Lyapunov穩(wěn)定性理論概述

1、Lyapunov穩(wěn)定性理論概述穩(wěn)定性理論是19世紀80年代由俄國數學家Lyapunov創(chuàng)建的，它在|T動控制、航空技術、生態(tài)生物、生化反應等H然科學和工程技術等方面有著廣泛的應用，其概念和理念也發(fā)展得十分迅速。通過本學期“力學中的數學方法”課程的學習，我對此理論的概況有了一些認識和體會，總結于本文中。穩(wěn)定性的概念初始值的微分變化對不同系統(tǒng)的影響不同，例如初始值問題dx=ax/x(O)=xo、t0,xoO(1)dt的解為x(r)=Xof,而x二o是式的一個解。當日aO時，無論血|多小，只耍Ixol工0,在tf+8時，總有X(t)f8,即初始值的微小變化會導致解的誤差任意大，而當時，=與零解的誤差

2、不會超過初始誤差X。，且隨著t值的增加很快就會消失，所以，當血|很小時，x(t)與零解的誤差也很小。這個例子表明&0時的零解是“穩(wěn)定”的。下而，我們就給出微分方程零解穩(wěn)定的嚴格定義。設微分方程TOC o 1-5 h zdx=/(X)x(to)=xoR(2)at滿足解存在唯一定理的條件，其解x(t)=x(t,to,Xo)的存在區(qū)間是(-,f(t,X)還滿足條件：f(t,0)=0(3)(3)式保證了x(t)=0是式的解,我們稱它為零解。這里給出定義1：若對任意給定的0,都能找到6=8(e,to),使得當IIXoIIS時的解滿足X(t,Xo,Xo)IIx(t,to,Xo)IItO時不恒為零,那么該系

3、統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的，否則將僅是一致穩(wěn)定而非一致漸近穩(wěn)定。此時，隨著I|x|有V(x,t)s,則該系統(tǒng)在原點處的一致漸近穩(wěn)定平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定性定理設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為X=f(X,t)其中X。二0為其平衡態(tài)。若存在一個有連續(xù)一階偏導數的正定函數V(x,t),滿足下述條件：若Vz(x,t)為負定的，則該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的；更進一步，若隨著有V(x,t)8,那么該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。不穩(wěn)定性定理設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x、f(x,t),其中Xo=0為其平衡態(tài)。若存在一個有連續(xù)一階偏導數的正定函數V(x,t),滿足下述條件：V(x,

4、t)為正定的,則該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是不穩(wěn)定的；若Vz(x,t)為非負定的，且對任意的tO和任意的x(t。)工0,Vz(x,t)在tto時不恒為零,那么該平衡態(tài)xo亦是不穩(wěn)定的。由此，我們可以對Lyapunov穩(wěn)定性判別方法做一個歸納總結，如下表:V(x)V(X)結論正定(0)負定(0)半負定(50)且不恒為0(對任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定正定(0)半負定(0)正定(0)該平衡態(tài)不穩(wěn)定正定(0)半正定(no)且不恒為o(對任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)不穩(wěn)定經過艱苦的研究證明，學者們發(fā)現，在上述三種定理中，只有Lyapunov的漸近穩(wěn)定性定理不可逆，其他定理，包括推廣的一致穩(wěn)

5、定、一致漸近穩(wěn)定、指數穩(wěn)定、全周指數穩(wěn)定及不穩(wěn)定定理等所有定理，都是可逆的。不過，這種可逆性的證明，即Lyapunov函數存在性的證明，是建立在解存在性的基礎上的，并不能輕易構造出它的解析表達式來.而滿足定理條件的Lyapunov函數，只要找到了1個(具體構造出來)就等于找到了無窮多個。例如，若V是滿足某定理耍求的Lyapunov函數，則CV(對丁任意的C0)也是滿足該定理合適的Lyapunov函數.任何函數(7)(00)也是，故有無窮多個.如果寫成定理形式，系統(tǒng)的平衡位置有某種穩(wěn)定性的充分必要條件是存在1個合適的Lyapunov函數V,它的導數空滿足定理條件，值得注意的是證明充分性時所用的L

6、yapunovdt函數與證明必耍性時所找到的Lyapunov函數不一定也不必耍是同一個Lyapunov函數。三，Lyapunov函數的構造Lyapunovh.接法的核丿C?技巧是構造Lyapunov函數，雖然人們針對不同實際問題已經運用多種方法（能量函數法、類比法、梯度法、變梯度法、微分矩方法等）具體構造出滿足需耍的Lyapunov函數，并獲得了廣泛的承認，但構造Lyapunov函數的方法仍無一般規(guī)律可循，純粹是研究工作者本人的經驗和技巧.這些方法都是試探性的，沒有構造性的必然成功程序可言。這當然是一個遺憾，但也正因為如此原則性與靈活性高度統(tǒng)一，反而留給了人們更加廣闊的施展才華的機會，鼓勵那些

7、“勤于思考，鍥而不舍，銳利進取,精益求精”的人去砂里淘金。所以有人說過：“誰能構造出一個巧妙的Lyapunov函數，誰就能得出一批好結果，誰就能發(fā)表一批好的文章”.這是一位權威學者的肺腑之言。關丁如何構造Lyapunov函數，這里簡耍介紹了3種試探湊合的原則性方法。湊合V函數法先試探構造出正定的函數V（或變號V）,然后沿系統(tǒng)之解對V求導數蘭，看dt條件能否保證空負定、半負定。如能，便可斷定系統(tǒng)的平衡位置是漸近穩(wěn)定（不dt穩(wěn)定）、穩(wěn)定的，否則任何結論也不能得到，只得再找其它的Lyapunov函數V。目前，大部分V函數的構造，都是用這種試探湊合法。倒推V函數法先設計空負定（或半負定），然后積分求出

8、V,來看V是否正定。若正定，dt便能斷定系統(tǒng)平衡位置漸近穩(wěn)定（穩(wěn)定）；否則，也只好重新再找其它合適的V函數。微分矩方法同時構造V和空,看能否滿足所需條件，即所謂微分矩方法。然而，這種dt方法實際問題中應用較少。下而，我們運用上面所述的方法1和方法2對一個具體系統(tǒng)構造出它的Lyapunov函數。形如(4)的非線性系統(tǒng)，如果不知道A是否穩(wěn)定，可嘗試構造V=XTBX(B正定)沿其解計算得：=xtbx+xtbxdt=Xt(BA+ATB)X+XTBf(x)+fT(x)BX若BA+AB負定，立即可斷言平系統(tǒng)(5)的平衡位置x二0指數穩(wěn)定，還可以根據2(BA+AB)來估計x二0的吸引域。這是根據上述方法1的

9、思想做的推導。八max如果己知A為Hurwitz矩陣，只是希望知道非線性系統(tǒng)在多大的區(qū)域內仍然指數穩(wěn)定，則可以任意給定負定矩陣-C,作V二VBX,其中B為線性矩陣不等式BA+AB-C的解。這是根據上述方法2的思想所做出的構造過程。四，Lyapunov方法的發(fā)展世界著名數學大帥Hirsch和Smale在他們的專著常微分方程動力系統(tǒng)線性代數的序言中談到：“有人說常微分方程這一學科是求解技巧和提示的匯集,并說它所以重耍，是因為它能解決物理學、工程學等方面的問題.我們認為這一門學科可以相當統(tǒng)一而連貫地進行闡述，常微分方程對丁其它學科領域的重要性，在丁它能啟發(fā)、統(tǒng)一并推進這些學科領域。了解常微分方程與其它學科之問是如何聯(lián)系的，對于學生及數學工作者來說，是獲得洞察力和啟示的一種主耍源泉”。如果將這段深刻而具有獨特見解的話，應用到常微分方程中的Lyapunov穩(wěn)定性，可以豪不夸張地說，Lyapunov在常微分方程中首創(chuàng)的