信號與系統(tǒng)教案第7章-2016

1、第七章 信號流圖與狀態(tài)變量分析 7.1 信號流圖7.2 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立與求解7.4 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立與求解 前面的分析方法稱為外部法，它強(qiáng)調(diào)用系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的特性。其特點(diǎn)：（1）只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，對于多輸入多輸出系統(tǒng)，將增加復(fù)雜性；（2）只研究系統(tǒng)輸出與輸入的外部特性，而對系統(tǒng)的內(nèi)部情況一無所知，也無法控制。 本章將介紹的內(nèi)部法狀態(tài)變量法是用n個狀態(tài)變量的一階微分或差分方程組（狀態(tài)方程）來描述系統(tǒng)。優(yōu)點(diǎn)有：（1）提供系統(tǒng)的內(nèi)部特性以便研究。（2）便于分析多輸入多輸出系統(tǒng)；（3）一階方程組便于計(jì)算機(jī)數(shù)值求解。并容易推廣用于時變

2、系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。 引言1、定義：一般而言，信號流圖是一種賦權(quán)的有向圖。它由連接在結(jié)點(diǎn)間的有向支路構(gòu)成。2、信號流圖中常用術(shù)語 （1）結(jié)點(diǎn)： 信號流圖中的每個結(jié)點(diǎn)對應(yīng)于一個變量或信號。 （2）支路：連接兩個結(jié)點(diǎn)之間的有向線段。 支路增益：每條支路上的權(quán)值。 支路增益就是該兩結(jié)點(diǎn)間的系統(tǒng)函數(shù)即用一條有向線段表示一個子系統(tǒng)。 一、信號流圖 7.1 信號流圖（3）源點(diǎn)、匯點(diǎn)、混合結(jié)點(diǎn)： 僅有出支路的結(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)（輸入結(jié)點(diǎn)）。 僅有入支路的結(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)（或輸出結(jié)點(diǎn)）。 有入有出的結(jié)點(diǎn)為混合結(jié)點(diǎn)。 （4）通路、開通路、閉通路（回路、環(huán)）、不接觸回路、自回路：沿箭頭指向從一個結(jié)點(diǎn)到其他結(jié)點(diǎn)的路徑稱為通路。

3、如果通路與任一結(jié)點(diǎn)相遇不多于一次，則稱為開通路。若通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)（與其余結(jié)點(diǎn)相遇不多于一次），則稱為閉通路。相互沒有公共結(jié)點(diǎn)的回路，稱為不接觸回路。只有一個結(jié)點(diǎn)和一條支路的回路稱為自回路。 7.1 信號流圖（5）前向通路：從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的開通路。 （6）前向通路增益、回路增益： 前向通路中各支路增益的乘積稱為前向通路增益。 回路中各支路增益的乘積稱為回路增益。 3、信號流圖的基本性質(zhì) （1）信號只能沿支路箭頭方向傳輸。 支路的輸出=該支路的輸入與支路增益的乘積。 （2）當(dāng)結(jié)點(diǎn)有多個輸入時，該結(jié)點(diǎn)將所有輸入支路的信號相加，并將和信號傳輸給所有與該結(jié)點(diǎn)相連的輸出支路。7.1 信號流圖如：x

4、4= ax1+bx2+dx5 x3= cx4 x6= ex4（3）混合結(jié)點(diǎn)可通過增加一個增益為1的出支路而變?yōu)閰R點(diǎn)。 4、方框圖流圖 注意：加法器前引入增益為1的支路。 7.1 信號流圖5、流圖簡化的基本規(guī)則： （1）支路串聯(lián)：支路增益相乘。 X2=H2X3=H2H1X1（2）支路并聯(lián)：支路增益相加。 X2=H1X1+H2X1 =(H1+H2) X17.1 信號流圖（3）混聯(lián)： X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X27.1 信號流圖（4）自環(huán)的消除： X3=H1X1+H2X2+ H3X3所有來向支路除以1 H37.1 信號流圖（1）將串聯(lián)支路合并從而減少

5、結(jié)點(diǎn)；（2）將并聯(lián)支路合并從而減少支路；（3）消除自環(huán)。 反復(fù)運(yùn)用以上步驟，可將復(fù)雜的信號流圖簡化為只有一個源點(diǎn)和一個匯點(diǎn)的信號流圖，從而求得系統(tǒng)函數(shù)。6.信號流圖化簡步驟7.1 信號流圖例1：化簡下列流圖。注意化簡具體過程可能不同，但最終結(jié)果一定相同。 解：消x3消x2消x4消自環(huán)7.1 信號流圖二、梅森公式 所有不同回路的增益之和； 所有兩兩不接觸回路的增益乘積之和； 所有三三不接觸回路的增益乘積之和; i 表示由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路的標(biāo)號； Pi 是由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路增益； i 稱為第i條前向通路特征行列式的余因子 。消去接觸回路 信號流圖的特征行列式7.1 信號流圖例2

6、: 求下列信號流圖的系統(tǒng)函數(shù)。 解： （1）首先找出所有回路： L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 （2）求特征行列式 =1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5（4）求各前向通路的余因子：1 =1 ， 2 =1-GH3 （3）找出所有的前向通路： p1=2H1H2H3 p2=H1H4 7.1 信號流圖例3：某LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的信號流圖如下，求（1）系統(tǒng)函數(shù)；（2）列寫出系統(tǒng)的微分方程；（3）判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。7.1 信號流圖系統(tǒng)穩(wěn)定例4：某LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的信號流圖如下，求其系統(tǒng)函數(shù)。7.1 信號流圖例5：某LTI離散因果系統(tǒng)的

7、信號流圖如下，求（1）系統(tǒng)函數(shù)；（2）列寫出系統(tǒng)的差分方程；（3）判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。7.1 信號流圖例6：如圖所示 （1）求系統(tǒng)函數(shù)； （2）求單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)； （3）列寫該系統(tǒng)的輸入輸出差分方程。7.1 信號流圖Mason公式是由流圖 H(s)或H(z) 下面討論，由H(s)或H(z) 流圖或方框圖 三、系統(tǒng)的模擬 對于同一系統(tǒng)函數(shù)，通過不同的運(yùn)算，可以得到多種形式的實(shí)現(xiàn)方案，常用的有直接形式、級聯(lián)和并聯(lián)形式等。7.1 信號流圖1、直接實(shí)現(xiàn)-利用Mason公式來實(shí)現(xiàn) 設(shè)二階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)將上式分子、分母乘以s-2,上式可寫為7.1 信號流圖例7： 某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 用直接形式

8、模擬系統(tǒng)。解： 將H(s)改寫為根據(jù)梅森公式，可畫出上式的信號流圖如下圖。7.1 信號流圖7.1 信號流圖2、級聯(lián)實(shí)現(xiàn)將H分解為若干簡單（一階或二階子系統(tǒng)）的系統(tǒng)函數(shù)的乘積，即一、二階子系統(tǒng)函數(shù) 7.1 信號流圖將H分解為幾個較簡單的子系統(tǒng)之和，即把H展開成部分分式，將每個分式分別進(jìn)行模擬，然后將它們并聯(lián)起來。 3、并聯(lián)實(shí)現(xiàn)7.1 信號流圖其函數(shù)形式分別為 一階和二階子系統(tǒng)的信號流圖和相應(yīng)的框圖如圖所示：7.1 信號流圖例8： 某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別用級聯(lián)和并聯(lián)形式模擬系統(tǒng)。解：（1）級聯(lián)實(shí)現(xiàn) 首先將H(s)的分子、分母多項(xiàng)式分解為一次因式與二次因式的乘積。于是7.1 信號流圖7.1 信號流

9、圖（2）并聯(lián)實(shí)現(xiàn) 將系統(tǒng)函數(shù)展開為部分分式令7.1 信號流圖畫出H1(s)和H2(s)的信號流圖，將二者并聯(lián)即得H(s)的信號流圖7.1 信號流圖一、狀態(tài)與狀態(tài)變量的概念從一個電路系統(tǒng)實(shí)例引入以u(t)和iC(t)為輸出 若還想了解內(nèi)部三個變量uC(t), iL1(t), iL2(t)的變化情況。a7.2 狀態(tài)變量與變量方程 這是由三個內(nèi)部變量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)構(gòu)成的一階微分方程組。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，則根據(jù)tt0時的給定激勵uS1(t)和uS2(t)就可惟一地確定在tt0時的解uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。 系統(tǒng)的輸出容易

10、地由三個內(nèi)部變量和激勵求出：一組代數(shù)方程 7.2 狀態(tài)變量與變量方程狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義 某一時刻t0的狀態(tài)是指表示該系統(tǒng)所必需最少的一組數(shù)值。狀態(tài)變量是描述狀態(tài)隨時間t 變化的一組變量。 對n階動態(tài)系統(tǒng)需有n個獨(dú)立的狀態(tài)變量，通常用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示。 說明（1）系統(tǒng)中任何響應(yīng)均可表示成狀態(tài)變量及輸入的線性組合；（2）狀態(tài)變量應(yīng)線性獨(dú)立；（3）狀態(tài)變量的選擇并不是唯一的 。在初始時刻的值稱為初始狀態(tài)。7.2 狀態(tài)變量與變量方程二、狀態(tài)方程和輸出方程在選定狀態(tài)變量的情況下 ，用狀態(tài)變量分析系統(tǒng)時，一般分兩步進(jìn)行：（1）根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)求出狀態(tài)變量； （2）用這些狀態(tài)變量來

11、確定初始時刻以后的系統(tǒng)輸出。 狀態(tài)變量是通過求解由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來得到，該一階微分方程組稱為狀態(tài)方程。 狀態(tài)方程描述了狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量和激勵之間的關(guān)系 。 描述輸出與狀態(tài)變量和激勵之間關(guān)系的一組代數(shù)方程稱為輸出方程 。通常將狀態(tài)方程和輸出方程總稱為動態(tài)方程或系統(tǒng)方程。 7.2 狀態(tài)變量與變量方程對于一般的n階多輸入-多輸出LTI連續(xù)系統(tǒng)，如圖 。其狀態(tài)方程和輸出方程為： 7.2 狀態(tài)變量與變量方程寫成矩陣形式：狀態(tài)方程輸出方程其中A為nn方陣，稱為系統(tǒng)矩陣，B為np矩陣，稱為控制矩陣，C為qn矩陣，稱為輸出矩陣，D為qp矩陣 對離散系統(tǒng)，類似狀態(tài)方程輸出方程狀態(tài)變量分

12、析的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取以及狀態(tài)方程的建立。7.2 狀態(tài)變量與變量方程一、由電路圖直接建立狀態(tài)方程 首先選擇狀態(tài)變量 。通常選電容電壓和電感電流為狀態(tài)變量。 必須保證所選狀態(tài)變量為獨(dú)立的電容電壓和獨(dú)立的電感電流。 四種非獨(dú)立的電路結(jié)構(gòu)7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解由電路圖直接列寫狀態(tài)方程和輸出方程的步驟： （1）選電路中所有獨(dú)立的電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量；（2）對接有所選電容的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)列出KCL電流方程，對含有所選電感的獨(dú)立回路列寫KVL電壓方程；（3）若上一步所列的方程中含有除激勵以外的非狀態(tài)變量，則利用適當(dāng)?shù)腒CL、KVL方程將它們消去，然后整理給出標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式；（4）

13、用觀察法由電路或前面已推導(dǎo)出的一些關(guān)系直接列寫輸出方程，并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。 7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解例1：電路如圖，以電阻R1上的電壓uR1和電阻R2上的電流iR2為輸出，列寫電路的狀態(tài)方程和輸出方程。 解： 選狀態(tài)變量x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t) L 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) aC 2(t) + iR2(t) = x1(t) 消去 iR2(t)，列右網(wǎng)孔KVL方程： R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0 代入整理得狀態(tài)方程：7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解輸出方程：uR1(t) = R1x1(t)

14、 R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0 7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解二、由輸入-輸出方程建立狀態(tài)方程 這里需要解決的問題是： 已知系統(tǒng)的外部描述（輸入-輸出方程、系統(tǒng)函數(shù)、模擬框圖、信號流圖等）；如何寫出其狀態(tài)方程及輸出方程。具體方法：（1）由系統(tǒng)的輸入-輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)，首先畫出其信號流 圖或框圖；（2）選一階子系統(tǒng)(積分器）的輸出作為狀態(tài)變量；（3）根據(jù)每個一階子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方程；（4）在系統(tǒng)的輸出端列輸出方程。7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解例2： 某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8

15、f (t)試求該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。解：由微分方程寫出其系統(tǒng)函數(shù) 方法一：畫出直接形式的信號流圖設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、 x2(t)x1x2由后一個積分器，有由前一個積分器，有系統(tǒng)輸出端，有 y(t) =8 x1+2 x27.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解方法二：畫出級聯(lián)形式的信號流圖設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、 x2(t)x2x1設(shè)中間變量 y1(t)y1系統(tǒng)輸出端，有 y(t) =2 x27.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解方法三：畫出并聯(lián)形式的信號流圖f(t)y(t)設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、 x2(t)x1x2系統(tǒng)輸出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2可見H(s)相同的系統(tǒng)，狀態(tài)變量

16、的選擇并不唯一。7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解例3：某LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的信號流圖如下，列寫出系統(tǒng)矩陣形式的狀態(tài)方程和輸出方程。7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解例4： 某系統(tǒng)框圖如圖，狀態(tài)變量如圖標(biāo)示，試列出其狀態(tài)方程和輸出方程。解： 對三個一階系統(tǒng)其中， y2= f - x3輸出方程 y1(t) = x2y2(t) = -x3 + f7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解三、由狀態(tài)方程列輸入-輸出方程例5： 已知某系統(tǒng)的動態(tài)方程如下，列出描述y(t)與f(t)之間的微分方程。解法一： 由輸出方程得y(t)=x1(t)y (t)=x1(t) = 4 x1(t) + x2(t)+ f(t

17、)y(t)= 4 x1(t) + x2(t)+ f (t)= 44 x1(t) + x2(t)+ f (t) + 3 x1(t) + f (t) + f (t)= 13 x1(t) 4x2(t) 3 f (t) + f (t)y+a y + by=(13 4a +b) x1+(4+a) x2+ f (t) +(a3) f (t) a=4，b=3y+4 y + 3y= f (t) + f (t) 7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解解法二： 對方程取拉氏變換，零狀態(tài)。7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解四、用拉普拉斯變換法求解狀態(tài)方程狀態(tài)方程和輸出方程的一般形

18、式為 sX(s) -x(0-) = A X(s) + BF(s) ( sI -A )X(s) = x(0-) +BF(s) X(s)=(sI -A )-1x(0-) +(sI -A )-1BF(s)=(s)x(0-) +(s)BF(s) 式中(s) = ( sI -A )-1常稱為預(yù)解矩陣 。Y(s) = CX(s) +DF(s)Yzi(s) = C(s)x(0-) Yzs(s) = C(s)B +D F(s) H(s) = C(s)B +D (s)的極點(diǎn)就是H(s)的極點(diǎn)。即| sI-A|=0的根。=C(s)x(0-) + C(s)B +D F(s)7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解例6：

19、 描述LTI因果系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為 起始狀態(tài)x1(0-)=3，x2(0-)=2，輸入f(t) =(t)。求狀態(tài)變量和輸出。并判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解解：X(s) = (s)x(0-) +BF(s) 7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解y(t) = 1 1x(t) + f(t) =(t)+ 6e-2t(t) 由于H(s)的極點(diǎn)均在左半平面，故該因果系統(tǒng)穩(wěn)定。H(s)的極點(diǎn)就是|sI-A|=0的根。 |sI-A|=(s+2)(s+3)7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解與連續(xù)系統(tǒng)類似，具體方法為：（1）由系統(tǒng)的輸入-輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)，首先畫出其信號流圖或框圖；（2）選一階子系統(tǒng)(遲延器）的輸出作為狀態(tài)變量；（3）根據(jù)每個一階子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方程；（4）在系統(tǒng)的輸出端列輸出方程。7.4 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立和求解例1：某離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 2y(k 1) y(k 2) =