三角形知識總結(jié)與尺規(guī)作圖知識點匯總

1、第一部分三角形考點一、三角形1、三角形的概念由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。2、三角形中的主要線段(1)三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。(2)在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。(3)從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線(簡稱三角形的高)。3、三角形的穩(wěn)定性三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)

2、在生產(chǎn)生活中應用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三 角形的形狀。4、三角形的特性與表示三角形有下面三個特性：(1)三角形有三條線段(2)三條線段不在同一直線上卜三角形是封閉圖形(3)首尾順次相接三角形用符號”表示，頂點是A、B C的三角形記作“ ABC,讀作“三角形ABC”。5、三角形的分類三角形按邊的關(guān)系分類如下：不等邊三角形三角形y底和腰不相等的等腰三角形-等腰三角形I等邊三角形三角形按角的關(guān)系分類如下：直角三角形(有一個角為直角的三角形)三角形y銳角三角形(三個角都是銳角的三角形)I斜三角形 彳鈍角三角形(有一個角為鈍角的三角形)把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形

3、。它是兩條直角邊相等的直角三角形。6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。(2 )三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用： 判斷三條已知線段能否組成三角形 當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。證明線段不等關(guān)系。7、三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180。推論：直角三角形的兩個銳角互余。三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。8三角形的面積1三角形的面積二，x底x高2考點二、

4、全等三角形1、全等三角形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角。2、全等三角形的表示和性質(zhì)全等用符號“也”表示，讀作“全等于。如a AB3A DEF讀作“三角形ABC全等于三角形DEF。注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。3、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或SAS）（2）

5、角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或ASA）（3）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或SSS） o直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊或HL）4、全等變換只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180 ,這種變換叫做對稱變換。（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度

6、到另一個位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換?？键c三、等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊 上的高重合。推論2:等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60。（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45 等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。等腰三角形的三邊關(guān)系：設腰長為a,底邊長為b,則2180 A 等腰三角形的三角關(guān)系：設頂角為頂角為/A,底角為/ B/ C,則/A=

7、180。- 2/ B,Z B=Z C=22、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。推論1:三個角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30 ,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形性質(zhì)等腰三角形判定中線1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角；2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點與底邊兩端點距離相等。1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形；2、如

8、果一個三角形的一邊中線垂直這條邊（平 分這個邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形角平 分線1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊；2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點到底邊兩端點的距離相等。1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對邊（平分對 邊），那么這個三角形是等腰三 角形；2、三角形中兩個角的平分線相等，那么這個三角形是等腰 三角形。高線1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊；2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點和底邊兩端點距 離相等。1、如果一個三角形一邊上的圖平分這條邊（平分這條邊的對角），那么這個三角形是等腰 三角形；2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。角等

9、邊對等角等角對等邊邊底的一半腰長周長的一半兩邊相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（1 ）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。（2）要會區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1:三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結(jié)論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四

10、邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等?？键c四、相似三角形1、相似三角形的概念對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號來表示，讀作“相似于。相似三角形對應邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。用數(shù)學語言表述如下：/ DE/ BC, ADOA ABC相似三角形的等價關(guān)系：(1)反身性：對于任一 ABC都有 AB3A ABC(2)對稱性：關(guān)X ABCAA/1 反，則 Zx A 5C,sa ABC

11、(3 )傳遞性：若么 ABCA- A BC,并且 A B CsA A BC0,則公 ABCAA AB3、三角形相似的判定(1 )三角形相似的判定方法 定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩角對應相等，兩三角形相 似。判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩邊對應成 比例且夾角相等，兩三角形相似。 判定定理3：如果一個三角形的三

12、條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似，可簡 述為三邊對應成比例，兩三角 形相似(2)直角三角形相似的判定方法以上各種判定方法均適用定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，這兩個直角三角形相似 那么垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。4、相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形的對應角相等，對應邊成比例(2 )相似三角形對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比(3)相似三角形周長的比等于相似比(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方。5、相似多邊形(1)如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等

13、，對應邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))(2)相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例相似多邊形周長的比、對應對角線的比都等于相似比相似多邊形中的對應三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比相似多邊形面積的比等于相似比的平方6、位似圖形如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應點所在直線都經(jīng)過同一個點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心，此時的相似比叫做位似比。性質(zhì)：每一組對應點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比都等于位似比。由一個圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。利用位似變換可以把一個圖形放大或

14、縮小。第二部分 解直角三角形考點一、直角三角形的性質(zhì)（35分）1、直角三角形的兩個銳角互余可表示如下：/ C=90/ A+Z B=902、在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半。Z A=30可表示如下：a BC=AB2ZC=90J3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半Z ACB=9C =一 1可表示如下： CD AB=BD=AD2D 為AB的中點J4、勾股定理直角三角形兩直角邊a, b的平方和等于斜邊c的平方，即a2 b2 c25、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的每條直角邊是它 們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項Z ACB=9C -CD2 AD? BD卜彳 A

15、C2 AD ?ABCD! AB JBC2 BD ? AB6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：AB? CD=AC? BC攝影的比例中項,考點二、直角三角形的判定（35分）1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a, b, c有關(guān)系a2 b2 c2,那么這個三角形是直角三角形?？键c三、銳角三角函數(shù)的概念（38分）1、如圖，在a ABC 中，ZC=9C。銳角A的對邊與斜邊的比叫做Z A的正弦，記為sinA ,即sin AA的對邊旦斜邊銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記為cosA, B|J

16、 COS A銳角A的對邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記為tanA,即tan AA的鄰邊 斜邊A的對邊aA的鄰邊b銳角A的鄰邊與對邊的比叫做/A的余切，記為cotA,即cotAA的鄰邊b力的對邊a2、銳角三角函數(shù)的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做/A的銳角三角函數(shù)3、一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)030 4560 90sin a012返2逅21cos a1V32遼o120tan a0巧31不存在cot a不存在1304、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系(1)互余關(guān)系sinA=cos(90 A), cosA=sin(90 A) tanA=cot(90 A), cotA=tan(90 A)(2)平方關(guān)

17、系sin2 A cos2 A 1(3)倒數(shù)關(guān)系tanA ?tan(90 A)=1（4）弦切關(guān)系tanA=sin AcosA5、銳角三角函數(shù)的增減性當角度在0 90。之間變化時,（1）正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?（2）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?（4）余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）考點四、解直角三角形3-5）1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解 直角三角形。2、解直角三角形的理論依據(jù)

18、在R3 ABC中，/ C=90,Z A, / B,ZC所對的邊分別為a, b, c(1)三邊之間的關(guān)系：a2 b2 c2 (勾股定理)(2)銳角之間的關(guān)系：/ A+/ B=90(3)邊角之間的關(guān)系：,ta nAa COtA;sin B ,cosBa5ta nB一,cotB a第二部分尺規(guī)作圖,最常用的尺規(guī)作圖，通常稱基本作圖。【知識回顧】1、尺規(guī)作圖的定義：尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。最基本一些復雜的尺規(guī)作圖都是由基本作圖組成的。2、五種基本作圖：1、作一條線段等于已知線段；、作一個角等于己知角；、作已知線段的垂直平分線、作已知角的角平分線；、過一點作己知直線的垂線(1)題目一：作

19、一條線段等于已知線段。己知：如圖，線段a求作：線段AB,使AB = a.作法：作射線AP在射線AP上截取AB=a .則線段AB就是所求作的圖形。(2)題目二：作已知線段的中點。己知：如圖，線段MN.求作：點0,使M0=N(即。是MN的中點).作法：(1)分別以MN為圓心，大于的相同線段為半徑畫弧，兩弧相交于P, Q (2)連接PQ交MN于0.則點0就是所求作的MN的中點。(3)題目三：作已知角的角平分線。如圖，/ AOB已知射線 OP,使/ AOFAZ BOP (BP P OP 平分/ AOBo TOC o 1-5 h z 求作A作法/(1)以O為圓心，任意長度為半徑畫弧，分別M交 OAOB

20、于 M, N;/(2)分別以MN為圓心，大于-為半徑畫弧，兩弧交/ AOB內(nèi)于P;n(3)作射線OP則射線OP就是/ AOB的角平分線。(4)題目四：作一個角等于已知角。己知：如圖，/ AOB求作：/ A O B, 則/ A O B就是所求作的角。使月 O B =Z AOB作法:作法)：作射線O A囪 以O為圓心，任意長度為半徑畫弧，交以。 OA于M交OB于N;(3)為圓心，以0M的長為半徑畫弧，以M為圓 交o A于M(4)心，以MN的長為半徑畫弧，連接ON并延交前弧于N,(5)長至iJBo(5)題目五：經(jīng)過直線上一點做已知直線的垂線。已知：如圖，P是直線AB上一點。 求作：直線CD,是CD經(jīng)

21、過點P,且CDLABo以P為圓心，任意長為半徑畫弧，交AB于MN;分別以MN為圓心，大于一 MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點2過DQ作直線CD則直線CD是求作的直線。(2)(6)題目六：經(jīng)過直線外一點作已知直線的垂線 已知：如圖，直線AB及外一 點Po求作：直線CD,使CD經(jīng)過點P,P且 CDLABoAB作法:1畫弧，兩弧交于點2(3)過P、Q作直線CD則直線CD就是所求作的直線。以P為圓心，任意長為半徑畫弧，交 AB于MN;分別以M N圓心，大于一MN長度的一半為半徑Q(5)題目七：已知三邊作三角形。己知：如圖，線段a, b, c.求作： ABC 使 AB = c , AC = b , BC

22、= a.作法：作線段AB = c；以A為圓心，以b為半徑作弧，以B為圓 心，以a為半徑作弧與前弧相交于C;連接 AC, BG則Zx ABC就是所求作的三角形。題目八：已知兩邊及夾角作三角形。己知：如圖，線段m n, /.求作： ABC 使/ A=z , AB=m AC=n.作法：(1) 作/ A=Z ； 在AB上截取AB=m ,AC=n；(3) 連接BC,則Zx ABC就是所求作的三角形。題目九：已知兩角及夾邊作三角形。己知：如圖，/，/，線段m .求作： ABC使/ A=Z,/ B=Z ,AB=m.作法:加油站地址有兒種情況？用尺規(guī)作圖作出所有可能的加油站地址。作線段AB=m在AB的同旁作/ A=Z ,作/ B=Z,/ A與/ B的另一邊相交于Co則公ABC就是所求作的圖形（三角形）【考點練習】1、如圖：107國道0A和320國道OB在某市相交于點O,在/ AOB的內(nèi)部有工廠C和D,現(xiàn)要修建一個貨站P,使P到OA OB的距離相等 且PC=PD用尺規(guī)作出貨站P的位置（不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論）3、過點C作一條線平行于AB4、如圖，平行四邊形紙條 ABCD中，E、F分別是邊AD BC的中點。張老師請同學們將紙條