余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)教學設(shè)計

1、-. z.余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)【教學目標】1.能利用單位圓中的余弦線畫出余弦函數(shù)的圖像.2.能類比正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)得出余弦函數(shù)的性質(zhì).3.能理解余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義.4.會求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間.【知識梳理】問題1:余弦函數(shù)的圖像的作法(1)平移法:余弦函數(shù)y=cos *的圖像可以通過將正弦曲線y=sin *的圖像向平移個單位長度得到(如圖).(2)五點法:余弦曲線在0,2上起作用的五個關(guān)鍵點分別為.問題2:余弦函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間(1)定義域為;(2)值域為;(3)單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.問題3:余弦函數(shù)的周期、奇偶性、對稱軸和

2、對稱中心(1)周期T=;(2)偶函數(shù);(3)對稱軸為(4)對稱中心為.問題4:余弦函數(shù)的復合函數(shù)f(*)=Acos(*+)(A0,0)的對稱軸、對稱中心和單調(diào)區(qū)間(1)當*+= QUOTE +k時,即為對稱中心;(2)當*+=k時,即為對稱軸;(3)當*+-+2k,2k時,求得*屬于的區(qū)間為區(qū)間;當*+2k,+2k時,求得*屬于的區(qū)間為區(qū)間.(注:以上kZ)【典型例題】要點一余弦函數(shù)的圖像及應(yīng)用例1畫出ycos *(*R)的簡圖，并根據(jù)圖像寫出：(1)yeq f(1,2)時*的集合；(2)eq f(1,2)yeq f(r(3),2)時*的集合解：用五點法作出ycos *的簡圖(1)過eq bl

3、c(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)點作*軸的平行線，從圖像中看出：在，區(qū)間與余弦曲線交于eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(1,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(1,2)點，在，區(qū)間，yeq f(1,2)時，*的集合為eq blcrc(avs4alco1(*|f(,3)*f(,3).當*R時，假設(shè)yeq f(1,2)，則*的集合為eq blcrc (avs4alco1(*blc|rc(avs4alco1(f(,3)2k*f(,3)2k，kZ)(2)過eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，eq blc(rc)

4、(avs4alco1(0，f(r(3),2)點分別作*軸的平行線，從圖像中看出它們分別與余弦曲線交于eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2k，f(1,2)，kZ，eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2k，f(1,2)，kZ點和eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)2k，f(r(3),2)，kZ，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)2k，f(r(3),2)，kZ點，則曲線上夾在對應(yīng)兩直線之間的點的橫坐標的集合即為所求，即當eq f(1,2)yeq f(r(3),2)時*的集合為：eq blcrc (avs4alco1(*blc|r

5、c(avs4alco1(f(2,3)2k*f(,6)2k或f(,6)2k*f(2,3)2k，kZ).規(guī)律方法：利用三角函數(shù)的圖像或三角函數(shù)線，可解簡單的三角函數(shù)不等式，但需注意解的完整性跟蹤演練1求函數(shù)f(*)lg cos *eq r(25*2)的定義域解由題意，*滿足不等式組eq blcrc (avs4alco1(cos *0,25*20)，即eq blcrc (avs4alco1(5*5,cos *0)，作出ycos *的圖像結(jié)合圖像可得：*eq blcrc)(avs4alco1(5，f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)eq blc(rc(avs4a

6、lco1(f(3,2)，5).要點二：余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例2求函數(shù)ylog (cos 2*)的增區(qū)間解：由題意得cos 2*0且ycos 2*遞減*只須滿足：2k2*2keq f(,2)，kZ.k*1391360，cos 139cos 221.(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(23,5)coseq f(23,5)coseq blc(rc)(avs4alco1(4f(3,5)coseq f(3,5)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(17,4)coseq f(17,4)coseq blc(rc)(avs4alco1(4f(,4)coseq f(,4).

7、0eq f(,4)eq f(3,5)，且ycos *在0，上遞減，coseq f(3,5)coseq f(,4)，即coseq blc(rc)(avs4alco1(f(23,5)0，又因為1cos*1，顯然3cos*0，所以*R.二、填空題7函數(shù)ycos*在區(qū)間，a上為增函數(shù)，則a的取值圍是_答案(，0解析ycos*在，0上是增函數(shù)，在0，上是減函數(shù)，只有解析coseq blc(rc)(avs4alco1(f(47,10)coseq blc(rc)(avs4alco1(5f(3,10)coseq f(3,10)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(44,9)coseq blc(

8、rc)(avs4alco1(5f(,9)coseq f(,9)，由ycos*在0，上是單調(diào)遞減的，所以coseq f(3,10)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(44,9).三、解答題9假設(shè)函數(shù)f(*)absin*的最大值為eq f(3,2)，最小值為eq f(1,2)，求函數(shù)y1acosb*的最值和周期解析(1)當b0時，假設(shè)sin*1，f(*)ma*eq f(3,2)；假設(shè)sin*1，f(*)mineq f(1,2)，即eq blcrc (avs4alco1(abf(3,2)，,abf(1,2).)解得eq blcrc (avs4alco1(af(1,2)，,b1.)此時

9、b10符合題意，所以y1eq f(1,2)cos*.(2)當b0時，f(*)a，這與f(*)有最大值eq f(3,2)，最小值eq f(1,2)矛盾，故b0不成立(3)當b0時，顯然有eq blcrc (avs4alco1(abf(3,2)，,abf(1,2).)解得eq blcrc (avs4alco1(af(1,2)，,b1，)符合題意所以y1eq f(1,2)cos(*)1eq f(1,2)cos*.綜上可知，函數(shù)y1eq f(1,2)cos*的最大值為eq f(3,2)，最小值為eq f(1,2)，周期為2.一、選擇題1將以下各式按大小順序排列，其中正確的選項是()Acos0coseq

10、 f(1,2)cos1cos30cosBcos0coscoseq f(1,2)cos30coseq f(1,2)cos1cos30cosDcos0coseq f(1,2)cos30cos1cos答案D解析在0，eq f(,2)上，0eq f(1,2)eq f(,6)coseq f(1,2)coseq f(,6)cos10.又coscoseq f(1,2)coseq f(,6)cos1cos.2函數(shù)f(*)*cos*的局部圖像是()答案D解析由f(*)*cos*是奇函數(shù)，可排除A，C.令*eq f(,4)，則f(eq f(,4)eq f(,4)coseq f(,4)eq f(r(2),8)0.故

11、答案選D.二、填空題3假設(shè)cos*eq f(2m1,3m2)，且*R，則m的取值圍是_答案(，3eq blcrc)(avs4alco1(f(1,5)，)解析eq blc|rc|(avs4alco1(f(2m1,3m2)|cos*|1，|2m1|3m2|.(2m1)2(3m2)2.m3，或meq f(1,5).m(，3eq blcrc)(avs4alco1(f(1,5)，).4設(shè)f(*)的定義域為R，最小正周期為eq f(3,2).假設(shè)f(*)eq blcrc (avs4alco1(cos*blc(rc)(avs4alco1(f(,2)*0)，,sin*0*，)則feq blc(rc)(avs4

12、alco1(f(15,4)_.答案eq f(r(2),2)解析Teq f(3,2)，kTkeq f(3,2)(kZ)都是yf(*)的周期，feq blc(rc)(avs4alco1(f(15,4)feq blcrc(avs4alco1(3f(3,2)f(3,4)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)sineq f(3,4)sineq f(,4)eq f(r(2),2).三、解答題5利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，比擬cos(eq f(23,5)與cos(eq f(17,4)的大小分析利用誘導公式化為0，上的余弦值，再比擬大小解析cos(eq f(23,5)coseq f(23,5)co

13、seq f(3,5)，cos(eq f(17,4)coseq f(17,4)coseq f(,4).因為0eq f(,4)eq f(3,5)coseq f(3,5)，即cos(eq f(23,5)0，*R.yeq r(cossin*)的定義域為R.(2)要使函數(shù)有意義，只要eq blcrc (avs4alco1(12cos*0，,2sin*10，)即eq blcrc (avs4alco1(cos*f(1,2)，,sin*f(1,2).)由以下圖可得cos*eq f(1,2)的解集為*|eq f(,3)2k*eq f(5,3)2k，kZsin*eq f(1,2)的解集為*|eq f(,6)2k*eq f(5,6)2k，kZ它們的交集為*|eq f(,3)2k*eq f(5,6)2k，kZ，即為函數(shù)的定義域7函數(shù)f(*)eq f(1,2)eq f(a,4)acos*cos2*(0*eq f(,2)的最大值為2，數(shù)a的值解析令tcos*，由0*eq f(,2)，知0cos*1，即t0,1所以原函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為yt2ateq f(1,2)eq f(a,4)eq blc(rc)(avs4alco1(tf(a,2)2eq f(a2,4)eq f(1,2)eq f(a,4)，t0,1(1)假設(shè)