籃球罰球投籃模型

1、籃球罰球投籃模型No.3韶關(guān)學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文集第三期,2004年12月，籃球罰球投籃模型（2）（3）凌康林黃蘭香李燦明1韶關(guān)學(xué)院2002數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班廣東韶關(guān)5120052韶關(guān)學(xué)院2001數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（,）班廣東韶關(guān)5120053韶關(guān)學(xué)院2002生物術(shù)（,）班廣東韶關(guān)512005 摘要:本文根據(jù)籃球罰球投 籃情況（建立投籃的模型，從簡單到復(fù)雜，層層深化（模型一把籃球、籃框看作質(zhì) 點(diǎn)，根據(jù)物理學(xué)的斜拋運(yùn)動，得到籃球球心運(yùn)動的軌跡方程，由此可得到籃球出手 高度與出手角度的關(guān)系（模型二在模型一的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化，考慮籃球和籃框的 大小，分析籃球命中籃框時(shí)的約束條件，：,x33.1554得到

2、入射角不能小于（模型三分析籃球偏離球心的最大距離，并由 此可得籃球出手速度和出手角度的偏差范圍（從而使問題一般化，更好的應(yīng)用于實(shí) 際（關(guān)鍵詞：出手角度；出手速度；入射角度1問題提出在大型籃球比賽中，投籃的命中率高低對于球隊(duì)勝起決定性的作用，而投籃時(shí) 的出手角度和出手速度是兩個(gè)關(guān)鍵因素（這里只須討論比賽中最簡單、最常見的一 種投籃方式一一罰球（mP點(diǎn)表示罰球點(diǎn)，Q為籃球框中心.按照標(biāo)準(zhǔn)尺寸，P和Q點(diǎn)的水平距離 L=4.60,Q 點(diǎn)高md,24.6cmD,45.0cmvH=3.05,籃球的直徑，籃框直徑.根據(jù)實(shí)際情況，出手速 度在7.09.0m/sh1.82.1m 之間，出手高度在之間.試討論籃球

3、的出手角度和出手速度的大小以及關(guān)系 .2模型假設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡始終在由籃球出手點(diǎn)和球框中心所確定的垂直平面內(nèi) （只考慮 籃球“穿針”的情況，不考慮籃球碰籃框、籃板反彈后落入球框的情況 （不考慮空 氣的阻力對籃球的影響（不考慮籃球自身旋轉(zhuǎn)的情況（3問題分析影響籃球在空中運(yùn)動的因素很多，必須恰當(dāng)?shù)姆治鰡栴}，進(jìn)一步把抽象的問題簡化（hv把籃球、球框看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，根據(jù)不同的出手高度和出手速度，確定此時(shí)籃球命中籃框,時(shí)的出手角度和入射角的關(guān)系（考慮籃球和球框的大小，討論籃球剛好不碰 到籃框（球心命中框中心且籃球落入球框的條件.由于球框比籃球大，在實(shí)際的投籃 過程中，籃球球心偏前或偏后一些距離，仍可以保證

4、籃球落入球框內(nèi)（4模型建立4.1模型一O將籃球視為質(zhì)點(diǎn)的斜拋運(yùn)動（先建立坐標(biāo)軸如下：將坐標(biāo)系原點(diǎn)取在籃球出手 瞬間yx,yx球心的位置上，水平方向?yàn)檩S，豎直方向?yàn)檩S，列出方程，得到籃球水平運(yùn)動的軌156第三期,2004年12月，韶關(guān)學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文集 No.3QQt（籃球球心命中球框中心，意味著點(diǎn)在籃球運(yùn)動的軌跡上，由此可以推導(dǎo)出籃球的出手角度與出手速度的關(guān)系（t,0設(shè)時(shí)間從籃球出手的瞬間開始計(jì)算，此時(shí)，籃球在空中運(yùn)動過程中，可以作沿水v*cos,v*sin,t平方向速度為的勻速直線運(yùn)動與初速度為(向上)的上拋運(yùn)動,因而在v,vxy時(shí)籃球沿兩個(gè)方向的速度為,v,vcos,x,v,vsin,

5、gty,t時(shí)刻籃球的球心坐標(biāo)為：,x,vtcos,12,y,vtsin,gt,2,t由上述方程消去，得到籃球球心的運(yùn)動軌跡方程：g2,yxtanx,222vcos,Q(L,H,h)因?yàn)榛@球的球心必須命中籃框的中心242222vvgHvghvgL,2 , 2,tan,gL 故有：要使該式有意義，必須要滿足：422V,2gHv, 2ghv,gL,0222v,gH,gh , gH,2Hh, h, L 即:vvmin故的最小的出手速度為：222v,gH,gh , gH,2Hh, h, Lminvg,H,Lhhmin由上述得出，因?yàn)闉槌?shù)，最小的出手速度與籃球出手高度有關(guān)，隨增大157No.3韶關(guān)學(xué)院學(xué)

6、生數(shù)學(xué)建模論文集第三期,2004年12月，而減小，說明矮的運(yùn)動員比高的運(yùn)動員需要用更大的速度投籃 (,在保證籃球能投中籃框的條件下，還必須注意籃球射入籃框時(shí)的入射，其 中可由g2,yxtanx,22(x,L)2vcos,拋物線方程在籃框中心處的導(dǎo)數(shù)得到 (Lgtan,tan,2vLg,arctan(tan,)2v 即：4、2模型二考慮籃球和籃框的大小，如圖，應(yīng)注意到即使籃球球心命中球框中心，如果籃 球入框，時(shí)的入射角太小，球會碰到球框的點(diǎn)(如球框上的A點(diǎn))而不能落入球框內(nèi)(籃球在飛行過程中不接觸球框的最起碼條件為：d/2dsin,D/2Dd,24.6cmD,45.0cm將，代入上式，得,33.

7、15544、3模型三因?yàn)榛@球比球框小，球心不命中球框中心時(shí)，也是可以進(jìn)框的(現(xiàn)在討論出手角度和出手速度的最大偏差(QC沖右圖)其中為籃球球心的運(yùn)動軌跡方程，軌跡方程d/2A到的距離不能小于(所以籃球偏差白最大距離為：Dd,x,22sin,CO ( 即為的長度(L,x,H,h)當(dāng)籃球命中籃框時(shí)，球心的坐標(biāo)范圍在g2(L, ,x),(L,x)tan, H,h,0222vcos,故有：利用Matlab編程：見（附錄2）v,v,L,x,00 在時(shí)，為圓心橫坐標(biāo)的范圍，解關(guān)于的方程，得到值，即最大的偏差,0 為：,vL,xv00 在時(shí)，為圓心橫坐標(biāo)的范圍，解關(guān)于的方程，得到值，即最大的偏差158第三期,

8、2004年12月，韶關(guān)學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文集 No.3,v,v,v0 為：5模型求解222v,gH,gh , gH,2Hh, h, Lmin 由模型一，根據(jù)最小速度 2vtan,gL 和得到不同的身高時(shí)出手的最小速度和相應(yīng)的出手角度：v（m/s）,（度）h（m）min1.8 7.6789 52.60101.85 7.6386 52.30981.9 7.5985 52.01851.95 7.5585 51.72382.0 7.5186 51.42932.05 7.4788 51.13142.1 7.4392 50.83387.0m/sv,8.09.0m/s由上數(shù)據(jù)可以得到，最小速度都大于，故只須

9、討論出手速度2.1m出手高度在之間（242222vvgHvghvgL,2 , 2,tan,gL 再根據(jù)公式，詳細(xì)地對不同的身高和不同的度,計(jì)算籃球心能命中籃框的出手角度：不同身高和不同速度命中籃框的出手角度,(度),(度)v(m)h(m)12 8.0 1.8 62.4095 42.793663.1177 40.918863.7288 39.12832.1 64.2671 37.4014 8.5 1.8 67.6972 37.50611.9 68.0289 36.00602.0 68.3367 34.52012.1 68.6245 33.0441 9.0 1.8 71.0697 34.13331

10、.9 71.2747 32.76142.0 71.4701 31.38742.1 71.6561 30.0107Lgtan,tan,2v由模型二，根據(jù)，可以得到出手角度不同時(shí)，有不同的入射角(有下表159No.3韶關(guān)學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文集第三期,2004年12月，對應(yīng)關(guān)系：.(,),(,),(,).(,)121262.4095 42.7936 53.8752 20.921863.1177 40.9188 55.8214 20.143163.7288 39.1283 57.4959 19.647564.2671 37.4014 58.9816 19.369767.6972 37.5061 67.

11、8199 19.381468.0289 36.0060 68.6121 19.272268.3367 34.5201 69.3347 19.279568.6245 33.0441 69.9990 19.388671.0697 34.1333 75.1701 19.298771.2747 32.7614 75.5635 19.420271.4701 31.3874 75.9325 19.619171.6561 30.0107 76.2784 19.6191,33.155433.155421由上面條件得，因?yàn)榫∮?，故?yīng)舍去，出手角度只能是，,2而入射角為(,x,v由模型三，可得到和的最大偏差(v

12、(m/s)h(m),(,),(,),(,),(,)8 1.8 62.4095 53.7520 -0.7902 0.05031.9 63.1177 55.8214 -0.7556 0.05402.0 63.7288 57.4959 -0.7268 0.05712.1 64.2671 58.9616 -0.7035 0.05978.5 1.8 67.6972 67.8199 -0.6089 0.06981.9 68.0289 68.6121 -0.5941 0.07132.0 68.3367 69.3343 -0.5805 0.07272.1 68.6245 69.9990 -0.5678 0.07419 1.8 71.0697 75.1701 -0.4920 0.07901.9 71.2747 75.5635 -0.4848 0.07992.0 71.4701 75.9325 -0.4762 0.08082.1 71.6561 76.2784 -0.4689 0.0817 6模型評價(jià)與推廣本文的模型通俗易懂，容易為讀者所接受，具有一定的實(shí)用性(但在投籃