圓與相似證明課案

1、 1、如圖，AB是圓0的直徑，點C、D在圓0上，且AD平分ZCAB.過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于E,與AB的延長線相交于點F.角平分線、平行線、弧中點、等腰三角形、垂徑定理，角平分線性質(zhì)；（旋轉(zhuǎn)相似，ADEsABD，或者通過DG丄AB，求出DE，法一、平行線型相似，ODFsAEF,法二、外部母子型，BDFsDAF，法三、平移縮放相似，0D與BC交于點G，BD=CD，OGBsAEF）2、如圖，AB是00的直徑，點C在00上,ZCAB的平分線交00于點D,過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E,連接BC交AD于點F.（1）猜想ED與00的位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）若AB=6,AD

2、=5，求AF的長.（法一，內(nèi)部母子型；法二連接0D得到矩形，402。中面積法求解CE）3、如圖，AB為00的直徑，點C是00上一點，AD平分ZCAB交00于點D,過點D作DE丄AC于點E.（1求證：（1）DE是00的切線；（2）若AC=3,DE=2，求AD的長.）(DCEsAED，求出CE,ZCDA=ZCBA,ZEDC=ZEAD)4、如圖，AB是00的直徑，C為00上一點，AD丄CD,（點D在00外）AC平分ZBAD.（1）求證：CD是00的切線；（2）若DC、AB的延長線相交于點E,且DE=12,AD=9，求BE的長.，求AC長（求出AE,平行線型相似，ECOsEDA。第三問計算可得ZE=Z

3、EAC=30,AC=CE）5、如圖，已知AB是00的直徑，直線l與00相切于點C，過點A作直線l的垂線，垂足為點D，連接AC.（1）求直徑AB的長.（法一、旋轉(zhuǎn)相似ADCsACB，法二，計算得ZDAC=ZCAB=30，RTAACB求出AB）6、如圖，AB是00的直徑，AC是弦，ZBAC的平分線AD交00于點D,DE是00的切線，交AC的延長線于點E.求證：（1）DE丄AC；（2）若AE=4,ED=2，求00的半徑（旋轉(zhuǎn)相似，ADEsABD，法二，作0F丄CA,垂徑定理。）7、如圖，AB是00的直徑，點C是00上一點，ZBAC的平分線AD交00于點D,過點D垂直于AC的直線交AC的延長線于點E.

4、(1)求證：DE是00的切線；(2)如果AD=5,AE=4，求AC長.(連接BC,垂徑定理，矩形得BC=2DE，旋轉(zhuǎn)相似求出AB,得出AC。簡單方法，作OF丄CA，垂徑定理。)8、如圖，AB為00的直徑，AC為00的弦，AD平分ZBAC，交00于點D，DE丄CA,交AC的延長線于點E.(1)求證：直線DE是00的切線;(1)若AE=8,00的半徑為5,求DE的長.(法一、作0F丄CA,垂徑定理。法二、連接BC、0D。法三旋轉(zhuǎn)相似，求AD。)9、如圖，AB是00的直徑，點C為00上一點，0F丄BC于點F,交00于點E,AE與BC交于點H,點D為0E的延長線上一點，且Z0DB=ZAEC.(1)求證

5、：BD是00的切線；(2)求證：CE2=EHEA；若00的半徑為5,sinA=3/5，求BH的長.(垂徑定理，母子型相似，連接BE,ABEHsAEB,第46題簡單很多)10、如圖1,AABC內(nèi)接于OO,I為厶ABC的內(nèi)心，延長AI分別交00、BC于D、E兩點。（旋轉(zhuǎn)相似，8字形，AECsABDsBED）AC=7，求線段AB的長。11、如圖，AB是O0的直徑，BC是O0的切線，連接AC交O0于點D，E為弧AD上一點，連結(jié)AE，BE,BE交AC于點F,且AE2=EFEB.12、如圖，已知ABC，以邊BC為直徑的O0與邊AB交于點D,點E為BD的中點，AFABC的角平分線，且AF丄EC.（1）求證：

6、AC與O0相切；（2）若AC=6，BC=8，求EC的長.C（三線合一，第一問方法比較多，比如ZEBH=ZECB，或者ZECB=ZECD或者ZECB=Z0EC；第二問法一,內(nèi)部母子型，EHBsEBC；法二，笨方法，連接CD,面積法求出CD,射影定理圖形求出AD、DH、CH、BH,再求EH）13、如圖，已知BC是以AB為直徑的。的切線，且BC=AB，連接OC交00于點D,延長AD交BC于點E,F為BE上一點，且DF=FB.(1)求證：DF是00的切線；(2)若BE=2,求00的半徑.(切線證明，連接0F全等或者連BD等腰均可。直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，三角函數(shù)值，倒A型相似，CDFsCBO)

7、14、如圖：AB是00的直徑,BC是00的切線,0C與00相交于點D,連接AD并延長，與BC相交于點E.(1)連接DF,求證：DF是00的切線.若BC=3,CD=1,求00的半徑；(2)取BE的中點F,求證：DM=GM.A0=GM：B0)(勾股定理。連接BD,DF斜邊中線。平行線型相似，DM：15、如圖，AB是00的直徑，點C為00上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E,AE交00于點D,直線EC交AB的延長線于點P,連接AC,BC,PB：PC=1：2.(1)求證：AC平分ZBAD；(2)探究線段PB,AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若AD=3,求厶ABC的面積.(外部母子型，AB

8、=3PB,AC=2BCO0H丄AD,PC0PEA,求出半徑。)16、如圖，AB是半圓0的直徑，C是AB延長線上一點，CD與半圓0相切于點D,連接AD,BD.求證：ZBAD=ZBDC；(2)若sinZBDC=V5/5,BC=2,求00的半徑.17、如圖，AB是00的直徑，AC是弦，ZBAC的平分線AD交00于點D,DE丄AC,交AC的延長線于點E.0E交AD于點F.(I)求證：DE是00的切線;(II)若AE:AB=4:5，求AF:DF的值.X型相似)18、如圖，已AB為00直徑，AC是00的弦，ZBAC的平分線AD交00于D,過點D作DE丄AC交AC的延長線于點E,0E交AD于點F,cosZB

9、AC=3/5(1)求證：DE是00的切線;(2)若AF=8,求DF的長.(0D、BC相交于點G,0G中位線，根據(jù)比例求DG=CE,X型相似)19、如圖，已知AB是00的直徑，C是00上一點，ZBAC的平分線交00于點D,交00的切線BE于點E,過點D作DF丄AC,交AC的延長線于點F.（1）求證：DF是00的切線；（2）若DF=3,DE=2.求BE：AD值；求ZFAB的度數(shù).（射影定理相似和旋轉(zhuǎn)相似，BDEsABE,ADFAEB，根據(jù)比例，算出BE、AD即可20、如圖，AB為00的直徑，C為圓上一點，AD平分ZBAC交00于點D，DE丄AC交AC的延長線于點E,過B作FB丄AB交AD的延長線于

10、點F.（1）求證：DE是00的切線；（2）若DE=4，00的半徑為5,求AC和BF的長.（法一、連接BC、0D，垂徑定理BC=2DE，求AC、CE。法二，作0H丄AC,垂徑定理。法三，作DPIAB，DP=DE,求出AP,平行線型相似求BF）21、如圖，AB為00的直徑，CE是00的切線，且AE丄CE，垂足為E,BC的延長線交AE的延長線于點D.(2)若CE=2DE,AD=10,AC=4V5，求DE的長22、如圖，AB為00的直徑，C為00上一點，連AC、BC,E為00上一點，且BE=CE，點F在BE上,面積法，做CG丄FB)法2，23、如圖，AB是00的直徑，BC丄AB,連結(jié)0C,弦AD0C，

11、直線CD交BA的延長線于點E.求證：直線CD是00的切線；若DE=2BC，求AD：0C的值.(3)若DE=2BC，EA=4，求00的半徑.(C0D9AC0B。BC=CD，平行線型相似。)24、如圖，AB是00的直徑，點D是應(yīng)上的一點，且ZBDE=ZCBE，BD與AE交于點F.(1)求證：BC是00的切線；(2)若BD平分ZABE，求證：DE2=DFDB；在的條件下，延長ED，BA交于點P,若PA=A0,DE=2，求PD的長和00的半徑.(弦切角定理，角平分線=平行線型相似、外部母子型、燕尾型相似。PD0sAPEB,APDBspae,或者PDAsP0D,從割線出發(fā)的母子型是到圓心構(gòu)成三角形)25

12、、如圖，在ABC中，BC=AC，以BC為直徑的00與邊AB相交于點D,DE丄AC,垂足為點E.(1)判斷DE與00的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若DE的長為2V2,cosB=1/3，求00的半徑.(CD三線合一，角平分線有平行，求出AD,三角函數(shù)求AC即可，或者AACD射影定理相似)26、如圖，RtAABC中，ZA=90。，以AB為直徑的00交BC于點D,點E在00上,CE=CA,AB，CE的延長線交于點F.求證:CE與00相切；若00的半徑為3,EF=4,求BD的長.(倒A型相似，A0EFsACAF,AABC等腰三角形，AD三線合一)27、如圖，AB是00的直徑，CD是00的切線，切點為

13、C.延長AB交CD于點E.連接AC,作ZDAC=ZACD,作AF丄ED于點F,交00于點G.(1)求證：AD是00的切線;(平移縮放相似，RtACEO勾股定理厶AEFsOEC,RtAABGsRtAEF)28、如圖所示，已知P為00外一點，PA為00的切線，A為切點，B為00上一點，且PA=PB，連接0P、AB相交于點D,過點0作0C丄0P交00于C,連接BC交0P于E.(1)求證：PB為00的切線；(2)（X型相似，BDEsC0E）00的半徑為5,求CE的長.29、如圖，已知00是厶ABC的外接圓，AB是00的直徑，D是AB延長線上一點，AE丄DC交DC的延長線于點E,且AC平分ZEABoAE

14、=24/5，則BD=BC=(BD,連接0C平行線型相似，BC可以先求CE,面積法or旋轉(zhuǎn)相似，或者求AC勾股定理)30、如圖，00是AABC的外接圓，AD是00的直徑，AD與BC相交于點M,且BM=MC.過點D作BC的平行線，分別與AB、AC的延長線相交于點E、F.(1)求證：EF與00相切；若BC=2V15.MD=V5求CE的長.31、如圖，ABC內(nèi)接于直徑為BC的圓0,過點A作圓0的切線交CB的延長線于點P,ZBAC的平分線分別交BC和圓0于點D、E,若PA=2PB=10.(1)求證：AC=2AB；(2)求ADDE的值.(外部母子型相似，角平分線性質(zhì)，AC：AB=CD：DB(通過角平分線分

15、兩三角形面積計算得到)32、如圖，AB是00的直徑，CD與00相切于點C,DA丄AB,D0及D0的延長線與00分別相交于點E、F,EB與CF相交于點G.(1)求證：DA=DC；(2)00的半徑為3,DC=4,求CG的長.(法一、AC與DF交于M,面積法求AC、BC,RTAAEM求出AE=CE=BF,求出BE=CF,X型相似BCGFEG,或者或用厶ABCsDOA求出AC；法二、連接G0,三線合一，0G丄EF,tanZF=tanZABE，作EN丄AB)33、如圖，點E是厶ABC的內(nèi)心，AE的延長線和ABC的外接圓00相交于點D,BC是00的直徑，00的切線FD與AB的延長線交于點F.(1)求證：D

16、FBC；(2)若AC=6,DE=5V2，求BF的長(第10題類似，DE=DC，書上例4一樣的題目，簡單方法做BG垂直FD,0DGB為正方形，AFEGsbca。容易理解的方法，母子相似和旋轉(zhuǎn)相似，F(xiàn)DBsFADsDAC,DAC兩邊知道，F(xiàn)DE知道一邊)34、如圖，已知AB是00的直徑，點C在00上，D是AB的中點，過點C作CD的垂線，與DB的延長線（CBEsCAD，可求出BD，BE。復(fù)雜的方法，CD、AB交于G,做GF丄CB,ACGF為等腰直角,AACB“GFB，求出CG、GF、BG、，進而求出DG,得到CD，ACBsDCE）35、如圖，AB是00的直徑，點C在00上,D是00上的一個動點，且C

17、，D兩點位于直徑AB的兩側(cè).連接CD，過點C作CE丄CD交DB的延長線于點E.若AC=2,BC=4，則線段DE長的最大值是（ACBsDCE,CD：CE=AC：AB,CD越大，CE越大，進而DE越大，所以CD是直徑時DE最大。）36、如圖，AB為00的直徑，點C,D在00上,AC0D,過點D的切線與AB的延長線交于點E,CB與0D相交于點F,若AB=V35,DB=V10.(1)求證：CBDE；(2)求BE的長（法一，外部母子型，ADEsDBE，設(shè)BE=x，解方程，法二，內(nèi)部母子型，連接AD交BC于F,ABDsBFD，再用平行線分線段成比例；法三，作DG丄AB,ADB面積法，BC交0D于F,BF=

18、DG=1/2BC,AACB“ODE)37、如圖，AD是00的切線，切點為A,AB是00的弦.過點B作BCAD，交00于點C,連接AC,過點C作CDAB，交AD于點D.連接A0并延長交BC于點M,交過點C的直線于點P,且ZBCP=ZACD.(1)判斷直線PC與00的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB=9,BC=6.求PC的長.,ZBCP=ZACD=ZBACP=ZPOC,法二，連接CO并延長至N,連接BN,第二問，法一垂徑定理基本圖形求出半徑，OPCOCM，法二8字形相似厶ABMCPM，簡單)38、如圖，A、P、B、C是00上的四點，ZAPC=ZBPC=60。，AB與PC交于Q點.(1)判斷ABC

19、的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)求證：竺二PBQBABC的面積為4V3,求PC的長.(平行線法，或者X型相似，相交弦定理，第二問法一，做BD/AP，相似,BP=BD；法二，APQCBQ,BPQsCAQ,AC=BC,找需要的那一組邊AP、AQ,BP、BQ。第二問作BN丄PC)39、如圖，AB是00的直徑，C是00上一點，0D丄BC于點D,過點C作00的切線，交0D的延長線于點E,連結(jié)BE.(1)求證:BE與00相切(2)連結(jié)AD并延長交BE于點F,若0B=9,求血乙比=jBF的長(垂徑定理，作DG丄AB于G,RTA0BD射影定理，ADGsABF)40、如圖所示，AABC是直角三角形，ZABC=90

20、,以AB為直徑的圓0交AC于點E,點D是BC邊的中點,連結(jié)DE.(1)求證：DE與圓0相切；(2)若圓0的半徑為V3,DE=3,求AE。(直角三角形斜邊中線，面積法or射影定理)41、如圖所示，AB是00的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CD丄AB于點D,CD交AE于點F,過C作CGAE交BA的延長線于點G.(1)求證：CG是00的切線.(2)求證：AF=CF.(3)若ZEAB=30,CF=2,求GA的長.垂徑定理，平行；等弧對等角；基本計算)42、如圖，00的直徑AC與弦BD相交于點F,點E是DB延長線上一點，ZEAB=ZADB.求證：EA是00的切線；已知點B是EF的中點，求證：

21、以A、B、C為頂點的三角形與AAEF相似；已知AF=4,CF=2,在(2)的條件下，求AE的長.43、如圖，已知AB是00的直徑，BC是00的切線，B為切點，OC平行于弦AD,連接CD.過點D作DE丄AB于E,交AC于點P,求證：點P平分線段DE.（14題類似，連0D證全等，作切線AF，F(xiàn)ADECB，對應(yīng)成比例，切線長定理）44、如圖，在ABC中，AB=AC，以AC為直徑作00交BC于點D,過點D作00的切線EF，交AB和AC的延長線于E、F.（1）求證：FE丄AB；（2）當(dāng)AE=6，sinZCFD=3/5時，求EB的長.（連接0D,平行線型相似，勾股定理）45、如圖.已知AB是00的直徑.C是00上一點，直線CE與AB的延長線相交于點E,AD丄CE于點D,AD交00于點F.AC平分ZDAE.（1）求證：CE是00的切線.（2）若DC+DF=6.00的直徑為10,求AF的長.（過0作0G丄AD,勾股定理）46、如圖，AB是00的直徑，BD是00的切線，點C為00上一點，0D丄BC于點F交00于點E,連接AE、CE.(I)求證：Z0DB=ZAEC；(2)若00的半徑為4，sinA=3/4，求EF的長.與第九題類似