“對數(shù)平均數(shù)不等式”應用舉隅

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) “對數(shù)平均數(shù)不等式”應用舉隅江蘇省姜堰中學 張圣官（）已知為兩不等的正實數(shù)，我們稱為的“對數(shù)平均數(shù)”它與的“幾何平均數(shù)”及“算術平均數(shù)”之間有如下不等關系：證明：不妨設先證，即證， 令，設， 則，所以在遞減，而，因此當時，恒成立，即成立 再證，即證， 令， 則，所以在遞增，而，因此當時，恒成立，即成立 該不等式本身的證明乃通過構造函數(shù)，借助于導數(shù)作為工具，利用函數(shù)單調性而得在處理某些與指數(shù)、對數(shù)相關的不等式問題時，可以嘗試應用它來幫助思考分析 例1 已知函數(shù)（1）當時

2、，求過點的曲線的切線方程；（2）當存在兩個不同零點時，求證： 分析：第（1）題易得切線方程為；第（2）題中我們先要探究：當存在兩個不同零點時，需要具備什么條件，又能推得什么結論？轉化為研究曲線和直線，當直線與曲線相切時，設切點為，則切線方程為，因此這樣當存在兩個不同零點時，必有進一步思考，要證明，可轉化為證明，或等思路 方法一：即要證，令，由于，所以，為方程的兩根由于，所以在遞增，在遞減 設，則，在遞增， 從而，當時，即， 所以，因此，即原不等式成立 方法二：即要證，由于，因而， 令，則， 在遞增，在遞減 設，其在遞減，所以， 所以，從而， 由此得，即 本題是近年來流傳甚廣的一道題，其條件結論

3、非常優(yōu)美以上兩種方法散見于各種資料上，它們的特點均是通過構造輔助函數(shù)來幫助論證的總的來說，解題過程較為繁瑣，而且要經(jīng)過兩次構造函數(shù)才行現(xiàn)在讓我們換一種思路，將指數(shù)關系轉化為對數(shù)關系，這樣剛才的對數(shù)平均數(shù)不等式或許就能夠幫得上忙以下解法令人拍案叫絕，真的是“大道至簡”！ 方法三：由于，因而，由對數(shù)平均數(shù)不等式知， 從而，即 例2（2010年天津高考理科21題）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；（）已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=的圖象關于直線對稱，證明：當時，；（）如果，且，證明： 分析：（）、（）略（）由前知，是函數(shù)的極值點，不妨設，則根據(jù)，有，即 ，按照常規(guī)思路，一般設，則，然后通過構造函數(shù)來

4、解決但如此需要兩次構造函數(shù)過程繁瑣，而且還要用到像羅必塔法則這樣高等數(shù)學的知識還是讓我們調整一下思路，利用對數(shù)平均數(shù)不等式試試看將兩邊取自然對數(shù)得，故，由對數(shù)平均數(shù)不等式知，即 例3 (2014年江蘇省南通二模試題)設函數(shù)，其圖像與軸交于兩點，且（）求實數(shù)的取值范圍；（）求證：解：（）由，當時，單調遞增，不合題意；當時在遞減，在遞增，則根據(jù)條件有兩個零點得，從而實數(shù)的取值范圍為（）由，兩式相減得，從而， 在以上的對數(shù)平均數(shù)不等式中，將分別賦值為，則得 ，即，又是單調增函數(shù)，且，故例4（2011年遼寧高考理科壓軸題）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調性；（2）設，證明：當時 ，；（3）若函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為，證明：分析：（1）、（2）略；（3）由（