二維雙曲型方程的分組并行格式

1、二維雙曲型方程的分組并行格式論文導讀:：本文構造了求解二維雙曲型方程的初邊值問題的一組分組并行算法(GE、GEL、GER),格式的局部截斷誤差階一般為,穩(wěn)定性條件為.數值例子驗證了理論結果.論文關鍵詞：二維雙曲型方程，分組顯式格式:穩(wěn)定性:截斷誤差0 引言設數學模型為： 由于對此方程的計算具有極強的方向性且僅具有單邊邊界條件,故對二維雙曲型串行差分格式的并行化是一件很不容易的事情.從已有文獻看(見文【1】、【2】、【3】、【4】),尚未發(fā)現二維雙曲型方程的并行化格式.本文利用一個二維顯格式、兩個二維顯隱格式和一個二維隱格式構造了一組分組顯式格式,格式的局部截斷誤差階一般為,穩(wěn)定性條件為.1 構

2、造并行差分格式設問題其中于是在第時間層上的4個函數值可由第時間層上的8個函數值顯式地進行計算：即：其中：；(8)將式(3)、(4)、(5)、(6)分別在、處進行Taylor級數展開(見文【5】)得它們的局部截斷誤差分別為: (9) (10) (11) (12) 其中:.我們可將每一時間層上的節(jié)點除左邊界點和下邊界點外按、其中：四個相鄰點組成一組,共分為組.并對每組都使用GE格式(2).且可顯式表示為：(13)其中：；(14)1.2 GEL格式當為奇數時,在靠近下邊界的每兩個內點、組成一組,采用式(2)中的第一式和第二式;在靠近左邊界的每兩個內點、組成一組,采用式(2)中的第一式和第三式;在點采

3、用式(2)中的第一式;在其余個節(jié)點處反復使用GE格式(2),就得GEL格式,其矩陣形式為:(15)其中：;； 、 、同前所述. (16) 1.3 GER格式當為奇數時,在右邊界上的每兩個內點、其中：組成一組,采用式(2)中的第一式和第三式;在上邊界上的每兩個內點、(其中：)組成一組,采用式(2)中的第一式和第二式;在點采用式(2)中的第一式;在其余個節(jié)點處反復使用GE格式(2),就得GER格式,其矩陣形式為:(17)其中:;同前所述. (18)由(9)(12)式可得：定理1 當且時,式(13) 、式(15) 、式(17)的精度一般為.2 穩(wěn)定性分析我們首先對GE格式的穩(wěn)定性進行分析，由式(13

4、)的增長矩陣的特征方程可得：(19)那么：(20)從而：(21)其中：為特征值 (22)因是一個下三角行列式,故顯然有:且解得:又當時, ,從而:遞推可知：對有界.從而可得:定理2 GE格式(13)的穩(wěn)定性條件為類似可得:定理3 當取時,GEL格式(15)、GER格式(17)是穩(wěn)定的.3 數值例子考慮二維雙曲型方程初邊值問題: (23) 它的精確解為:.以下數值例子取對GE格式取，對GEL、GER格式取.表1 并行格式GE、GEL、GER的誤差() 格式 誤差 (0.4,0.4) (0.4,0.8) (0.4,1.2) (0.8,0.4) (0.8,0.8) (0.8,1.2) (1.2,0.

5、4) (1.2,0.8) (1.2,1.2) GE 絕對誤差 2.935e-002 3.279e-002 2.345e-002 3.279e-002 3.727e-002 1.694e-002 2.345e-002 1.694e-002 1.601e-002 相對誤差 3.031e-002 3.818e-002 3.774e-002 3.818e-002 6.133e-002 6.062e-002 3.774e-002 6.062e-002 1.930e-002 GEL 絕對誤差 2.337e-002 2.788e-002 2.026e-002 2.788e-002 3.397e-002 1.

6、582e-002 2.026e-002 1.582e-002 1.493e-002 相對誤差 2.399e-002 3.228e-002 3.243e-002 3.228e-002 5.560e-002 5.638e-002 3.243e-002 5.638e-002 1.777e-001 GER 絕對誤差 1.648e-002 1.997e-002 1.695e-002 9.926e-003 3.196e-003 8.515e-004 4.054e-002 4.626e-002 5.072e-002 相對誤差 1.679e-002 2.291e-002 2.700e-002 1.101e-002 4.931e-003 2.865e-003 5.915e-002 1.350e-001 2.274e-001 以上數值例子驗證了理論分析的正確性,說明了本文的格式可行性與有效性.參考文獻：【1】EVANS D J,ABDULLAH A R B.Group explicitmethod for p