式，以及向量三角形法則、余弦定理等知識(shí)，如圖，由余弦定理得：13）已知平面向量則的值是 答案 ：15）如圖，在中，,則 .【答案】D綜合鞏固提升一、選擇題(每題5分，共10題，50分) AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 已知為等邊三角形,設(shè)點(diǎn)滿足,若,則（）ABCD【答案】A 【命題意圖】本試題以等邊三角形為載體,主要考查了向量加減法的幾何意義,平面向量基本定理,共線向量定理及其數(shù)量積的綜合運(yùn)用. 【解析】=,=, 又,所以,解得. AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 設(shè)是

22、兩個(gè)非零向量.（）A若,則 B若,則 C若,則存在實(shí)數(shù),使得D若存在實(shí)數(shù),使得,則【答案】【解析】利用排除法可得選項(xiàng)C是正確的,則共線,即存在實(shí) 數(shù),使得.如選項(xiàng)A:時(shí), 可為異向的共線向量;選項(xiàng)B:若,由正方形得不成立;選項(xiàng)D:若存在實(shí)數(shù),使得,可為同向的共線向量,此時(shí)顯然不成立. AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 設(shè),向量,且,則（）ABCD10【答案】B 【解析】由,由,故. 【考點(diǎn)定位】本題主要考查兩個(gè)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示,模長(zhǎng)公式.解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)、,得到的值,只要記住兩個(gè)向量垂直,平行和向量的模的坐標(biāo)形式的充要條件,就不會(huì)出錯(cuò),注意數(shù)字的運(yùn)算.

23、 AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 設(shè)都是非零向量,下列四個(gè)條件中,使 成立的充分條件是（）ABCD且【答案】D 【解析】若使成立,則方向相同選項(xiàng)中只有D能保證,故選D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學(xué)習(xí)向量知識(shí)時(shí)需注意易考易錯(cuò)零向量,其模為0且方向任意. AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 已知兩個(gè)非零向量滿足,則下面結(jié)論正確的是（）AB CD【答案】B 【解析一】由,平方可得, 所以,故選B 【解析二】根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知與分別為以向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng),因?yàn)?所以該平行四邊形為矩形,所

24、以,故選B 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的運(yùn)算、幾何意義以及向量的位置關(guān)系,屬于容易題.解析一是利用向量的運(yùn)算來(lái)解,解析二是利用了向量運(yùn)算的幾何意義來(lái)解. AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 在中,則（）ABCD【答案】A 【解析】由下圖知. .又由余弦定理知,解得. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、余弦定理等知識(shí).考查運(yùn)算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.需要注意的夾角為的外角. AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量 和 ,定義,若平面向量 滿足與的夾角,且 和 都在集合中,則（）AB1CD【

25、答案】C【解析】因?yàn)?且和都在集合中,所以,所以,且,所以,故有,選C. 【另解】 兩式相乘得因?yàn)?，均為正整數(shù)，于是 所以所以而所以于是，故選C AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 若向量,則（）ABCD 【答案】A【解析】:. AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 中,邊上的高為,若,則（）ABCD 【答案】D 【命題意圖】本試題主要考查了向量的加減法幾何意義的運(yùn)用,結(jié)合運(yùn)用特殊直角三角形求解點(diǎn)D的位置的運(yùn)用. 【解析】由可得,故,用等面積法求得,所以,故,故選答案D AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 在平面直角

26、坐標(biāo)系中,將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,得向量則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）ABCD【解析】選 【方法一】設(shè) 則 【方法二】將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得 則 二、填空題（每題5分，共6題，30分） AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 已知向量夾角為 ,且;則 【答案】 【解析】 AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 在中,是的中點(diǎn),則【答案】 【解析】此題最適合的方法是特例法. 假設(shè)是以的等腰三角形,如圖, =.= AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 在平行四邊形中,邊的長(zhǎng)分別為2、1. 若分別是邊 上的點(diǎn),且滿足,則的取值范圍是_ . xyAB

27、CDMN【解析】 如圖建系,則. 設(shè),則, 所以 , 故 因?yàn)?所以單調(diào)減,【評(píng)注】 當(dāng)然從搶分的戰(zhàn)略上,可冒用兩個(gè)特殊點(diǎn):在(在)和在(在),而本案恰是在這兩點(diǎn)處取得最值,蒙對(duì)了,又省了時(shí)間! AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 如圖,在矩形中,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上,若,則的值是_.【答案】. 【考點(diǎn)】向量的計(jì)算,矩形的性質(zhì),三角形外角性質(zhì),和的余弦公式,銳角三角函數(shù)定義. 【解析】由,得,由矩形的性質(zhì),得. ,. 記之間的夾角為,則. 又點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),. . 本題也可建立以為坐標(biāo)軸的直角坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)坐標(biāo)后求解. AUTONUM * Arabic * MER

28、GEFORMAT 已知正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn),則的值為_(kāi);的最大值為_(kāi).【答案】; 【解析】根據(jù)平面向量的點(diǎn)乘公式,可知,因;,而就是向量在邊上的射影,要想讓最大,即讓射影最大,此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合,射影為,所以長(zhǎng)度為1 AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 若平面向量滿足:;則的最小值是【答案】 【解析】的最小值是 高三數(shù)學(xué)平面向量綜合練習(xí)題一、選擇題1、設(shè)平面向量=(2，1)，=(，1)，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是A、B、(2，+)C、(，+)D、(，)2、設(shè)=(x1，y1)，=(x2，y2)，則下列為與共線的充要條件的有存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使=或=；|=|；(

29、+)/()A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)3、若函數(shù)y=2sin(x+)的圖象按向量(，2)平移后，它的一條對(duì)稱軸是x=，則的一個(gè)可能的值是 A、 B、 C、 D、4、ABC中，若，則ABC必約A、直角三角形 B、鈍角三角形C、銳角三角形 D、等腰三角形5、已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P與ABC的關(guān)系是A、P在ABC內(nèi)部 B、P在ABC外部C、P在直線AB上D、P在ABC的AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)上6、在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，則=A、1.5 B、1.5 C、0.5 D、0.5題號(hào)123456答案二、填空題1、已知=(cos，sin)，=(，1)，則|2|的

30、最大值為_(kāi)2、已知P(x，y)是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩焦點(diǎn)，若F1PF2為鈍角，則x的取值范圍為_(kāi)3、設(shè)=(a,b)，=(c,d)，規(guī)定兩向量m, n之間的一個(gè)運(yùn)算“”為=(acbd，ad+bc)，若已知=(1，2)，=(4，3)，則=_4、將圓x2+y2=2按=(2，1)平移后，與直線x+y+=0相切，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)三、解答題1、已知平面內(nèi)三向量、的模為1，它們相互之間的夾角為1200。（1）求證：；（2），求k的取值范圍。2、設(shè)兩個(gè)向量、滿足|=2，|=1，與的夾角為600，若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍。3、ABC內(nèi)接于以o為圓心，l為半徑的圓，且，求：，。4、拋物

31、線與過(guò)點(diǎn)M(1，0)的直線l相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若=0，求直線l的方程。5、設(shè)=(m，n)，=(p，q)，定義向量間運(yùn)算“*”為：*=(mpnq，mq+np)。（1）計(jì)算|、| 及 |*|；（2）設(shè)=(1，0)，計(jì)算cos及cos；（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？6、已知=(cos，sin)，=(cos，sin)，0。（1）求證：+與垂直；（2）若k+與k的長(zhǎng)度相等，求的值（k為非零的常數(shù)）7、已知A(3，0)，B(0，3)，C(cos，sin)。（1）若，求sin2的值；（2）若，且(0，)，求與的夾角。8、已知=(2，2)，與的夾角為，且=2。（1）求向量；（

32、2）若=(1，0)，且，=(cosA，2cos2)，其中A、C是ABC的內(nèi)角，若A、B、C依次成等差數(shù)列，求|+|的取值范圍。9、已知向量、及實(shí)數(shù)x、y，且|=|=1，=+(x23)，=y+x，若，且|。（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系y=f(x)及定義域；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。10、平面向量=(1，7)，=(5，1)，=(2，1)，點(diǎn)M為直線OP上一動(dòng)點(diǎn)。（1）當(dāng)取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)M滿足（1）中的條件和結(jié)論時(shí)，求AMB的余弦值。11、已知P(x，y)，A(1，0)，向量與=(1，1)共線。（1）求y是x的函數(shù)；（2）是否在直線y=2x和直線y=3x上分別存在一點(diǎn)B、C，使得

33、滿足BPC為銳角時(shí)x取值集合為x| x？若存在，求出這樣的B、C的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。12、已知，其中=(1，0)，=(0，1)。（1）計(jì)算，|+|的值；（2）如果存在n個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，kn，使成立，則稱n個(gè)向量，“線性相關(guān)”，否則為“不線性相關(guān)”，依此定義，三個(gè)向量=(1，1)，=(2，1)，=(3，2)是否為“線性相關(guān)”的，請(qǐng)說(shuō)明你的判斷根據(jù)；（3）平面上任意三個(gè)互不共線的向量，一定是線性相關(guān)的嗎？為什么？參考答案選擇題15 ACADDB填空題 1. 4 ，2 ，3 （2，1）， 4 1或5，解答題1：k0 或k2 2： 3：0，0.8，0.6 4：y=2x-2 5： |

34、= |= |*|= cos= cos= 6:7: sin2= ; 8(1) (-1,0);(0,-1) (2) 9: y=x3-3x 增區(qū)間 減區(qū)間 10：（1）（4，2）（2）11：（1）y=x+1 (2)存在 B(2,4);C(-1,-3)或 12 （1）1，|+| （2）線性相關(guān)向量作業(yè)部分當(dāng)堂練習(xí)：1、為非零向量，且，則 （ ）A與方向相同 BC D與方向相反2設(shè)，而是一非零向量，則下列各結(jié)論：；，其中正確的是 （ ）A B C D33在ABC中，D、E、F分別BC、CA、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是ABC的重心，則 等于 （ ）ABCD4已知向量反向，下列等式中成立的是（ ）ABCD5若化簡(jiǎn)

35、（ ）A B C D 以上都不對(duì)6已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則=（ ） A B C D 7已知，AOB=60，則_。8當(dāng)非零向量和滿足條件 時(shí)，使得平分和間的夾角。9如圖，D、E、F分別是ABC邊AB、BC、CA上的中點(diǎn)，則等式：10若向量、滿足，、為已知向量，則=_； =_1若向量a=(1,1),b=(1,1),c=(1,2)，則c等于（ ）AabBabCabDa+b2若向量a=(x2,3)與向量b=(1,y+2)相等，則（ ）Ax=1,y=3Bx=3,y=1Cx=1,y=5Dx=5,y=13已知向量且，則= （ ）A B C D4已知 ABCD的兩條

36、對(duì)角線交于點(diǎn)E，設(shè)，用來(lái)表示的表達(dá)式（ ）ABCD5已知兩點(diǎn)P（，6）、（3，），點(diǎn)P（，）分有向線段所成的比為，則、的值為（ ）A，8 B，8 C，8 D4，6下列各組向量中： 有一組能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底，正確的判斷是 （ ）ABCD7若向量=（2，m）與=（m，8）的方向相反，則m的值是 8已知=（2，3）， =（-5，6），則|+|= ，|-|= 9設(shè)=（2，9）， =（,6），=(-1,),若+=,則= , = .10ABC的頂點(diǎn)A(2，3)，B(4，2)和重心G(2，1)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為 .11已知向量e1、e2不共線，(1)若=e1e2，=2e1e2，=3e1e2，

37、求證：A、B、D三點(diǎn)共線.(2)若向量e1e2與e1e2共線，求實(shí)數(shù)的值.12如果向量=i2j, =i+mj,其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實(shí)數(shù)m的值使A、B、C三點(diǎn)共線.1已知=（3，0），=（-5，5）則與的夾角為 （ ） A450 B、600 C、1350 D、12002已知=（1，-2），=（5，8），=（2，3），則（）的值為 （ ） A34 B、（34，-68） C、-68 D、（-34，68）3已知=（2，3），=（-4，7）則向量在方向上的投影為 （ ） A B、 C、 D、4已知=（3，-1），=（1，2），向量滿足=7，且，則的坐標(biāo)是（ ） A（2，-

38、1） B、（-2，1） C、（2，1） D、（-2，-1）5有下面四個(gè)關(guān)系式（1）=；（2）（）=（）；（3）=；（4）0=0，其中正確的個(gè)數(shù)是 （ ）A、4 B、3 C、2 D、16已知=（m-2，m+3），=（2m+1，m-2）且與的夾角大于90，則實(shí)數(shù)m（ ）A、m2或m-4/3 B、-4/3m2 C、m2 D、m2且m-4/37已知點(diǎn)A（1，0），B（3，1），C（2，0）則向量與的夾角是 。8已知=（1，-1），=（-2，1），如果（，則實(shí)數(shù)= 。9若|=2，|=，與的夾角為45，要使k-與垂直，則k= 10已知+=2-8，=-8+16，那么= 11已知2+=（-4，3），-2=（3

39、，4），求的值。12已知點(diǎn)A（1，2）和B（4，-1），試推斷能否在y軸上找到一點(diǎn)C，使ACB=900？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由。1已知A、B、C為三個(gè)不共線的點(diǎn)，P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P與ABC的位置關(guān)系是 （ ） A、點(diǎn)P在ABC內(nèi)部 B、點(diǎn)P在ABC外部C、點(diǎn)P在直線AB上 D、點(diǎn)P在AC邊上2已知三點(diǎn)A（1，2），B（4，1），C（0，-1）則ABC的形狀為 （ ） A、正三角形 B、鈍角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰銳角三角形6兩個(gè)粒子a，b從同一粒子源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，以粒子源為原點(diǎn)，它們的位移分別為Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此時(shí)

40、粒子b相對(duì)于粒子a的位移 ；（2）求S在Sa方向上的投影 。7如圖，點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，且APPB=，點(diǎn)O是直線AB外一點(diǎn)，設(shè)，試用的運(yùn)算式表示向量8如圖，ABC中，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，設(shè)AD與BE相交于G，求證：AGGD=BGGE=219如圖， O是ABC外任一點(diǎn)，若，求證：G是ABC重心（即三條邊上中線的交點(diǎn)）750ABC東北45010一只漁船在航行中遇險(xiǎn)，發(fā)出求救警報(bào)，在遇險(xiǎn)地西南方向10mile處有一只貨船收到警報(bào)立即偵察，發(fā)現(xiàn)遇險(xiǎn)漁船沿南偏東750，以9mile/h的速度向前航行，貨船以21mile/h的速度前往營(yíng)救，并在最短時(shí)間內(nèi)與漁船靠近，求貨的位移。平面向量單元測(cè)

41、試1在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若=（ ）ABCD2對(duì)于菱形ABCD，給出下列各式：2其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)3在 ABCD中，設(shè)，則下列等式中不正確的是（ ）AB CD已知向量反向，下列等式中成立的是（ ）ABC D5已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），（1，5），則第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A（1，5）或（5，5）B（1，5）或（3，5）C（5，5）或（3，5）D（1，5）或（3，5）或（5，5）6與向量平行的單位向量為（ ）ABC或 D7若，則的數(shù)量積為 （ ）A10B10C10D108若將向量圍繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量,則的坐標(biāo)為 (

42、）A B CD9設(shè)kR，下列向量中，與向量一定不平行的向量是（ ）ABCD10已知，且，則的夾角為（ ）A60B120C135D150非零向量，則的夾角為 .12在四邊形ABCD中，若,則四邊形ABCD的形狀是 13已知，若平行，則= .14已知為單位向量，=4，的夾角為，則方向上的投影為 .15已知非零向量滿足,求證: 16已知在ABC中，且ABC中C為直角，求k的值.17、設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值.18已知 ,的夾角為60o,當(dāng)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)， 19如圖，ABCD為正方形，P是對(duì)角線DB上一點(diǎn)，PECF為矩形，求證：PA=EF；PAEF. 向量高考總結(jié)：一向量有關(guān)概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如：已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）2零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4