數(shù)學(xué)經(jīng)典易錯題會診與高考試題預(yù)測16

1、實(shí)用文檔經(jīng)典易錯題會診與2012屆高考試題預(yù)測(十六)考點(diǎn)16復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算復(fù)數(shù)概念的應(yīng)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算經(jīng)典易錯題會診命題角度1復(fù)數(shù)的概念1.(典型例題)若zi=a+2i,Z2=3-4i,且亙?yōu)榧兲摂?shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.42考 場 錯 解zi+a+2i,z2=3-4i,4 _ + 2i _ (。+ 20(3 + 40 _ 3。-8 + (6 + 4。 _ 3。-8 J +z7 = 3-4 = (3-40(3 + 4/) =9 + 16= 25 + 25 ,又.亙?yōu)榧兲摂?shù)。專家把脈,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)為純虛數(shù)的充要條件是a=0且bwO,因此上面解答雖然答案是正確

2、的，但解答過程錯了，在由宇=。解得a=5時(shí)還需滿足黑工。對癥下藥.Z=a+2iz=3-4i,Z| _ a + 2i _ (o + 2i)(3 + 4i) _ (3a-8) + (6 + 4a)i _ 3。-8 6 + 4。.z7 = 3-4/ = (3-4iX3 + 4i) =25= 25 + 25 12 = o,.義為純虛數(shù)，F(xiàn)J5解得 TOC o 1-5 h z t=-. 3專家把脈.zR。=z.z為純虛數(shù)oz+=0(zW0)因此上面解答應(yīng)用的是Z為純虛 數(shù)的充根條件，因而求出的t是Z15為純虛數(shù)的結(jié)果，顯然是錯誤的。對診下藥解法 1：Z1=( 3+4i) (t-i)= (3-4i)(t+

3、i)為實(shí)數(shù)，.4t-3=0 ,4解法 2 ： . Zlz2 R / - -Zlz2 = 0Z2/. (3+4i)(t-i)=(3-4i)(t+i)n ( 3t+4 ) +(4t-3)i=(3t+4) + (3-4t)i=4t-3=3-4tn t=44 .（典型例題）已知z是復(fù)數(shù)，z+2i上均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位）,且復(fù)數(shù)（2+ai）2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限。求實(shí)數(shù)a的取值范圍?？紙鲈O(shè) z=x+yi(x/yGR)；/z+2i=x+(y+2)i由題意得y=2_7 = 4(x+2)(2+i)=l(2x+2)+l(x-4)i.由題意得x=4.z=4-2i.v(z+ai)2=4+(a-2)i2=(

4、12+4a-a2)+8(a-2)i（z+ai）2在復(fù)平面上的點(diǎn)在第一象限，,實(shí)數(shù)a的取值范圍是2, 6。專家把脈復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)對應(yīng)點(diǎn)(a. b在第一象限的充要條件是a0,b0.二0對應(yīng)點(diǎn)在虛軸上;b=0對應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸上，不屬于任何象限，因此，a/2 , b/6o 對癥下藥設(shè) z=x+yi(x、yGR)./z+2i=x+(y+2)i由題意得，y=2又二= 壬，)=1 (2x+2)+ - (x-4)i.由題意得：x=4,z=4-2i.(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i根據(jù)條件，可知解得2a0實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6、專家會診.深刻理解復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、模、幅

5、角、輻角主值、共鴕復(fù)數(shù)的概念和 得數(shù)的幾何表示一復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(a、b )及向量而是 對應(yīng)的，在對概念的理解時(shí)要善于利用數(shù)形結(jié)合的思想，如純虛數(shù)與虛軸上 的點(diǎn)對應(yīng)，實(shí)數(shù)與實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)，復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。.要善于掌握化虛為實(shí)的轉(zhuǎn)化方法，即設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR),但有時(shí)給許多問題 的求解帶來不必要的運(yùn)算困難，而若把握復(fù)數(shù)的整體性質(zhì)運(yùn)用整體運(yùn)算的思想方法，則能事半功倍，同時(shí)要注意復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用?？紙鏊季S訓(xùn)煉1若復(fù)數(shù)a + 3i1 + 2/(aGR J為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為a + 3i (6/+ 3/)(1-2/) 。+ +

6、(3 - 2。 a + b 3-2a1 + 2/ (1 + 20(1-2/)i.依有題意有0 = 05解得6.3 一 2a 八工052復(fù)數(shù)z二若-1，在復(fù)平面內(nèi)，z所對應(yīng)的點(diǎn)在C.第三象限Z二土I + i三=一 m4 = T + i,z所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi)選B 1+/ 1+13設(shè)復(fù)數(shù)z滿足彩=,，則|l+z|二答案：c解析：由三1 + Z1-/ (I-/)2.Z = = = T1 + i 2.|1+小|1止出+ 12 = 6 選C.4已知復(fù)數(shù)zi滿足(1+i) zi=-l+5i , a?=a-2-i.其中i為虛數(shù)單位,aGRo若 |zl-三卜，求a的取值范圍。答案：解：由題意得q =產(chǎn)；=2

7、 + 3,于是15一可1=14一a + 2il=，（4一。/+ 4. I5 1=疽由 7（4-n）2+4 而,得/ -8。+ 7 0./.laP _ 2S(1-V3/)1 + 44選D。專家把脈上面解答似乎很有道理，但（； + ） 5= （ -； +當(dāng)）34是錯誤的5=4 在數(shù)范圍內(nèi),必須是m、n均正整數(shù)時(shí)才成立，這一錯誤是機(jī)，械地照搬實(shí)數(shù)集中分?jǐn)?shù)指 數(shù)黑運(yùn)算法則，所以對于數(shù)學(xué)中的有關(guān)定理、定義、法則、性質(zhì)等，在應(yīng)用時(shí)，必須注 意成立的條件，否則會產(chǎn)生錯誤。5 1 J3 5對癥下藥選A。原式二1與1 = =與t=_16（令“，=- |z|2- Vio =2i|z|0. |z|eRo |邛-而R

8、而2i|z|為純虛數(shù)或0。當(dāng)|z|二0。顯然不成立；當(dāng)2i|z|為純虛數(shù)，也不成立。綜合得：原方程無解。專家把脈以上解答錯在兩邊取模的計(jì)算，因?yàn)閨Z1 + Z2| = |Z1| + |Z2| ,只有當(dāng)Z1二入Z2 (A R+)時(shí)成立，而從題設(shè)條件中是無法得到這一條件的。對癥下藥原方程化簡為|z|2+ (1-i) z-( 1+i) z=l-3i.設(shè)z=x+yi(x,yR),代入上述方程得：x2+y2-2xi-2yi=l-3i.x2 + y2 = 1(I)2x + 2y = 3(2)將(2 )代入(1),整理得 8x2-12x+5=0 (*)a=-16ja = -4b = 25設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

9、2和/7滿足zw+2iz-2iw+l=0(1)若z和w又滿足Kz=2i，求z和w值。答條：z = 27,/. z = iv-2/ 代人工.+ 2五-2河+1 = 01tl得2iX+ 21)-2iw+1 = 0 :.HrH -4/H+ 2hv + 5 = 0.設(shè)卬=,T + M*.y e R),則上式可變?yōu)?x + wXa - W)-4i(x + 貨)+ 2i(x yi) + 5 = 0n x2 + y2 + 6v + 5-2a7 =0a=0, v = -5-2x = 0 x = 0陽 v =:.h, = -/, z = -i或w = -5i. z = 3i.(2 )求證：如果|z|二石，那么|

10、w-4i|的值是一個常數(shù)，并求這個常數(shù)。答案:由 wz+2iz-2iw+l=0有 z(w+2i)=2iw-l /.|z|w+2i|=|2iw-l|設(shè)w=x+yi,則有I iv + 2/1=1 x + (y + 2)/1= Jx2(y + 2)2 = J +/+4y + 4I 2iw-1 IT -2y-l + 23 1=42尸 +1戶+4/ = J4M+4/+外 +1 又|z|=3,故式可變?yōu)?(x2+y2+4y+4)=4x2+4y2+4y+l/.x2+y2-8y=ll. J H -4/1=1 x + (y-4)i 1=+(y4)4=x2 + y2 -8y +16=J16 + U =36的值是常

11、數(shù),且等于3H探究開放題預(yù)測預(yù)測角度1復(fù)數(shù)概念的應(yīng)用下列命題中：(1)兩個復(fù)數(shù)不能匕瞰大小;(2 )若z=a+bi,則當(dāng)且僅當(dāng)a=O,b/O時(shí)，z為純虛數(shù);(3)( zl-z2 ) 2+ ( z2-z3 ) 2=0 ,則zl=z2=z3 ;(4 ) x+yi = l+io x=y=l;(5期實(shí)數(shù)a與ai對應(yīng)則實(shí)數(shù)集與純虛集一對應(yīng)。其中正確的命題的個數(shù)是()A . 0 B . 1 C . 2 D . 3解題思路關(guān)鍵是理解復(fù)數(shù)及其有關(guān)的概念，證明它們之間的關(guān)系，若對復(fù)數(shù)概念理 解不透徹，導(dǎo)致判斷失誤。解答選A都不正確:(1)因?yàn)楫?dāng)兩個復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大??；(2 )若 b=i 時(shí)，則有 z=0

12、+i2=-lGRo(3 )只有當(dāng)ZK Z2、Z33R時(shí),命題才成立,當(dāng)z1=l, z2=0 , z2=i滿足條件,故結(jié)論 不成立。(4 )只有當(dāng)x、y R時(shí)，命題才正確。(5 )若a=0 ,則前=0,不再是純虛數(shù)。2 .復(fù)數(shù) z=log2(Z2-3x-3)+ilog2(x-3),當(dāng) x 為何實(shí)數(shù)時(shí)。(l)zeR;(2)z為虛數(shù)；(3 ) z為純虛數(shù);(4) z =log449-i; ( 5 )在復(fù)平面上z的 對應(yīng)點(diǎn)們于第三象限。解題思路討論此類問題時(shí)，首先將原式化為復(fù)數(shù)z=a + bi(a,bR)的形式,然后根據(jù) 復(fù)數(shù)的分類求解。解答(11.,一個復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是虛部為0 ,.解得 x=

13、4,當(dāng) 乂二4 時(shí)，xGRolog2(A-3) = 0(2 ) T復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部 0。.,2-3k-30解得上更x4log2(x-3) 02即xW(當(dāng)紅,4) U(4,+ 8)時(shí)，Z為虛數(shù)。(3 ) ,一個復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則其實(shí)部為零且虛部不為零。.咋2(1-3-3)=。解得x e即x不存在。 log2(x-3)*0.(4 ) log2(x2-3x-3)-Hog2(x-3)=log49-i,根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的條件:log2(x2 - 3x -3) = log4 49log2(x-3) = 1解得 x=5，當(dāng) x=5 時(shí),z=log449-i.(5)例意有阿(-3.3)0log2a-3

14、)0解得二旦x4.當(dāng) 若I x4時(shí)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限。 2預(yù)測角度2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算.計(jì)算：(1)匚(2) (1-V3/)5解題思路利用w的性質(zhì)和in的周期性進(jìn)行運(yùn)算。解答(1 )原式=工=變？ = 2卬=2( +9)=-1 +而 1 V3 5- 21-5-2h-622丐F(2 ) J=AjIOOl = / + ( 2 )1003 = 1003 = 2.l + 2,3i I2，.設(shè)復(fù)數(shù)zn2：+3(i ,若z2+az+b=1+i,求實(shí)數(shù)a、b的值。2 + 1解題思路與實(shí)數(shù)集中求值問題類似，應(yīng)先化簡后代入求值。解答Z=(1 + i)2 + 3(1-D _ 2i+3(l-0 _ 3-

15、i _ (3-/X2-0 _ 5-5i 2+Z= 2i- = 2+7 = (2 + /X2-/) = 5將 z=l-i 代入 z2+az+b=l+i 得(l-i)2+a(l-i) + b=l+i即(a+b)-(a+b)i = l+i= 1.-Q + 2) = 1.3.若zee,且|z+2-2i|=l,則|z+2-2i|的了小值是()解題思路運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解。解答B(yǎng)|z+2-2i|二L 即 |z-(2+2i)|二l.點(diǎn)z的軌跡是以(-2,2)為圓心，以1為半徑的圓|z-(2+2i)|表示圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)A ( 2,2 )的最小距離|AP|=|AC|-1 =；(2+2)2+02-1 =4-1

16、二3。4設(shè)z是虛數(shù)，w=z+L為實(shí)數(shù)，且1yw2.Z(1 )求|z|的值及Z的實(shí)部的取值范圍。,求證：u為純虛數(shù)。(3)求W-U2的最小值。解題思路設(shè)z=a + bi(a,bR,bwO)代入w整理為w=x+yi形式w是實(shí)數(shù)的條件去創(chuàng)造等量關(guān)系。解答(1)設(shè)z=a+bi(a,bR,bHO)w=a + bi+!+-土下)i.a + bi ci+Zr a +/.w是實(shí)數(shù)，bHO./.a2+b2=lfBD|z|=lo,.w=2a,-lw2.，z的實(shí)音B的取值范圍是(-1,1)(2 1 Z _ a - bi _ (1 力i) _ (1 + 9定義運(yùn)算=ad - be,若復(fù)數(shù)Z=x+yi(xzy G R)

17、滿足的模等于x ,則復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)Z ( X/y )的軌跡方程為.答案：V2 =2(匯一，),解析：lz-ll=x = (x-l)2 + y2 = d n y2 = 2q-L). 2210 ( 1-4 ) 1。的展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為.答案：-2。解析:v(i-技出=1一九技+。得(技)2_扁(技尸+. (1-同1的展開式中奇數(shù)項(xiàng)之和為星數(shù)(1嚴(yán)的實(shí)部，又(1 -囚嚴(yán)=-2(-。+爭嚴(yán)=2叫3 = / W = 2叫-。+?/) = 4 .(1-舊i)。的展開式中各奇數(shù)項(xiàng)和為-29.11已知z2=5-12i,求f(z)=z的值。Z答案 解 設(shè) z=z+yi(xlyR)廁 z2=( x+yi )2=x2-y2+2xyi 由題設(shè)得 x2-y2+2xyi=5-12i.t5 =解得x = 3 F = ：32av = -12)? = -2 y = 2z=3-2i 或 z=-3+2i,|z|2:13.f(z)=z- _L = z- = = z(l -L)=Z Izl2 Izl2 13當(dāng) z=3-2i 時(shí)，f(z)有(3-2i).當(dāng)z=-3+2i時(shí)，f(z)=-j|(3-2i)12設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|二5，且(3+4i )z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上，|后-加|二5人(mR ).求z