近代光信息處理辦法廣義傅里葉變換與其光學(xué)實(shí)現(xiàn)

1、光學(xué)信息處理1第五章廣義傅里葉變換及其光學(xué)實(shí)現(xiàn) 光學(xué)信息處理2第五章 廣義傅里葉變換及其光學(xué)實(shí)現(xiàn)5.1 引言5.2 廣義傅里葉變換的定義及性質(zhì)5.3 廣義傅里葉變換的本征函數(shù)5.4 用透鏡系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換 的基本光學(xué)單元5.5 基本光學(xué)單元的組合5.6 用自聚焦效應(yīng)光波導(dǎo)實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換5.7 維格納變換光學(xué)信息處理35.1 引 言二維傅里葉變換 (u,v) = Fo =- o (x,y) exp-i2(ux+vy)dxdy 可以用光學(xué)系統(tǒng)近似實(shí)現(xiàn) 在本章中將研究當(dāng)物體到透鏡的距離d1及輸出圖像到透鏡的距離d2不等于透鏡的焦距f 時透鏡或透鏡系統(tǒng)對輸入圖像的變換光學(xué)信息處理45.1 引

2、 言 研究表明，d1和d2 滿足一定的條件時，輸出平面上將出現(xiàn) o 的廣義傅里葉變換： (2)又稱為分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(fractional Fourier transform)，當(dāng)= /2時, 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換顯然變?yōu)槌Ｒ?guī)傅里葉變換光學(xué)信息處理5數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)早在1937年，Condon提出了廣義傅里葉變換的初步概念到1980年，Namias 完整地提出了廣義傅里葉變換的數(shù)學(xué)定義、性質(zhì)，討論了變換的本征函數(shù)，并用于處理諧振子的薛定諤方程、格林函數(shù)問題、在均勻磁場中的自由電子的能級、在含時間變量的均勻磁場中自由電子薛定諤方程的求解等1987年，McBride 和 Kerr 進(jìn)一步研究了廣義傅里葉變

3、換，把變換看作是充分光滑的函數(shù)構(gòu)成的向量空間( Frechet 空間)中的算子，在此框架內(nèi)建立了廣義傅里葉變換更為嚴(yán)謹(jǐn)、完整的理論系統(tǒng)，這兩篇文章至今仍是廣義傅里葉變換的理論基礎(chǔ)光學(xué)信息處理6物理學(xué)家的貢獻(xiàn)直到90年代，光學(xué)科學(xué)家和工程師開始關(guān)注廣義傅里葉變換與光學(xué)的關(guān)系，與三十年前常規(guī)傅里葉變換與光學(xué)的結(jié)合產(chǎn)生了傅里葉光學(xué)的情況非常相似1993年，Ozaktas 和Mendlovic 提出用平方折射率光波導(dǎo)(GRIN)來實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換；Lohmann，Bernardo等則用透鏡系統(tǒng)成功地實(shí)現(xiàn)了這一變換；Lohmann還設(shè)計(jì)了階數(shù)連續(xù)可變的廣義光學(xué)傅里葉變換系統(tǒng)；Bernardo等認(rèn)為應(yīng)正

4、確地稱這一變換為廣義傅里葉變換，而不是分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，因?yàn)殡A數(shù)既可以是整數(shù)、分?jǐn)?shù)，還可以是復(fù)數(shù)光學(xué)信息處理7廣義傅里葉變換與其他變換關(guān)系Lohmann，Mendlovic闡明了廣義傅里葉變換與維格納變換的關(guān)系，指出可以用維格納空間中的旋轉(zhuǎn)來一般地定義廣義傅里葉變換，這一定義與光波在梯度折射率介質(zhì)中的傳播的定義是等價的。Mendlovic等進(jìn)一步討論用廣義傅里葉變換來表征信號的新方法，以及分?jǐn)?shù)階光學(xué)相關(guān)；Dorsch，Bernardo等分別提出了用光學(xué)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)任意階傅里葉變換的方案；光學(xué)信息處理8廣義傅里葉變換與其他變換關(guān)系Ozaktas 等研究了廣義傅里葉變換與小波變換的關(guān)系，他們認(rèn)為廣義傅

5、里葉變換可以表為小波變換，小波函數(shù)具有h(x)=exp(ix2)的形式然而該函數(shù)是分布在(-，)上的振蕩函數(shù)，并不具備小波的特點(diǎn)易證h(x)的傅里葉變換H(u)=exp(iu)，而H(0)0，不符合小波變換的相容性條件因而我們認(rèn)為廣義傅里葉變換只是形式上與小波變換相似 Mendlovic等對變換的形式稍加改換，定義了廣義余弦變換，該變換適用于非相干光，在數(shù)字成像、非相干光信息處理方面都有潛在的應(yīng)用眾所周知，夫瑯和費(fèi)衍射可以實(shí)現(xiàn)常規(guī)的傅里葉變換，Pellat-Finet則探討了菲涅耳衍射與廣義傅里葉變換的關(guān)系光學(xué)信息處理9 傅里葉變換在科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用，因此我們可以預(yù)料廣義傅里葉

6、變換的應(yīng)用領(lǐng)域?qū)⒏鼮閷拸V目前，它已成為數(shù)學(xué)、量子力學(xué)中重要的應(yīng)用工具 本章將研究廣義傅里葉變換的數(shù)學(xué)定義、性質(zhì)及實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換的光學(xué)系統(tǒng)，并討論與廣義傅里葉變換有密切關(guān)系的維格納變換光學(xué)信息處理105.2 廣義傅里葉變換的定義及性質(zhì)5.2.1 廣義傅里葉變換的定義 僅討論一維函數(shù)的廣義傅里葉變換，有關(guān)的定義和性質(zhì)可以直接推廣到二維的情況 函數(shù)g()的廣義傅里葉變換定義為(1)通常稱它為g()的廣義傅里葉譜，記為G(x)光學(xué)信息處理11 以 - 代替上式中的 ，得到(2) 稱為廣義傅里葉變換的階可證明F- 是F 的逆變換，即: F- F g() = g(x) (4) 光學(xué)信息處理12 廣義傅

7、里葉變換的主值 區(qū)間為 (-，)。當(dāng) 超出主值區(qū)間時，相應(yīng)的變換可以化成在該區(qū)間內(nèi)的變換。下面將證明這一點(diǎn)因此F- ( 0 )實(shí)質(zhì)上只是負(fù)階數(shù)的廣義傅里葉變換。 廣義傅里葉變換的一個性質(zhì)，在于當(dāng)=/2 以及 = -/2 時化成常規(guī)的傅里葉變換及逆變換：(5)(6)注意這里傅氏變換的表達(dá)式與其他各章有所不同光學(xué)信息處理13當(dāng) = 0 時沒有意義，因而Fo也必須另行定義.由于 0時, sin , tan ，所以有(7)其中用到極限意義下的 函數(shù)的定義：(8)從而可用上述極限過程來定義：F og() = g(x)用類似的方法還可定義：F g() = g(-x)以上兩式表明：0 階廣義傅里葉變換給出輸

8、入圖像本身， 階廣義傅里葉變換則給出它的倒像.光學(xué)信息處理14雖然廣義傅里葉變換仍然是線性變換，即：FAg()+Bh()=AFg()+BFh() (13)式中A，B為常數(shù)，但由于變換公式中出現(xiàn)二次相因子，所以它的性質(zhì)和常規(guī)的傅里葉變換有了很大的差別例如，它不再滿足縮放規(guī)律光學(xué)信息處理155.2.2 基本性質(zhì)和運(yùn)算法則g() 的廣義傅里葉變換譜記為 G(x)，并用 g G 表示變換對(1) 位移 (shift)g(+) exp isin (x+ cos /2)G(x+ cos) 當(dāng) = /2 時即化為傅里葉變換的位移公式(2) 宗量乘積 ( multification )設(shè) D d/dx為微分算

9、符，m 0.F m g() = ( x cos + i sin D )m G(x)光學(xué)信息處理16F m g() = ( x cos + i sin D )m G(x)例如設(shè) m =2，有( xcos + i sinD)2 = x2 cos2 + x cos i sin D + i sinD xcos - sin2D2 = x2 cos2 + i x cos sin D + i sincos + i x sincos D - sin2D2 = cos ( x2cos + i sin )+ i x sin2D - sin2D2(3) 微分 (differentiation)F Dm g() =

10、( ix sin + cos D )m G(x)光學(xué)信息處理17(4) 宗量微分混合積 (mixed product) F ( Dm)g() = - (sin - i x2 cos ) sin + xcos 2 D + i sin cos D2 m G(x) (5) 指數(shù) (exponential)F ei b g()=exp-ibcos(x-bsin/2)G(x-sin)(6) 可加性 (additivity)F F g() = F + g() (28)對稱性: F F g = F F g = F + g逆變換: F F - g = F - F g =F o g = g光學(xué)信息處理18(7)

11、 周期性 (periodicity) 由于在廣義傅里葉變換的定義中出現(xiàn)tan 及sin ，所以變換關(guān)于 具有周期性，周期為2，這樣就有以下結(jié)果： F 2n g() = g(x)F (2n+1) g() = g(-x) F 2n+ g() = F g() 這樣當(dāng)(-, 時的變換F 均可化為主值區(qū)間內(nèi)的變換設(shè) =p/2, 階廣義傅里葉變換還可表為F(p)g，p的定義域?yàn)?-2, 2光學(xué)信息處理19圖5.1 廣義傅里葉變換的周期性例如： F(1) F(1)g()=F(2)g()=F g()=g(-x) Fg()即常規(guī)的傅里葉變換得到的輸入圖像的傅里葉譜，可用2f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)；而F(2)g()則表示兩次傅

12、里葉變換，得到輸入圖像的倒像，可用4f 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，它們都是廣義傅里葉變換的特例其中= /2 或p= l表示常規(guī)傅里葉變換，即F/2 或 F1 , F 1 常簡寫為F = -/2 或 p = -l 則表示常規(guī)的傅里葉逆變換，即 F - /2 或F -1光學(xué)信息處理205.2.3 廣義傅里葉變換群變換算符Fo 具有如下性質(zhì)，對于任意的F，有 F Fo = Fo F = F 因此可稱為單位算符或恒等元 對于 F 存在 ，滿足F F - = F - F = Fo即F - 是F 的逆算符或逆元 對于任意的實(shí)數(shù)、，有F F = F F = F+ F+ 依然是廣義傅里葉變換算符因此變換算符對于乘法是閉合的

13、結(jié)合律： F (F F ) = (FF ) F = F +因而所有的廣義傅里葉變換算符對于(28)(可加性)所定義的乘法構(gòu)成群，可稱為廣義傅里葉變換群光學(xué)信息處理215.3 廣義傅里葉變換的本征函數(shù)廣義傅里葉變換算符F 的本征函數(shù)為 n (x) = Hn(x)exp(-x2/2)本征值為 exp(-i n)其中Hn(x)為n 階厄米多項(xiàng)式，exp(-x2/2)為高斯函數(shù)，所以n(x)常稱為高斯-厄米型函數(shù)(GH函數(shù)) n (x)構(gòu)成區(qū)間(-，)內(nèi)的完備正交函數(shù)組，因此任何平方可積的函數(shù)g(x)都可以用它展開： g(x) = - n n (x) =- n Hn(x)exp(-x2/2)其中系數(shù)n

14、 可用厄米函數(shù)的正交性得到： (11)光學(xué)信息處理22Fg()=-nFn()=-nexp(-in)n(x) = -n exp(-in) Hn(x) exp(-x2/2)上式又稱廣義傅里葉變換的級數(shù)表達(dá)式在節(jié)中將討論它在漸變折射率介質(zhì)光波導(dǎo)中的應(yīng)用 我們知道，高斯厄米函數(shù)正是量子力學(xué)一維諧振子的本征函數(shù)圖給出前幾階GH函數(shù)的圖形光學(xué)信息處理235.4 用透鏡系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換的基本光學(xué)單元5.4.1 第一類基本光學(xué)單元 由廣義傅里葉變換的“可加性”可知：連續(xù)執(zhí)行N個階數(shù)為 n ( n=1，2，N)的變換的結(jié)果，相當(dāng)于執(zhí)行階數(shù)為 1 + 2 + + N 的一次變換，亦即 F = F n ( 式

15、中 = n )光學(xué)信息處理245.4 用透鏡系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換的基本光學(xué)單元5.4.1 第一類基本光學(xué)單元例： = /2的常規(guī)傅里葉變換，既可由一個焦距為f 的透鏡來實(shí)現(xiàn)，也可由兩個相同規(guī)格的透鏡構(gòu)成的透鏡組來實(shí)現(xiàn)，它們的焦距為(3)間距為2d， (4)光學(xué)信息處理25圖5.3 用兩個透鏡實(shí)現(xiàn)傅里葉變換光學(xué)信息處理26幾何光學(xué)的計(jì)算還可證明，N 個焦距為 (5)的透鏡按圖的方式串聯(lián)起來，間距參數(shù)(6)則該系統(tǒng)的合成焦距 ，且前焦面位于第一個透鏡前d 處，后焦面位于第 N 個透鏡后d 處。透鏡系統(tǒng)能否實(shí)現(xiàn)傅里葉變換？ 必須首先證明：當(dāng)單色光波通過一個透鏡單元，即經(jīng)過兩次距離為 d 的菲涅耳衍

16、射，并經(jīng)過一次透鏡相位變換，其效應(yīng)相當(dāng)于 = /2N 階廣義傅里葉變換，才能通過變換的可加性得到該系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的普遍結(jié)論光學(xué)信息處理27第一類基本光學(xué)單元廣義傅氏變換與常規(guī)傅氏變換的主要差別: 不僅包含線性相位項(xiàng)，還包括二次相位項(xiàng)廣義傅氏變換重新記為式中 = 1/d1+1/d2-1/f (8)其中的二次相位因子是由兩次菲涅耳衍射及透鏡相位變換的合成效果(7)光學(xué)信息處理28 若d1 = d2 = f , 則即二次項(xiàng)消失，變成常規(guī)的傅里葉變換，這是我們已熟知的傅里葉變換的光學(xué)實(shí)現(xiàn)方法也就是說，薄透鏡單元在特別的輸入距離，輸出距離的配置下產(chǎn)生了 = / 2 的常規(guī)的傅里葉變換效應(yīng) (10)光

17、學(xué)信息處理29 設(shè)想d1和d2 不等于f，看看在這種情況下有沒有可能產(chǎn)生廣義傅里葉變換，其階數(shù) /2 。 將(7)式與節(jié)5.2(1)式比較，發(fā)現(xiàn)必須滿足條件 d1 = d2 = d， 但d 不一定等于 f 。(7)5.2(1)光學(xué)信息處理30再仿照(4)及(3)式，設(shè)(12) (13)代入 = 1/d1+1/d2-1/f , 得到(3)(4)把上面的結(jié)果代入(7)式得到(15)式引入歸一化坐標(biāo)（無量綱） (16)其中 (17)(15)式變成(18)式 (18) 式中常數(shù) (19)光學(xué)信息處理32一維廣義傅立葉變換二維廣義傅立葉變換光學(xué)信息處理33正透鏡實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換將(18)式與節(jié)5.2(

18、1)式相比較，發(fā)現(xiàn)除積分號前的常數(shù)因子外，它就是二維 階廣義傅里葉變換，即 (20)式中Co 和C 有所不同 在條件(12)及(13)式成立時，薄透鏡在單色光的照射下，將透鏡前面d 處的輸入圖像o 變成它的廣義傅里葉譜，形成在透鏡后d 處，正透鏡光學(xué)信息處理34 稱為族參數(shù)，d 稱為間距參數(shù) 光學(xué)廣義傅里葉變換表達(dá)式與變換的數(shù)學(xué)定義式的最大差別在于光學(xué)系統(tǒng)中存在族參數(shù)。 很明顯，只有族參數(shù)相同的光學(xué)廣義傅里葉變換才能組成群，不同族參數(shù)的變換不具備可加性。 族參數(shù)僅取決于及 f ，然而在 確定后，透鏡的焦距就確定了，這對光學(xué)單元按可加性組合帶來許多限制。光學(xué)信息處理35 在用透鏡系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義傅里

19、葉變換時，我們?nèi)杂霉?15)，即定義 (21)其中積分號前的系數(shù) (22)與數(shù)學(xué)定義中的歸一化系數(shù)并不相同，但由于我們只能探測光強(qiáng)的分布，因此這一差別并不帶來實(shí)質(zhì)性的影響光學(xué)信息處理36 廣義傅里葉的階數(shù)另一種定義，在光學(xué)中常常使用令 p = 2 / , 則(21)式為 (24)(21)及(24)式都是經(jīng)常運(yùn)用的 顯然，F(xiàn)/2 或F (1) 即常規(guī)的傅里葉變換， F-/2 或F (-1) 即傅里葉逆變換，分別按習(xí)慣的記法，記為F 及F 1 常規(guī)傅里葉變換僅能用正透鏡實(shí)現(xiàn)光學(xué)信息處理37負(fù)透鏡實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換 在 式中，當(dāng) f 0，則 0，則得到負(fù)階數(shù)的廣義傅里葉變換，它可以用圖所示的負(fù)透鏡

20、單元實(shí)現(xiàn)。由 ，得 d 0 ，階數(shù) 由下式?jīng)Q定：cos 1- d/f (25)這里d 和f 都是負(fù)數(shù)，o和 1 分別是光學(xué)中的虛物和虛像.光學(xué)信息處理385.4.2 第二類基本光學(xué)單元 實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換的第二類基本光學(xué)單元如圖所示，兩個規(guī)格相同的正透鏡焦距為f ，間距為d. 設(shè)在兩個透鏡之間光波的傳播遵循菲涅耳衍射的規(guī)律，則在1面上的場 按(25)及(13)式設(shè) 及 d，并規(guī)定d 的方向從0 指向1 向右為正，則有 將上式與(15)式相比較，發(fā)現(xiàn)只要設(shè) (27) (28)則有 1 (u,v) = C F(o(x,y) (30)亦即第二類基本單元也能實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換，注意兩種基本光學(xué)單元的族

21、參數(shù)的定義不相同光學(xué)信息處理40 將圖中兩個正透鏡均改為負(fù)透鏡，并設(shè) f 和 均為負(fù)值，此 仍為正值，而間距d 0, 說明 o 在 1 左面，如圖所示，它能實(shí)現(xiàn)負(fù)階數(shù)的廣義傅里葉變換由此可知，用兩個透鏡構(gòu)成的系統(tǒng)也能實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換光學(xué)信息處理415.5 基本光學(xué)單元的組合 在討論用透鏡或透鏡組實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換時，引入了族參數(shù)第一類單元 : (1)第二類單元 : (2) 顯然，同一類型的廣義光學(xué)傅里葉算符，僅當(dāng)族參數(shù)相等時才有可加性： F (p2) F (p1) = F (p2 + p1) (3)換言之，族參數(shù)相同的廣義光學(xué)傅氏算符屬于同一群(3)式暗示同屬一群的光學(xué)廣義傅氏算符對應(yīng)的光學(xué)

22、單元具有互相組合成復(fù)雜系統(tǒng)的性能光學(xué)信息處理42討論: 第一類光學(xué)單元的組合當(dāng) 取某一常數(shù)時，p 或 可取兩個值： 1 = ( p1 = p = 2 / ) (4) 2 = - ( p2 = 2 - p ) (5)由此導(dǎo)出兩個不同的d ： d1f(1 - cos ) f 1 - cos(p/2) (6)d2f(1 + cos ) f 1 + cos(p/2) (7)光學(xué)信息處理43舉例: 系統(tǒng)由兩焦距均為f 的透鏡單元構(gòu)成，第一個光學(xué)單元： d11 = d12 = d1 = f (1 - cos ) = f 1 - cos(p/2) (8) 第二個光學(xué)單元: d21 = d22 = d2 =

23、f (1 + cos ) = f 1 + cos(p/2) (9) p1 = p, 1 = , p2 = 2 p, 1 = - (10)兩個透鏡的問距為 d12 + d21 = d1 + d2 = 2f (11)它們的共同族參數(shù)為 (12)光學(xué)信息處理44 設(shè)在0平面輸入圖像o (x,y)，則在單色光的照射下，第一個光學(xué)單元對 o 進(jìn)行階數(shù)為p1的廣義傅里葉變換，1=F (p1)o；第二個光學(xué)單元再對1進(jìn)行階數(shù)為p2 的廣義傅里葉變換，2 = F (p2)1，最后在輸出平面2上得到輸出圖像2(x,y).光學(xué)信息處理451 = F (p1)o，2 = F (p2)1，2 (x,y) = F (p

24、2) F (p1)o (x,y) = F (p2+p1)o (x,y)= F(2)o (x,y) = o (-x, -y) (13)表示最終得到輸入圖像的倒像當(dāng) p = 1 時得到 4f 系統(tǒng)，其區(qū)別在于，在上述系統(tǒng)中，譜平面1上呈現(xiàn)輸入信號的廣義傅里葉譜而在4f 系統(tǒng)中，譜平面上呈現(xiàn)輸入信號的傅里葉譜光學(xué)信息處理46包含負(fù)透鏡的廣義傅里葉變換系統(tǒng) (14)上式成立的條件為 1 = 3 = - , p1 = p3 = 2 p ( /2 ) 2 = - , p2 = - p 系統(tǒng)由3個第一類單元構(gòu)成，Ll 和L3 為同樣規(guī)格的正透鏡，焦距為f , 而L2為負(fù)透鏡，焦距為 -f，它們具有共同的族參

25、數(shù)為光學(xué)信息處理47對于中間的負(fù)透鏡，我們有 d21 =d22 = ( -f )(1- cos ) = -f 1- cos(p/2)d21 , d22 為負(fù)值，表示第二個單元的輸入平面位于透鏡右方1 處，而輸出平面位于透鏡左方2 處，關(guān)于透鏡對稱分布光學(xué)信息處理48對于兩個正透鏡，則有 di1 =di2 = f(1+cos) = f1+cos(p/2) (i=1,2,3) 第一個光學(xué)單元的輸出平面為1 ，恰為第二個單元的輸入平面；而第二個單元的輸出平面為2 ，又是第三個單元的輸入平面 由于具有共同的族參數(shù)，因此變換具有可加性： F(p3)F(p2)F(p1)o=F(p3+p2+p1) o=F

26、(4 - 3p) o 當(dāng)p=2/3 時有F (4 - 3p) o = F (2) o = o ( - x, - y)同樣得到倒像上例表明，正、負(fù)透鏡可以適當(dāng)組合，其條件是它們有共同的族參數(shù)，且正、負(fù)透鏡焦距的絕對值相等光學(xué)信息處理49 事實(shí)上，屬于同一群的廣義傅里葉算符只要求族參 相同，而 f 和 均可不同例如設(shè) (21) 兩個單元對應(yīng)的廣義傅里葉算符分別為F1 和 F2 ，它們?nèi)詫儆谕蝗海哂锌杉有裕?F1F2 = F1+2 (22)所以兩個光學(xué)單元之可以串接，在條件(21)滿足時 i 有兩個解，分別記為 1 = 1 , 1 = - 1 2 = 2 , 2 = - 2 (23)光學(xué)信息處理

27、50與之相應(yīng)，有兩組可能的d :d1 = f1(1 - cos 1) , d1” = f1(1 + cos 1)d2 = f2(1 - cos 2) , d2” = f2(1 + cos 2) (24)由上式還可得到: didi”= fi2(1cos2i) = fi2sin2i = ( i=1, 2) (25)亦即屬于同一族的N個光學(xué)單元必須滿足的條件 d1d1” d2d2” dNdN”= (26)光學(xué)信息處理51舉例：設(shè)用兩個第一類光學(xué)單元構(gòu)成系統(tǒng)，使第一個透鏡的輸出平面(即系統(tǒng)的“譜平面”)的復(fù)振幅分布為輸入圖形 o 的F/6o，而系統(tǒng)的輸出平面為o 的常規(guī)傅里葉變換，即光學(xué)信息處理52兩

28、個不同規(guī)格透鏡組合實(shí)現(xiàn)常規(guī)傅氏變換 幾何光學(xué)的計(jì)算表明該系統(tǒng)的輸出平面確是系統(tǒng)的焦平面若要求輸出圖像為o(-x,-y)(倒像)，即要求: 1 + 2 = (29)則有 sin2=sin( -1 )=sin1 (30)從而有 f1 = f2 (31)光學(xué)信息處理53亦即兩個第一類單元串聯(lián)，并要求輸出圖像為輸入圖像的倒像時，兩個透鏡焦距相等，但 和d 仍有兩種不同的組合： 1 = , 1 = - 2 = - , 2 = d1 = f (1 - cos ) , d1” = f (1 + cos ) d2 = f (1 + cos ) , d2” = f (1 - cos ) 注意在兩種情況下，透鏡的

29、間隔均為2f用幾何光學(xué)易驗(yàn)證在任一情形下，輸出平面與輸入平面共扼，且放大率為 - l (倒像)由光線的回溯性定律立即可以把這一結(jié)論推廣到第二種情況光學(xué)信息處理54 從理論上講，N 個相同規(guī)格的第一類單元串聯(lián)起來，如每個單元對應(yīng)的變換為F(1/N) ，則整個系統(tǒng)對應(yīng)的變換為常規(guī)傅里葉變換。由此可見，單個薄透鏡并不是能實(shí)現(xiàn)常規(guī)傅里葉變換的唯一光學(xué)模型。 一般來講， = / 2 的透鏡組合均能實(shí)現(xiàn)常規(guī)傅里葉變換。然而隨著N 的增大，光能損失也會變大，且雜散光的效應(yīng)會變得越來越嚴(yán)重。光學(xué)信息處理555.6 用自聚焦效應(yīng)光波導(dǎo)實(shí)現(xiàn)廣義傅氏變換5.6.1 漸變折射率介質(zhì)波導(dǎo)的自聚焦效應(yīng) 圓柱形漸變折射率波

30、導(dǎo)的折射率形式為n2 (r) = n121 - (n2/n1)g(r) (1)柱坐標(biāo)系rz的z 軸與波導(dǎo)的對稱軸一致，又稱光軸通常只考慮平方折射率介質(zhì)( 稱為漸變折射率介質(zhì)) 的情形，此時有 n2 (r) = n121 - (n2/n1)r2, r a 其中n1，n2是兩個參數(shù)， a 是波導(dǎo)的半徑光學(xué)信息處理565.6.1 漸變折射率介質(zhì)波導(dǎo)的自聚焦效應(yīng)圖給出n(r)隨r的變化，當(dāng)ra時n 趨于常數(shù)，即波導(dǎo)的包層光學(xué)信息處理57考慮 r a 的近軸情況n (r) = n11 - (n2/n1)r21/2 n11 - (n2/2n1)r2= n1 - n2 r2 /2 設(shè)單色光波沿z 軸方向穿過

31、相距為 z 的兩個平面z zo 及 z zo+ z ，在 z zo 上光波分布為o ，則在z zo+ z 上光波復(fù)振幅的分布為 1(x, y) = o(x, y) exp(i2n z / ) o(x, y)exp(i2n1 z / 1) exp(-in2 z(x2+y2) / ) 式中 為光波在真空中的波長，并假定z 很小光學(xué)信息處理581(x, y) o(x, y)exp(i2n1 z / 1) exp(- in2 z (x2+y2) / )將此公式與薄透鏡的相位效應(yīng)公式: tl = expik(-f)expik(x2 + y2)/2f / f (4)相比較，發(fā)現(xiàn)它們都具有關(guān)于坐標(biāo)的二次相位

32、因子，而它恰恰是球面波的近軸表達(dá)式，所以一個厚度為 z 的很薄的介質(zhì)波導(dǎo)，相當(dāng)于一個薄透鏡，其等效焦距為 l/n2 z 這樣，漸變介質(zhì)折射率波導(dǎo)應(yīng)具有對平行入射光的聚焦效應(yīng)光學(xué)信息處理59漸變折射率自聚焦效應(yīng)的證明設(shè)A和B是介質(zhì)中的兩點(diǎn)，它們之間的光程 (5)根據(jù)費(fèi)馬原理，上式的變分為 0，且(6)設(shè) r 是變分時光線的位移，則有 n = r n dl = dr lo , 式中 lo 是光線路徑在給定點(diǎn)的單位切線向量光學(xué)信息處理60代入(6)式，運(yùn)用分部積分法，得到(9)由于r在兩個端點(diǎn)A，B處為0，上式第三項(xiàng)消失又因?yàn)?dr = lo dl (10)所以有(11)因此有 (12)光學(xué)信息處理

33、61將n(r)的表達(dá)式代入上式右邊考慮到近軸近似，d/dl d/dz，上式化作(dn/dz)(dr/dz) + nd2r/dz2 = -n2 r (13)由于 n 不隨z 的變化而變化，上式左邊第一項(xiàng)為0用n1近似代替左邊第二項(xiàng)中的n，得到微分方程 d2r/dz2 + (n2/n1)r = 0 (14)上式的解為(15)式中ro = r(0)，ro = r(0)分別是 r 和dr/dz 在端口z = 0的值n (r) = n1 - n2 r2 /2 ( r a)光學(xué)信息處理62設(shè)一束平行于z 軸的光照射z = 0 端面，則 r00， (16)上式表明光線在漸變折射率波導(dǎo)中的傳播路徑具有周期性，

34、如圖所示 設(shè)一個周期的長度為2L，則有而焦距為這就是自聚焦透鏡的原理光線在漸變折射率波導(dǎo)中的傳播光學(xué)信息處理63 在節(jié)中曾講過，常規(guī)的傅里葉變換效應(yīng)可以由N個第一類光學(xué)基本單元串聯(lián)而成的系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)隨著N的變大，每個單元透鏡的焦距 也隨之變大因此每個薄透鏡也就更接近于一個平板這樣一系列接近密接的透鏡組與上述自聚焦光波導(dǎo)薄層系列非常相似 因此我們可以設(shè)想一段長度為pL 的漸變折射率光波導(dǎo)能夠?qū)崿F(xiàn) p 階廣義傅里葉變換光學(xué)信息處理64光波在漸變折射率介質(zhì)波導(dǎo)中的傳播 為簡單起見，只討論一維情況，其結(jié)論可以直接推廣到二維情況僅考慮TE波 設(shè)光波沿z 軸方向傳播，電場在y方向振動，用E(x, z)表示，

35、則它應(yīng)滿足亥姆霍茲方程(2/ x2 + kx2) E(x, z) = 0 (19)式中kx 是x方向的波矢量的值， kx2 = k2 - kz2 (20)令ko為真空中的 k，kz = 稱為傳播常數(shù)，n 為折射率，則有 k2 = n2 ko2 (21)代入(19)式，得到2E / x2 + (n2 ko2 - 2) E = 0 (22)光學(xué)信息處理65在二次漸變折射率介質(zhì)中， n(x) n1 n2 x2/2 (23)這種情況相當(dāng)于量子力學(xué)中無限深勢阱中的一維諧振子將上式代入(22)式得到2 / 2 + ( - 2) = 0 (24)式中 = 2E, = x, = (n12 ko2 - 2)/

36、2, = (n1 n2 )1/2 ko (25)從(24)式解出式中Hn為n 階厄米多項(xiàng)式由此可見，在漸變折射率波導(dǎo)中傳播的本征模就是GH函數(shù)，恰恰是廣義傅里葉變換的本征態(tài)光學(xué)信息處理66在波導(dǎo)中的場為式中 稱光斑尺寸，(30)式中 為真空中的波長光學(xué)信息處理675.6.3 用漸變介質(zhì)波導(dǎo)實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換引入歸一化坐標(biāo)(31)并記En(x)為n( x )，由于n 是(-, )區(qū)間的本征函數(shù)，所以任何平方可積的函數(shù)g( x )都可以用n( x ) 展開：(32)系數(shù)光學(xué)信息處理68設(shè)在z = 0處放置由g( x ) 表達(dá)的一維圖像，則在 z = pL 處的場為(35)上面曾得到結(jié)論：長度為L

37、(p = 1)的光波導(dǎo)能實(shí)現(xiàn)光波的聚焦我們將討論在p1時，長度為pL 的光波導(dǎo)對光波的變換關(guān)系 注意到焦距L的表達(dá)式(18)，就有光學(xué)信息處理69代入(35)式，得到(37)將廣義傅里葉變換對本征函數(shù)的變換關(guān)系式(節(jié)5.2 (9)式)代入(37)，得到 (39)(39)式表明：一段長度為pL 的漸變折射率介質(zhì)波導(dǎo)，也能實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換在z = 0 處放置圖像 g，并用單色光波照射，在 z = pL 處即可得到它的廣義傅里葉變換譜 F(p)g。 光學(xué)信息處理70 顯然，長度為p1L和p2L 的兩段光波導(dǎo)串接起來，必然能實(shí)現(xiàn) p1+ p2 階廣義傅里葉變換，而變換算符的可加性及可易性是由光波導(dǎo)長

38、度的可加性及可易性自然滿足的。這樣，我們又找到一種實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換的光學(xué)器件。 串聯(lián)的透鏡組只能得到P/Q階廣義傅里葉變換，P和Q都是正整數(shù)，而由于技術(shù)上的原因，Q無法做到太大，所以我們只能得到階數(shù)的步進(jìn)的變化。 由于光波導(dǎo)中階數(shù)正比于波導(dǎo)的長度，因此能夠?qū)崿F(xiàn)階數(shù)的連續(xù)的變化。 光波導(dǎo)的缺點(diǎn)：空間帶寬積比較小，也就是說它能處理的信息量比較小。光學(xué)信息處理715.7 維格納變換5.7.1 維格納變換的定義函數(shù)g(x)的維格納(Wigner)變換定義為 (1)如果把 x，v 分別理解為信號g 的空間變量和空間頻率變量，則維格納變換就是信號函數(shù)g 的空間和頻譜特征的綜合表現(xiàn)或同時反映，因此在光學(xué)信

39、號及其他信號的處理中有廣泛的應(yīng)用 維格納變換的缺點(diǎn): 它并不是線性變換，所以將它應(yīng)用到線性系統(tǒng)中去有一定的困難光學(xué)信息處理72設(shè)G(v)是g(x)的傅里葉變換，則有(2)(3)以(2)及(3)式代入(1)式得到(4)其中的積分(5)代入(4)式，經(jīng)整理后得到維格納變換在頻域中的表達(dá)式(6)光學(xué)信息處理73容易證明逆變換表達(dá)式(7)(8)維格納變換對于v 和x 的積分分別得到信號在空域和頻域中的功率密度(9) (10)因而信號的總功率Eo可以由下面的積分來表達(dá)：(11)光學(xué)信息處理74 下面討論當(dāng)信號變化時其維格納譜的相應(yīng)變化首先把(1)式改寫成更加容易處理的形式: (13) 式中為光波的波長, f 是維