數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽必備資料

1、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽必備資料一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題直接影響競(jìng)賽答卷水平的一個(gè)重要問題是參賽者不能正確面對(duì)競(jìng)賽題目。 1、以為賽題就是某領(lǐng)域中的一個(gè)“原原本本”的實(shí)際問 題，因而生搬硬套該領(lǐng)域的專門資料;2、心存僥幸，想“找捷徑”從網(wǎng)上下載自認(rèn)為是直 接解答賽題的參考資料；3、沾沾自喜，認(rèn)為賽題撞到槍口上用自己所學(xué)的 專業(yè)知識(shí)就能拿下；一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題5、僅僅從字面上理解賽題對(duì)參賽者的要求以致該做的 沒做、應(yīng)答的未答；4、誤以為在答卷中所用的數(shù)學(xué)知識(shí)越高深、計(jì)算方法 越新潮，才越有水平；6、不注意揣摩命題人的意圖，忽視賽題具有的靈活性。一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 CUMCM章程的第二

2、條：“競(jìng)賽題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過適當(dāng)簡(jiǎn)化加工的實(shí)際問題，不要求參賽者預(yù)先掌握深入的專門知識(shí)，只需要學(xué)過高等學(xué)校的數(shù)學(xué)課程。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)等方面的論文。”一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 結(jié)合歷年賽題，分四方面談?wù)勅绾蚊鎸?duì)數(shù)模競(jìng)賽賽題。 一、沉著面對(duì) 二、深入理解 三、準(zhǔn)確把握 四、正確選題一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 一、沉著面對(duì) 競(jìng)賽題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等 方面尚未解決至少是尚未完全解決的實(shí)際問題。 一般不存在現(xiàn)成的解答。同

3、時(shí)，競(jìng)賽題目是經(jīng) 過了適當(dāng)簡(jiǎn)化加工的實(shí)際問題，并不要求參賽 者預(yù)先掌握深入的專門知識(shí)，也不會(huì)讓某類專業(yè) 的參賽者“近水樓臺(tái)先得月” 。一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題例1.1 CUMCM-2004B題 (電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理)充滿了“出力”、“潮流”、“清算價(jià)”、“阻塞”、“安全裕度”、等等專業(yè)術(shù)語，不得不查閱電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理方面的專門知識(shí)。 其實(shí)不然，只要靜下心來一遍又一遍仔細(xì)地看了這道題之后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)題目中使用的專業(yè)術(shù)語的含義已經(jīng)在題目中闡述得一清二楚了。 一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 經(jīng)驗(yàn)告訴我們，完成CUMCM的賽題，并不要求參賽者預(yù)先掌握深入的專門知識(shí)。既然賽題已將復(fù)雜的實(shí)際問題

4、大大簡(jiǎn)化（這是前進(jìn)），那么，參賽者就不要反過來“將簡(jiǎn)化后的賽題復(fù)雜化”（這是倒退）。參賽者憑已學(xué)過的基礎(chǔ)知識(shí)、已積累起來的常識(shí)，再加上賽前培訓(xùn)補(bǔ)充的相關(guān)知識(shí)，通常就可將賽題“拿下”了。一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題例1.2 CUMCM-2009A題（制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析） 適當(dāng)?shù)夭殚喣承┱撐?，或許有助于理解此題，但不可能找到此題的直接解答。這是由于為了形成這個(gè)賽題，命題者完全回避了溫度、壓力，因此是做了大幅度簡(jiǎn)化的，與一般的這類實(shí)際問題已不一樣。正因?yàn)槿绱?，無論參賽者學(xué)哪類專業(yè)，都不存在“沾光”或“吃虧”的差異。 一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 面對(duì)賽題應(yīng)當(dāng)沉著，既不要“望題生畏”，也不要“

5、心存僥幸”。試想，如果有這么一道賽題，眾多的參賽學(xué)生都無法下手；或者有那么一道賽題，會(huì)使少數(shù)專業(yè)的參賽學(xué)生大沾其光。那只能說明出題者沒水平或組委會(huì)失職。我可以負(fù)責(zé)地告訴大家，在CUMCM中，過去、現(xiàn)在以及未來都不可能發(fā)生這樣的事。一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 一道好的賽題所需要的專門知識(shí)不一定廣，所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)不一定深。做這樣的賽題更應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是“面向?qū)嶋H”的指導(dǎo)思想。 基本知識(shí)扎實(shí)固然重要，而在建立模型、設(shè)計(jì)算法、計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、分析計(jì)算結(jié)果以及撰寫論文等環(huán)節(jié)都能緊密結(jié)合所要解決的實(shí)際問題，才是最需要練就的本領(lǐng)(也是謀生的本領(lǐng)）。 參賽時(shí)最好能記住：你們是在做一件事，而不是在完成一道練習(xí)題。

6、一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題二、深入理解 參賽者對(duì)賽題理解的透徹程度，直接關(guān)系到所交論文的質(zhì)量水平。評(píng)閱者根據(jù)什么來判斷參 賽者對(duì)賽題的理解是否透徹呢？我認(rèn)為主要看“基本假設(shè)”、 “建模及求解思路”等部分。一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 首先，“基本假設(shè)”起著舉足輕重的作用。根據(jù)不同的假設(shè)有可能得出不同的模型；不同深度的假設(shè)會(huì)導(dǎo)致不同水平的模型；不合理的假設(shè)顯然會(huì)偏離原題。例1.3 CUMCM-2003B題 (露天礦生產(chǎn)的車輛安排) 有一個(gè)至關(guān)重要的假設(shè)：“只考慮同一條路線上的車輛不發(fā)生等待”。這是因?yàn)椋绻B這一點(diǎn)都做不到，那么等待就是“必然”的；而做到了這一點(diǎn)之后，不同路線上的車輛在某一裝點(diǎn)

7、（或卸點(diǎn)）是否出現(xiàn)等待將是“隨機(jī)”的。 一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 該題的背景是城市公交路徑查詢系統(tǒng)的研制。該題僅提出“應(yīng)該從實(shí)際情況出發(fā)，滿足查詢者的各種不同要求”，并沒有對(duì)“什么樣的路徑為最優(yōu)”提出明確的要求，需要參賽者自己去思考。雖然體現(xiàn)了開放性，但是并不難。 其次，務(wù)必弄清楚“應(yīng)當(dāng)對(duì)什么問題建?！?。例1.4 CUMCM-2007B題 （乘公交，看奧運(yùn)）一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 稍加思考便能找出三種主要的要求：換乘次數(shù)最少，行程總時(shí)間最短，乘車總費(fèi)用最省。顯而易見此題是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題。 然而怎樣對(duì)待查詢者的各種不同要求呢？過分強(qiáng)調(diào)某一目標(biāo)（如換乘次數(shù)），或者把三個(gè)目標(biāo)通過加權(quán)合

8、成轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)，都是不合理的，因?yàn)椴环蠈?shí)際。 應(yīng)當(dāng)按不同目標(biāo)的各種字典順序，分別建立不同的優(yōu)化模型。 一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 最后，模型求解的方法，無論是自己設(shè)計(jì)的，還是選用現(xiàn)成的，都應(yīng)當(dāng)遵循從實(shí)際出發(fā)的原則，所用的方法要有針對(duì)性。 CUMCM-2009A題（制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析） 近幾年，一些賽題的數(shù)據(jù)，往往先運(yùn)用擬合、插值、灰色預(yù)測(cè)等方法。有的參賽者似乎掌握了“套路”，或者是有了某種“慣性”。見到此題給的離散數(shù)據(jù)，馬上來 一番擬合或插值，接下去卻派不上用場(chǎng)，顯得十分荒唐。這道題的離散數(shù)據(jù)就是直接在離散情況下使用的。一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題三、準(zhǔn)確把握 賽題通常由背景、問題

9、、信息這三部分組成。 要領(lǐng)會(huì)賽題對(duì)參賽者的要求，不能只看賽題的“問題”部分，一定要看賽題的從標(biāo)題到附件的全部?jī)?nèi)容；如果僅僅從字面上去理解賽題對(duì)參賽者的要求那是不夠的。 好的參賽隊(duì)還應(yīng)當(dāng)注意揣摩命題人的意圖，利用賽題具有的靈活性，發(fā)揮出本隊(duì)的優(yōu)勢(shì)。 一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 準(zhǔn)確把握賽題的意圖，就是要明確：“這道題要參賽者做什么事？”“在該題的答卷中需要回答哪些問題？” 簡(jiǎn)潔地說，就是明確 做什么？ 答什么？一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題必須按照實(shí)際問題的需要去做，并且按照實(shí)際問題的需要給出結(jié)果。例1.5 CUMCM-2003B題 (露天礦生產(chǎn)的車輛安排)這是一個(gè)優(yōu)化問題，用數(shù)學(xué)方法可求得目標(biāo)

10、函數(shù)的最優(yōu)值以及相應(yīng)的決策變量。但是，答卷在表述最終結(jié)果時(shí)，應(yīng)當(dāng)按照題目的要求具體給出“一個(gè)班次的生產(chǎn)計(jì)劃”： 動(dòng)用幾臺(tái)電鏟，在哪幾個(gè)鏟位作業(yè)；出動(dòng)多少量自卸卡車，分別運(yùn)行在哪幾條線路上。如果這樣安排，那么一個(gè)班次就能生產(chǎn)多少礦石、多少巖石；總運(yùn)量是多少等等。一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 此題所給的數(shù)據(jù)有一些是用不上的，一些參賽隊(duì)誤以為“題目給的數(shù)據(jù)不用是不行的”，以致為了用數(shù)據(jù)而湊方法；甚至在答卷中質(zhì)問：“題目給出這些數(shù)據(jù)的目的何在？”。 做什么？怎樣做？都應(yīng)當(dāng)符合實(shí)際問題的需要。 例1.6 CUMCM-2010A題 （儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定 ）一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題四、正確選題

11、 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的賽題都是將某一領(lǐng)域的實(shí)際問題經(jīng)過簡(jiǎn)化加工而形成的，是該領(lǐng)域尚未解決或尚未完全解決的問題。 賽題通常包括背景、問題和信息三個(gè)部分。其中信息可能是若干參數(shù)或一些數(shù)據(jù)（甚至是“海量” 數(shù)據(jù)），也可能是圖形（包括數(shù)字化圖形）。 一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 參賽時(shí)選哪個(gè)題？選難度較低的賽題，未必能做出水平，你認(rèn)為做得挺好，其實(shí)別人可能做得更好；選難度較高的賽題，未必就做不出水平，這種題富有挑戰(zhàn)性，更能激發(fā)你的創(chuàng)造性，你認(rèn)為做得不怎么樣，其實(shí)別人不一定能超過你。一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的評(píng)卷不是“過等級(jí)”而是“排座次”。在做同一個(gè)賽題的所有答卷中，對(duì)難度較低的賽題而言往

12、往是“從高的里面挑更高的”；對(duì)難度較高的賽題而言往往是“在低的里面找較高的”。中國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽特別強(qiáng)調(diào)，評(píng)卷時(shí)將向難度較大的賽題傾斜。一、如何面對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題 因此，“避重就輕”或“寧重勿輕”都是不明智的。 應(yīng)當(dāng)從本隊(duì)成員的實(shí)際情況出發(fā)，以有利于發(fā)揮三個(gè)人的綜合優(yōu)勢(shì)為原則，選擇賽題。 二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法題號(hào)98A98B99A99B賽題投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)災(zāi)情巡視路線自動(dòng)化車床管理鉆井布局?jǐn)?shù)學(xué)工具優(yōu)化離散優(yōu)化概率,優(yōu)化優(yōu)化應(yīng)用領(lǐng)域金融公用管理工業(yè)管理工業(yè)管理專業(yè)要求低低中低開放度中低低低二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法題號(hào)00A00B01A01B賽題DNA序列分類鋼管定購(gòu)和運(yùn)輸血管的

13、三維重建公交車調(diào)度數(shù)學(xué)工具統(tǒng)計(jì)優(yōu)化計(jì)算機(jī)圖形學(xué)優(yōu)化應(yīng)用領(lǐng)域生物工業(yè)管理醫(yī)學(xué)公用管理專業(yè)要求中低中低開放度高低中中二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法題號(hào)02A02B03A03B賽題車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)彩票中的數(shù)學(xué)SARS的傳播露天礦生產(chǎn)的車輛安排數(shù)學(xué)工具優(yōu)化,幾何概率,優(yōu)化方程,優(yōu)化優(yōu)化應(yīng)用領(lǐng)域光學(xué)公用管理醫(yī)學(xué)工業(yè)管理專業(yè)要求高低中低開放度低高高低二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法題號(hào)04A04B05A05B賽題奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè) DVD在線租賃數(shù)學(xué)工具統(tǒng)計(jì),優(yōu)化優(yōu)化,統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì),方程優(yōu)化應(yīng)用領(lǐng)域公用管理工業(yè)管理環(huán)保商業(yè)專業(yè)要求低中中低開放度高低高中二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)

14、賽中的常用算法題號(hào)06A06B07A07B賽題出版社的資源配置 艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè) 中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 乘公交，看奧運(yùn) 數(shù)學(xué)工具統(tǒng)計(jì),優(yōu)化統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì),方程統(tǒng)計(jì),優(yōu)化應(yīng)用領(lǐng)域商業(yè)醫(yī)學(xué)社會(huì)公用管理專業(yè)要求低高低低開放度高低高中二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法題號(hào)08A08B09A09B賽題數(shù)碼相機(jī)定位高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析眼科病床的合理安排數(shù)學(xué)工具方程,優(yōu)化統(tǒng)計(jì),回歸方程動(dòng)態(tài)規(guī)劃,優(yōu)化應(yīng)用領(lǐng)域商業(yè)社會(huì)商業(yè)醫(yī)學(xué)專業(yè)要求高低中低開放度低高低高二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法1. 蒙特卡羅方法(Monte-Carlo方法, MC) 該算法又稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)性模擬方法，也稱統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法。

15、MC方法是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法，能夠比較逼真地描述事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題。 MC方法的雛型可以追溯到十九世紀(jì)后期的蒲豐隨機(jī)投針試驗(yàn)，即著名的蒲豐問題。 MC方法通過計(jì)算機(jī)仿真(模擬)解決問題，同時(shí)也可以通過模擬來檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽中經(jīng)常使用的方法。二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法CUMCM-1997A題 零件的參數(shù)設(shè)計(jì)每個(gè)零件都有自己的標(biāo)定值，也都有自己的容差等級(jí)，而求解最優(yōu)的組合方案將要面對(duì)著的是一個(gè)極其復(fù)雜的公式和108種容差選取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最優(yōu)的方案呢？隨機(jī)性模擬搜索最優(yōu)方案就是其中的一種方法，在每個(gè)零件可行的區(qū)

16、間中按照正態(tài)分布隨機(jī)的選取一個(gè)標(biāo)定值和選取一個(gè)容差值作為一種方案，然后通過蒙特卡羅算法仿真出大量的方案，從中選取一個(gè)最佳的。CUMCM-2002B題 彩票中的數(shù)學(xué)關(guān)于彩票第二問，要求設(shè)計(jì)一種更好的方案，首先方案的優(yōu)劣取決于很多復(fù)雜的因素，同樣不可能刻畫出一個(gè)模型進(jìn)行求解，只能靠隨機(jī)仿真模擬。二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法2. 規(guī)劃類問題算法 此類問題主要有線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等。競(jìng)賽中很多問題都和數(shù)學(xué)規(guī)劃有關(guān)，可以說不少的模型都可以歸結(jié)為一組不等式作為約束條件、幾個(gè)函數(shù)表達(dá)式作為目標(biāo)函數(shù)的問題，遇到這類問題，求解就是關(guān)鍵了。CUMCM-1998B題 災(zāi)情巡視路線 用很多不等式完

17、全可以把問題刻畫清楚 因此列舉出規(guī)劃后用Lingo 等軟件來進(jìn)行解決比較方 便，所以還需要熟悉這個(gè)軟件。二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法3. 圖論問題 這類問題算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等問題。CUMCM 1994 B 題（鎖具裝箱）、2000 B 題（鋼管訂購(gòu)與運(yùn)輸）、1998B 題（災(zāi)情巡視路線）等問題體現(xiàn)了圖論問題的重要性。二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法4. 計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)中的問題 計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)包括很多內(nèi)容：動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分枝定界等計(jì)算機(jī)算法.CUMCM1992 年B 題用分枝定界法CUMCM1997

18、年B 題是典型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題CUMCM1998 年B 題體現(xiàn)了分治算法 這方面問題和ACM 程序設(shè)計(jì)競(jìng)賽中的問題類似，可看一下與計(jì)算機(jī)算法有關(guān)的書。二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法5. 最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法:模擬退火法 (SA)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(NN)、遺傳算法(GA) 近幾年的賽題越來越復(fù)雜，很多問題沒有什么很好的模型可以借鑒，于是這三類算法很多時(shí)候可以派上用場(chǎng)。CUMCM 1997年A 題用模擬退火算法CUMCM 2000年B 題用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類算法CUMCM 2001年B 題這種難題也可以使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)目前算法最佳的是遺傳算法。二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法6. 網(wǎng)格算法和窮舉算法CUMCM 19

19、97 A 題、1999 B 題都可以用網(wǎng)格法搜索 網(wǎng)格算法和窮舉法一樣，只是網(wǎng)格法是連續(xù)問題的窮舉。此類算法運(yùn)算量較大。 這種方法最好在運(yùn)算速度較快的計(jì)算機(jī)中進(jìn)行，還有要用高級(jí)語言來做，最好不要用MATLAB 做網(wǎng)格，否則會(huì)算很久的。二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法7. 連續(xù)問題離散化的方法 很多問題都是實(shí)際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計(jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)據(jù)，因此需要將連續(xù)問題進(jìn)行離散化處理后再用計(jì)算機(jī)求解。比如差分代替微分、求和代替積分等思想都是把連續(xù)問題離散化的常用方法。二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法8. 數(shù)值分析方法 數(shù)值分析研究各種求解數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法，特別是適合于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)方法與算法

20、。 它的主要內(nèi)容包括函數(shù)的數(shù)值逼近、數(shù)值微分與數(shù)值積分、非線性方程的數(shù)值解法、數(shù)值代數(shù)、常微分方程數(shù)值解等。數(shù)值分析是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，把理論與計(jì)算緊密結(jié)合，是現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ) 。 MATLAB等數(shù)學(xué)軟件中已經(jīng)有很多數(shù)值分析的函數(shù)可以直接調(diào)用。二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法9. 圖象處理算法CUMCM 2001A 題（血管的三維重建）CUMCM 2013B 題（碎紙片的拼接）需要你會(huì)讀BMP 圖象賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即使問題與圖形無關(guān)，論文中也會(huì)需要圖片來說明問題，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使MATLAB進(jìn)行處理。 數(shù)模論文中也有很多圖片需要展示，解決這

21、類問題要熟悉MATLAB圖形圖像工具箱。二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用算法10. 數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法CUMCM 1994 年A 題逢山開路 山體海拔高度的插值計(jì)算1998 年美國(guó)賽A 題 生物組織切片的三維插值處理CUMCM 2011 年A 題 城市表層土壤重金屬污染分析 比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用MATLAB 作為工具。與圖形處理有關(guān)的問題很多與擬合有關(guān)系。 此類問題在MATLAB中有很多函數(shù)可以調(diào)用，只有熟悉MATLAB，這些方法才能用好。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法曲線插值與擬合數(shù)值微分與積分微分方程數(shù)值解回歸分析判別分

22、析三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法1. 曲線插值與擬合一維插值對(duì)表格給出的函數(shù)，求出沒有給出的函數(shù)值。在實(shí)際工作中，經(jīng)常會(huì)遇到插值問題。下表是待加工零件下輪廓線的一組數(shù)據(jù)，現(xiàn)需要得到x坐標(biāo)每改變0.1時(shí)所對(duì)應(yīng)的y的坐標(biāo).三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法下面是插值的兩條命令(專門用來解決這類問題)：y=interp(x0,y0,x,method)分段線性插值y=spline(x0,y0,x) 三次樣條插值x0,y0是已知的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，是同維向量。y對(duì)應(yīng)于x處的插值，y與x是同維向量。method可選nearest(最近鄰插值),linear(線性插值),spline(三次樣條插值),cubic(三

23、次多項(xiàng)式插值)三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法解決上述問題，我們可分兩步: 用原始數(shù)據(jù)繪圖作為選用插值方法的參考. 確定插值方法進(jìn)行插值計(jì)算x0=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15;y0=0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6;plot(x0,y0); %完成第一步工作x=0:0.1:15;y=interp(x0,y0,x); %用分段線性插值完成第二步工作plot(x,y);y=spline(x0,y0,x); plot(x,y); %用三次樣條插值完成第二步工作三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法MATLAB中二維插值的命令是：z=interp

24、2(x0,y0,z0,x,y,meth)二維插值三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法temps=82,81,80,82,84;79,63,61,65,87;84,84,82,85,86;mesh(temps)%根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪出溫度分布圖，可看到此圖的粗造度。在一個(gè)長(zhǎng)為5個(gè)單位，寬為3個(gè)單位的金屬薄片上測(cè)得15個(gè)點(diǎn)的溫度值，試求出此薄片的溫度分布，并繪出等溫線圖。（數(shù)據(jù)如下表）三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法下面開始進(jìn)行二維函數(shù)的三階插值。mesh(width,depth,temps); %根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪出溫度分布圖，可看到此圖的粗造度。 width=1:5; depth=1:3; di=1:0.2

25、:3; wi=1:0.2:5; WI,DI=meshgrid(wi,di); %生成x-y平面上的網(wǎng)格點(diǎn)矩陣ZI=interp2(width,depth,temps,WI,DI,cubic); % 對(duì)數(shù)據(jù)（width,depth,temps）進(jìn)行三階插值擬合。surf(WI,DI,ZI);%可實(shí)現(xiàn)對(duì)網(wǎng)格曲面片著色，將網(wǎng)格曲面轉(zhuǎn)化為實(shí)曲面contour(WI,DI,ZI); %三維圖形等高線三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法曲線擬合假設(shè)一函數(shù)g(x)是以表格形式給出的，現(xiàn)要求一函數(shù)f(x)，使f(x)在某一準(zhǔn)則下與表格函數(shù)（數(shù)據(jù)）最為接近。由于與插值的提法不同，所以

26、在數(shù)學(xué)上理論根據(jù)不同，解決問題的方法也不同。此處，我們總假設(shè)f(x)是多項(xiàng)式。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法問題：彈簧在力F的作用下伸長(zhǎng)x厘米。F和x在一定的范圍內(nèi)服從胡克定律。試根據(jù)下列數(shù)據(jù)確定彈性系數(shù)k,并給出不服從胡克定律時(shí)的近似公式。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法解題思路：可以用一階多項(xiàng)式擬合求出k，以及近似公式。在MATLAB中，用以下命令擬合多項(xiàng)式。polyfit（x0,y0,n）一般，也需先觀察原始數(shù)據(jù)的圖像，然后再確定擬合成什么曲線。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法對(duì)于上述問題,可鍵入以下的命令:x=1,2,4,7,9,12,13,15,17; F=1.5,3.9,6.6,

27、11.7,15.6,18.8,19.6,20.6,21.1; plot(x,F,.)從圖像上我們發(fā)現(xiàn):前5個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)與直線擬合,后5個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)與二次曲線擬合。于是鍵入 : a=polyfit(x(1:5),F(1:5),1); a=polyfit(x(5:9),F(5:9),2);三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法注意：有時(shí)，面對(duì)一個(gè)實(shí)際問題，究竟是用插值還是用擬合不好確定，還需大家在實(shí)際中仔細(xì)區(qū)分。同時(shí)，大家（包括學(xué)過計(jì)算方法的同學(xué)）注意去掌握相應(yīng)的理論知識(shí)。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法2. 數(shù)值微分與積分先看一個(gè)例子：現(xiàn)要根據(jù)瑞士地圖計(jì)算其國(guó)土面積。于是對(duì)地圖作如下的測(cè)量：以東西方向?yàn)闄M軸，

28、以南北方向?yàn)榭v軸。（選適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)為原點(diǎn)）將國(guó)土最西到最東邊界在x軸上的區(qū)間劃取足夠多的分點(diǎn)xi，在每個(gè)分點(diǎn)處可測(cè)出南北邊界點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)y1 ，y2。用這樣的方法得到下表根據(jù)地圖比例知18mm相當(dāng)于40km，試由上表計(jì)算瑞士國(guó)土的近似面積。（精確值為41288km2）。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法解題思路：數(shù)據(jù)實(shí)際上表示了兩條曲線，實(shí)際上我們要求由兩曲線所圍成的圖形的面積。解此問題的方法是數(shù)值積分的方法。具體解時(shí)我們遇到兩個(gè)問題：1、數(shù)據(jù)如何輸入；2、沒有現(xiàn)成的命令可用。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法對(duì)于第一個(gè)問題，我們可把數(shù)據(jù)拷貝成M文件（或純文本文件）。然

29、后，利用數(shù)據(jù)繪制平面圖形。load mianji.txtA=mianji;plot(A(:,1),A(:,2),r,A(:,1),A(:,3),g)三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法接下來可以計(jì)算面積。鍵入：a1=trapz(A(:,1)*40/18,A(:,2)*40/18);%梯形法求數(shù)值積分a2=trapz(A(:,1)*40/18,A(:,3)*40/18);d=a2-a1;d = 4.2414e+004; %精確值為41288三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法至此，問題可以說得到了解決。之所以說還有問題，是我們覺得誤差較大。但計(jì)算方法的理論給了我們更精確計(jì)算方法。只是MATLAB沒有相應(yīng)

30、的命令。想得到更理想的結(jié)果，我們可以自己設(shè)計(jì)解決問題的方法。（可以編寫辛普森數(shù)值計(jì)算公式的程序，或用擬合的方法求出被積函數(shù)，再利用MATLAB的命令quad,quad8）三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法3. 微分方程數(shù)值解單擺問題的數(shù)學(xué)模型是在初始角度不大時(shí),問題可以得到很好地解決,但如果初始角較大,此方程無法求出解析解.現(xiàn)問題是當(dāng)初始角為100和300時(shí),求出其解,畫出解的圖形進(jìn)行比較。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法解:若0較小,則原方程可用 來近似.其解析解為(t)=0cost, . 若不用線性方程來近似,那么有兩個(gè)模型:三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法取g=9.8,l=25, 100=

31、0.1745, 300=0.5236.用MATLAB求這兩個(gè)模型的數(shù)值解,先要作如下的處理:令x1=,x2=,則模型變?yōu)槿?shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法再編函數(shù)文件(danbai.m)function xdot=danbai(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(1)=x(2);xdot(2)=-9.8/25*sin(x(1);在命令窗口鍵入()t,x=ode45(danbai,0:0.1:20,0.1745,0);t,y=ode45(danbai,0:0.1:20,0.5236,0);plot(t,x(:,1),r,t,y(:,1),k);三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法4. 回

32、歸分析前面我們?cè)鴮W(xué)過擬合。但從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)看，對(duì)擬合問題還需作回歸分析。例如：有描述問題甲和問題乙的兩組數(shù)據(jù)(x,y)和(x,z)。設(shè)x=1,2, 3,4,5; y=1.0, 1.3, 1.5, 2.0, 2.3; z=0.6,1.95,0.9,2.85,1.8。如果在平面上畫出散點(diǎn)圖，那么問題甲的四個(gè)點(diǎn)基本在一條直線上而問題乙的四個(gè)點(diǎn)卻很散亂。如果都用命令polyfit(x,y,1)，polyfit(x,z,1)來擬合，將得到同一條直線。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法自然對(duì)問題甲的信任程度會(huì)高于對(duì)問題乙的信任程度。所以有必要對(duì)所得結(jié)果作科學(xué)的評(píng)價(jià)分析?；貧w分析就是解決這種問題的科學(xué)方法。下面

33、結(jié)合三個(gè)具體的例子介紹MATLAB實(shí)現(xiàn)回歸分析的命令。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法合金強(qiáng)度y與其中含碳量x有密切關(guān)系，如下表根據(jù)此表建立y(x)，并對(duì)結(jié)果作可信度進(jìn)行檢驗(yàn)、判斷x對(duì)y影響是否顯著、檢查數(shù)據(jù)中有無異常點(diǎn)、由x的取值對(duì)y作出預(yù)測(cè)。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法在x-y平面上畫散點(diǎn)圖，直觀地知道y與x大致為線性關(guān)系。用命令polyfit(x,y,1)可得y=140.6194x+27.0269。作回歸分析用命令b,bint,r,rint,ststs=regress(y,x,alpha) 可用help查閱此命令的具體用法殘差及置信區(qū)間可以用rcoplot(r,rint)畫圖三、數(shù)學(xué)

34、建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法設(shè)回歸模型為 y=0+1x,在MATLAB命令窗口中鍵入下列命令進(jìn)行回歸分析(px_reg11.m)x1=0.1:0.01:0.18;x=x1,0.2,0.21,0.23;y=42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5;X=ones(12,1),x;b,bint,r,rint,stats=regress(y,X,0.05);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法得結(jié)果和圖b = 27.0269 140.6194bint = 22.3226 31.7313 111.7842

35、169.4546stats = 0.9219 118.0670 0.0000 3.1095三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法結(jié)果含義為0=27.0269 1=140.61940的置信區(qū)間是 22.3226,31.73131的置信區(qū)間是 111.7842,169.4546R2=0.9219 F=118.0670, p10-4.R是衡量y與x的相關(guān)程度的指標(biāo)，稱為相關(guān)系數(shù)。R越大，x與y關(guān)系越密切。通常R大于0.9才認(rèn)為相關(guān)關(guān)系成立。F是一統(tǒng)計(jì)指標(biāo)p是與F對(duì)應(yīng)的概率，當(dāng) p0.05時(shí)，回歸模型成立。此例中 p=0 10-40.05，故所得回歸模型成立。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法觀察所得殘差分布

36、圖，看到第8個(gè)數(shù)據(jù)的殘差置信區(qū)間不含零點(diǎn)，此點(diǎn)視為異常點(diǎn)，剔除后重新計(jì)算。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法此時(shí)鍵入:(px_reg12.m)X(8,:)=;y(8)=;b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)據(jù)處理方法b = 27.0992 137.8085bint = 23.8563 30.3421 117.8534 157.7636stats = 0.9644 244.0571 0.0000 1.4332可以看到：置信區(qū)間縮??；R2、F變大，所以應(yīng)采用修改后的結(jié)果。三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的數(shù)

37、據(jù)處理方法5. 判別分析判別分析是判別樣品所屬類型的一種統(tǒng)計(jì)方法，其應(yīng)用之廣泛可與回歸分析媲美。判別分析與聚類分析不同。判別分析的分類距離判別法Fisher 判別法MATLAB中還包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱，小波分析工具箱，在網(wǎng)上還可以下載遺傳算法工具箱，有興趣的同學(xué)可以借這次機(jī)會(huì)，結(jié)合學(xué)習(xí)MATLAB，好好學(xué)習(xí)一下相關(guān)理論知識(shí)。四、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文的撰寫 寫好答卷的重要性 1、答卷是評(píng)定競(jìng)賽成績(jī)的主要依據(jù)。 2、答卷是競(jìng)賽活動(dòng)成果的體現(xiàn)。 3、寫好答卷是科技寫作的訓(xùn)練。 競(jìng)賽論文的結(jié)構(gòu)1、摘要2、問題重述3、問題分析4、符號(hào)說明5、模型假設(shè)6、模型建立7、模型求解8、模型結(jié)果分析9、模型優(yōu)缺點(diǎn)10、

38、改進(jìn)方向11、參考文獻(xiàn)12、附錄1、摘要寫作要求內(nèi)容：簡(jiǎn)要論述本文所要解決的問題及意義，解決問題的思路與方法、主要結(jié)果（數(shù)值結(jié)果或結(jié)論），建模的創(chuàng)新之處與特色等。注1：全國(guó)競(jìng)賽組委會(huì)已加大對(duì)摘要在評(píng)獎(jiǎng)中的比重。注2：摘要通常不超過一頁(yè)注3：摘要要能吸引評(píng)委的眼球，能表達(dá)全文的概貌、要點(diǎn)、特色，要回答題目要求的全部問題。2、問題重述問題重述部分是要保持全文的完整性，要求用自己的語言將賽題重述一遍，可以簡(jiǎn)單地有刪有增地重述。這一部分相對(duì)不太重要，有的論文只是將題目copy上去就完了。3、問題分析這一部分的任務(wù)是對(duì)賽題作一全面的分析，說明題目要求解決的是什么問題，解決問題的關(guān)鍵是什么，解決問題的思路

39、、大致步驟，是建立模型之前的必要準(zhǔn)備。要點(diǎn)：弄清題意，梳理解決問題的思路。注：也可將這一部分歸入模型建立。在問題分析推導(dǎo)過程要注意的問題：（1）分析：中肯、確切；（2）術(shù)語：專業(yè)、內(nèi)行；（3）原理、依據(jù)：正確、明確；（4）表述：簡(jiǎn)明，關(guān)鍵步驟要列出忌：外行話，專業(yè)術(shù)語不明確，表述混亂，冗長(zhǎng)。4、符號(hào)說明論文中所用到每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，都必須在此說明它們各自的含義，一個(gè)符號(hào)說明用一個(gè)自然段，全部符號(hào)說明形成一個(gè)自然節(jié)。例： Yi第i年的產(chǎn)值。 Xj 第i年的成本。5、模型假設(shè)假設(shè)的合理性是評(píng)閱的一個(gè)重要指標(biāo)，如何作假設(shè)？從題目所給條件中作假設(shè)從題目的要求中作假設(shè)注：作假設(shè)要切合題意，關(guān)鍵性假設(shè)不可缺，不要羅列一大堆無用的假設(shè)。6、模型建立基本模型每一篇論文都必須有一個(gè)模型！常見問題：很多參賽隊(duì)的論文通篇沒有一個(gè)模型，只是用湊的辦法弄出一個(gè)結(jié)果。數(shù)學(xué)模型：可以是一個(gè)（組）公式、算法、圖表等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。強(qiáng)調(diào)：模型意識(shí)?；灸Ｐ停和ǔＪ墙?/p>