函數(shù)的零點(diǎn)優(yōu)秀教案詳細(xì)(孔祥武)

1、 / 10函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)常州市第一中學(xué)孔祥武一 . 設(shè)計(jì)思想與理念本課的教學(xué)設(shè)計(jì)是按照“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，課本為主線(xiàn) ”的原則而設(shè)計(jì)的教師在充分分析學(xué)生已有知識(shí)水平和思維能力的基礎(chǔ)上，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探索的情境，通過(guò)問(wèn)題串，指引探索的途徑，通過(guò)環(huán)環(huán)相扣問(wèn)題鏈激發(fā)學(xué)生的求知欲、探索欲，引導(dǎo)學(xué)生不斷地提出新問(wèn)題，解決新問(wèn)題二教材分析：內(nèi)容分析函數(shù) f (x) 的零點(diǎn) , 是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念, 從函數(shù)值與自變量對(duì)應(yīng)的角度看, 就是使函數(shù)值為 0 的實(shí)數(shù) x ; 從方程的角度看, 即為相應(yīng)方程f (x) 0 的實(shí)數(shù)根；從函數(shù)的圖像角度看, 函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)f (x) 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

2、. 函數(shù)的零點(diǎn)從不同的角度, 將函數(shù)與方程，數(shù)與形有機(jī)的聯(lián)系在一起，體現(xiàn)的是函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可為二次函數(shù)實(shí)根分布打下基礎(chǔ)，并為下一節(jié)內(nèi)容二分法求方程近似解提供理論支持在講授本節(jié)內(nèi)容時(shí)更多要滲透函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合的思想方法.學(xué)情分析：初學(xué)者大多不清楚為什么要研究函數(shù)的零點(diǎn)，因?yàn)樵诖酥八麄兌寄苡霉椒ㄖ苯忧蠓匠痰母?教學(xué)時(shí)可通過(guò)舉例讓學(xué)生知道，有許多方程都不能用公式法求解，只能把方程交給函數(shù)，轉(zhuǎn)化為考察相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，從動(dòng)態(tài)的角度來(lái)研究，借助形的角度來(lái)研究數(shù)的問(wèn)題本人執(zhí)教的班級(jí)是一中的教改班，學(xué)生層次較高，簡(jiǎn)單引用教材上的例題學(xué)生會(huì)覺(jué)得提不起興趣，因

3、此嘗試在立足教材的基礎(chǔ)上提出一些有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，自我建構(gòu)知識(shí)教材處理本節(jié)課從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)與二次方程入手，借助對(duì)圖象的觀(guān)察獲得二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系，并將這種關(guān)系推廣到了一般情形體會(huì)函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)判斷定理，教師要引導(dǎo)學(xué)生從特例中發(fā)現(xiàn)感悟這一定理，在給出這個(gè)定理之后，還需要圍繞定理作一些深入的剖析，引導(dǎo)學(xué)生多畫(huà)圖，討論定理逆命題的真假，加深對(duì)定理的理解及應(yīng)用重點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理的理解及運(yùn)用.難點(diǎn)：體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系；三教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)1知識(shí)與技能（ 1 ）理解函數(shù)（結(jié)合二次函數(shù)）零點(diǎn)的概念（ 2）理解零

4、點(diǎn)存在性定理的判定條件，會(huì)判斷函數(shù)在某區(qū)間上是否存在零點(diǎn).過(guò)程與方法能夠理解函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，能夠結(jié)合反例找到不間斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判斷方法情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的意義和價(jià)值，發(fā)展學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)， 體會(huì)函數(shù)知識(shí)的核心作用體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美, 激發(fā)學(xué)習(xí)熱情, 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神四 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1 情境問(wèn)題：y： 函數(shù) y x2 2x 3 圖象與 x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？【生】：（-1 ， 0）（3，0）【師】：你是怎樣得到的，【生】：令y0 解出來(lái)的.： 方程x2 2x30的根與函數(shù)【生】：從圖象上看，方程的根就是函數(shù)圖象與【

5、師】： 很好，方程x2 2x 3函數(shù)與方程之間似乎有某種聯(lián)系，-1O3 x2y x2 2x 3之間有什么聯(lián)系？x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).20可看作函數(shù)y x2 2x 3 函數(shù)值為0時(shí)特殊情形，21,3 是方程x2 2x 3 0的兩根，那么是函數(shù)y x2 2x 3 的什么呢？為了表述方便，我們給它一個(gè)名稱(chēng)，把 1,3稱(chēng)為函數(shù)y x2 2x 3的零點(diǎn) .( 板書(shū)課題)設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)蔚吨比?，從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)與二次方程入手，通過(guò)對(duì)圖象的觀(guān)察獲得二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系，給學(xué)生搭自然類(lèi)比引出概念零點(diǎn)知識(shí)是陳述性知識(shí)，關(guān)鍵不在于讓學(xué)生提出這個(gè)概念，而在于理解提出零點(diǎn)概念的作用溝通函數(shù)與方程的關(guān)系引

6、入函數(shù)的零點(diǎn)的概念一是突出這一轉(zhuǎn)化的思想，二是表述起來(lái)更方便2建構(gòu)數(shù)學(xué)問(wèn)題三：類(lèi)似的，函數(shù)y f (x) 的零點(diǎn)又該怎樣定義？【生】 ：令 y 0 ，解出f (x) 0 的根便是函數(shù)的零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)：1 、 定義：一般地，我們把使函數(shù)y f (x) 的值為 0 的實(shí)數(shù) x稱(chēng)為函數(shù)y f (x)的零點(diǎn) .【師】：函數(shù)的零點(diǎn)從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是什么呢？一張紙還是一支筆??？【生】：零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù) TOC o 1-5 h z 【師】：很好，去掉修飾語(yǔ)，實(shí)數(shù)x 稱(chēng)為零點(diǎn)我們不妨這么記憶，零點(diǎn)不是點(diǎn)，海馬不是馬.2、說(shuō)明：( 1 )函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是個(gè)實(shí)數(shù).( 2)函數(shù)的零點(diǎn)就是相應(yīng)方程的根，也是函數(shù)圖象與

7、x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題方程的根的問(wèn)題圖象與x 軸的交點(diǎn)問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖： 圍繞零點(diǎn)概念的剖析，幫助學(xué)生理解零點(diǎn)的本質(zhì)，體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根以及函數(shù)圖像之間的相互轉(zhuǎn)化的思想問(wèn)題四： 方程3456x2 3458x 1 0 有沒(méi)有實(shí)數(shù)根？【生】 ：有，用D = 34582 - 4? 34560計(jì)算，可以估算【師】 ：很好，還有別的做法嗎？2【 生 】 ： 設(shè) f (x) 3456x2 3458x 1 ， f (1)1 0 ， 因 圖 像 開(kāi) 口 向 上 ， 所 以2f (x) 3456 x3458x 1 的圖像和x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)：成功的關(guān)鍵在于把方程交給了函數(shù)，從函數(shù)角度來(lái)看問(wèn)題變化

8、： 在區(qū)間 (1,2) 上有根嗎？【生】： f (1)1, f(2) 0，二次函數(shù)圖像必定穿越x軸，在區(qū)間(1,2)上有一個(gè)根變化： 在區(qū)間 (0,1) 上有根嗎？【生】： f (1)1, f(0) 1 ，函數(shù)圖像必定穿越x軸，在區(qū)間(0,1) 上有一個(gè)根設(shè)計(jì)意圖：有意設(shè)計(jì)了一個(gè)不便于從代數(shù)角度求根的一元二次方程， “逼迫”學(xué)生另辟蹊徑，把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，從 “形” 的角度，來(lái)考察二次方程在區(qū)間上是否有根，滲透函數(shù)與方程思想，數(shù)學(xué)結(jié)合的思想. 同時(shí)讓學(xué)生感受端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，圖像連續(xù)，函數(shù)有零點(diǎn)，這便是零點(diǎn)存在性定理的“雛形”，為下面引出零點(diǎn)存在性定理埋下伏筆.問(wèn)題五：若函數(shù) y f(x)在區(qū)間

9、 a,b 上滿(mǎn)足 f(a) f(b) 0 , 則函數(shù) y f (x) 在區(qū)間 (a,b)上一定有零點(diǎn)嗎？試舉例說(shuō)明.教師學(xué)生自己畫(huà)圖論證1【生 1】 ：不一定，y 在區(qū)間 ( 1,1)上滿(mǎn)足條件，卻沒(méi)有零點(diǎn) .【師】： 加一個(gè)怎樣的條件就能保證上述函數(shù)y f (x) 在區(qū)間(a,b)上一定有零點(diǎn)？【生】 ：感覺(jué)只要函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 a, b上連在一起，不間斷就可以了引出零點(diǎn)存在性定理設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題四學(xué)生感覺(jué)似乎函數(shù)在區(qū)間上端點(diǎn)函數(shù)值異好，就有零點(diǎn)，教師適時(shí)地提出問(wèn)題五，順其自然把問(wèn)題推向縱深，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖論證，自我探究，尋找反例，接下來(lái)定理的引出便是自然的，水到渠成的零點(diǎn)存在定理

10、：一般地，若函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 a,b 上的圖象是一條不間斷的曲線(xiàn)，且f (a) f (b) 0, 則函數(shù) y f (x) 在區(qū)間 (a,b) 上有零點(diǎn)( 剖析概念系列問(wèn)) ：學(xué)習(xí)了這個(gè)定理，你有哪些不明白的地方(設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題)：區(qū)間從a,b 變化為(a,b)，為什么？：使零點(diǎn)位置更精確！第一個(gè)區(qū)間a,b 能改為區(qū)間(a,b)嗎？1x 11)：不可以，如函數(shù) f (x) ,x ,)，1,x 1：至少有一個(gè)零點(diǎn)(能逆向嗎？)一般地，若函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 a,b 上的圖象是一條不間斷的曲線(xiàn)，若函數(shù) y f (x) 在區(qū)間 (a, b)上有零點(diǎn)，則f (a) f(b)

11、 0？能舉例嗎？【生】 ：二次函數(shù)f (x) x2 4在區(qū)間 4,4 上有零點(diǎn)卻不滿(mǎn)足【師】 ：不間斷的單調(diào)函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 a,b上有f(a) f (b) 0, 則函數(shù) y f (x) 在區(qū)間 (a,b)上有幾個(gè)零點(diǎn)？： 1個(gè) .：變式：二次函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 a,b上有 f (a) f(b) 0, 則函數(shù)y f(x) 在區(qū)間(a ,b)上有幾個(gè)零點(diǎn)？【生】： 1 個(gè)(這是由二次函數(shù)自身的形狀決定，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖感受)設(shè)計(jì)意圖：在給出這個(gè)定理之后，還需要圍繞定理作一些深入的剖析，諸如：滿(mǎn)足定理的條件就有零點(diǎn)，不滿(mǎn)足定理的條件是否就沒(méi)有零點(diǎn)， 函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)是否一定有f(a

12、) f (b) 0，引導(dǎo)學(xué)生多畫(huà)圖，結(jié)合我們熟悉的二次函數(shù)的零點(diǎn)討論定理逆命題的真假，加深對(duì)定理的理解，為靈活運(yùn)用奠定基礎(chǔ)這樣達(dá)到完成本節(jié)課的知識(shí)與技能目標(biāo)的目的，同時(shí)也5 / 10突出了重點(diǎn)，3、典型例題：例題1：求證：函數(shù)f (x) x3 x2 1 在區(qū)間 ( 2, 1) 存在零點(diǎn)解答： f ( 2) f( 1) 0 ,函數(shù)f (x) x3 x2 1 在區(qū)間 ( 2, 1)上不間斷.強(qiáng)調(diào)：函數(shù)f (x) x3 x2 1 在區(qū)間 ( 2, 1)上不間斷.注重解題規(guī)范3變式1：求證：方程x 4x 2 在區(qū)間 ( 2,0) 上至少有兩個(gè)實(shí)根.解：令 f (x) x3 4x 2 ，f( 2)8 8

13、20， f(0)20，f( 1) 1 0，又函數(shù) f (x) x3 4x 2在區(qū)間 ( 2,0) 上連續(xù)不間斷，f(x) x34x2在區(qū)間 ( 2,1),(1,0) 上都至少有一個(gè)根，所以得證教師點(diǎn)評(píng)：把方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象的零點(diǎn)問(wèn)題處理設(shè)計(jì)意圖：例題 1 設(shè)計(jì)了一個(gè)三次函數(shù)的例子，不能像通常二次函數(shù)那樣從代數(shù)角度直接求解函數(shù)零點(diǎn)，需要結(jié)合零點(diǎn)存在性定理解題，屬于淺層次的模仿運(yùn)用，讓學(xué)生感悟零點(diǎn)存在性定理是判斷函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)的又一種方法變式訓(xùn)練把問(wèn)題推向高潮，首先要把方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，訓(xùn)練學(xué)生函數(shù)與方程思想當(dāng)然變式1 有一定難度，可根據(jù)學(xué)生層次選擇例題2：函數(shù)f (x

14、) ln x x 4有零點(diǎn)的區(qū)間為(k,k 1) k Z ，求 k 的值分析 1：嘗試直接應(yīng)用定理解題函數(shù) f (x) ln x x 4， f (2) ln 2 2 0， f (3) ln3 1 0， 函數(shù) f(x) ln x x 4在區(qū)間 (k,k 1) k Z 上單調(diào)增，故k 2 / 10 TOC o 1-5 h z 要把問(wèn)題交給代數(shù)，考查(1,4) 中的整點(diǎn)2,3 .x2 時(shí)，y12 ，y2ln 21 ，x3時(shí)，y11 ，y2ln31，通過(guò)精確比較，根位于區(qū)間(2,3) 要進(jìn)行細(xì)化糾正學(xué)生的常見(jiàn)誤區(qū)：直接f (k) f (k 1) (ln k k 4)(ln( k 1) (k 1) 4

15、0的做法不對(duì)，屬于認(rèn)為有零點(diǎn)，便有端點(diǎn)值異好，若看出單調(diào)增，便可以這樣使用. 逐一檢驗(yàn)整數(shù)點(diǎn)。歸納： 函數(shù)零點(diǎn)的求解與個(gè)數(shù)的判斷：( 1 ) (代數(shù)法)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根問(wèn)題；( 能求則求) ，2) (幾何法)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題；3)利用零點(diǎn)存在性定理解決設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)一個(gè)入口較寬的，有一定挑戰(zhàn)性的，一題多解的例題，讓學(xué)生正確理解零點(diǎn)存在性定理使用誤區(qū)和注意事項(xiàng)，并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，把數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形的問(wèn)題，當(dāng)依靠形說(shuō)不清時(shí)再次把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)，感受數(shù)學(xué)解題其實(shí)就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程、當(dāng)堂訓(xùn)練：(備用)x1 TOC o 1-5 h z 1 、設(shè)函數(shù)

16、f (x)2 x 1 ，則函數(shù)g(x) f (x) 1 的零點(diǎn)為log81 x x 14答： 3 可以直接求根，也可以作圖像！ HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 2、函數(shù)f(x) xlg x 1 有零點(diǎn)的區(qū)間為(k, k 1) k Z ，則 k的值為 21lg x x , 轉(zhuǎn)化為熟知的圖像的交點(diǎn)，最后細(xì)化！13、方程3x log2 x 0在區(qū)間 1內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為 14法一、轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)法二、函數(shù)單調(diào)增，用f(a) f (b) 0設(shè)計(jì)意圖：爭(zhēng)對(duì)課上的重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容，當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練，變式訓(xùn)練，課內(nèi)時(shí)間可能來(lái)不及，看情況 備用 .5、課堂小

17、結(jié)：(引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)，自我建構(gòu))函數(shù)的零點(diǎn)概念是什么？函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題方程的根的問(wèn)題圖像與 x 軸交點(diǎn)問(wèn)題.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法有哪些？( 1 ) 求出相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根；( 2) 轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題；( 3) 利用零點(diǎn)存在性定理本節(jié)課運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想.設(shè)計(jì)意圖在學(xué)生談收獲，談體驗(yàn)的過(guò)程中，教師將本節(jié)課的內(nèi)容回顧總結(jié)，概況升華，進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，把課堂所學(xué)的知識(shí)與方法較快轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素質(zhì)，也更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力6、課外作業(yè)：一中配套課時(shí)訓(xùn)練第33 課時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)開(kāi)課反思常州市第一中學(xué)孔祥武本節(jié)課好的地方：以問(wèn)題串組織

18、教學(xué)，一步步引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)概念，6 個(gè)大問(wèn)題把整節(jié)課知識(shí)點(diǎn)串了起來(lái)這樣的課堂是高效的，學(xué)生在思考中發(fā)現(xiàn)，在探究中感悟因?yàn)閷W(xué)生層次很好，(一中教改班)，這節(jié)課我設(shè)計(jì)時(shí)立足放手讓學(xué)生來(lái)說(shuō)，把舞臺(tái)交給學(xué)生 充分體現(xiàn)教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的新課程理念許多概念的反例都是學(xué)生自己來(lái)舉的，聽(tīng)課老師都覺(jué)得學(xué)生表現(xiàn)得很讓人吃驚這里學(xué)生的主動(dòng)性積極性得到調(diào)動(dòng)學(xué)生的大膽質(zhì)疑，大聲回答讓人佩服，這樣的課堂正是我們老師希望看到的，這樣的學(xué)生正是我們老師希望培養(yǎng)的零點(diǎn)存在性定理講的比較細(xì)致入微，嚼得有滋有味，剖析得比較透徹，是本節(jié)課的亮點(diǎn)零點(diǎn)存在性問(wèn)題本身是充分的，有局限性的 “剖析問(wèn)題 (能逆向嗎)一般地，若函數(shù)y

19、f(x) 在區(qū)間 a,b 上的圖象是一條不間斷的曲線(xiàn)，若函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 (a,b)上有零點(diǎn) 則 f (a) f (b) 0？能舉例嗎？”和變式 2 都在研究定理逆向方面的問(wèn)題防止學(xué)生理解發(fā)生偏差定理的正向，逆向剖析，讓學(xué)生對(duì)定理加深理解，使得學(xué)生對(duì)定理理解更全面本節(jié)課教態(tài)很自然，始終面帶微笑，不慌不忙，娓娓道來(lái)，不太像自己平時(shí)嚴(yán)厲的作風(fēng)，給人以親近的感覺(jué)，學(xué)生似乎也被感染了，師生配合較好，還要堅(jiān)持需要改進(jìn)的方面： 1 給出函數(shù)零點(diǎn)定義時(shí)提出問(wèn)題：學(xué)習(xí)了零點(diǎn)定義要注意什么，問(wèn)題太大，太空可改為：學(xué) 習(xí)了零點(diǎn)，你能告訴人家零點(diǎn)是什么嗎？可能更具體一些.零點(diǎn)不是點(diǎn)，黑馬不一定是馬說(shuō)法不準(zhǔn)確改為零點(diǎn)不是點(diǎn)，海馬不是馬可能較好. 零點(diǎn)存在性定理的生成亦可以設(shè)計(jì)一些活動(dòng)讓學(xué)生動(dòng)手探究，揭示定理(10 分鐘)y f x 的圖象是