上海交通大學(xué)《矩陣分析》試卷及答案

1、上海交通大學(xué)矩陣分析試卷(A)一、單項選擇題(每題3分，共15分)AAABC1.設(shè)F是數(shù)域，。hHom（Fm,Fn）,則A.dim（Im二）dim（ker二）=mB.dim（Im二）dim（ker二）二nC.dim（Im二）-dim（ker-=mD.dim（Im二）-dim（ker二）二n2.設(shè)M是n階實數(shù)矩陣，若M的n個蓋爾圓彼此分離，則MA.可以對角化B.不能對角化C.哥收斂D.哥發(fā)散，e2t12et_12e2t+13te2t-4et+4e2t3.設(shè)eAt=0e2t0，則A=0-3et+3e2tet214、A.020231114）224、B.010C.020、061j（031204、D.0

2、20061）oO4.設(shè)f（A）=k1AkeiA收斂，則A可以取為00、（00、（10、門A.9-UB.9UC.13D.2015.設(shè)3階矩陣A滿足(A2-4E)4(A-3E)2=O,且其最小多項式m(x)滿足條件m(1)m(2)m(3)=1+a2,a為某實數(shù)，則A可以相似于 TOC o 1-5 h z 200A.M=130-200M=1-20f、200B.M=120192,-200M=030nk,P（A） 1，則哥級數(shù)工kA收斂，且其和為k=0A(E-A)A-2。A10.設(shè)A為2階矩陣，使得ee2，而的核Ker。由向量生成.又，這樣的線性變換是否唯一？為什么？3解設(shè)題中給出的三個向量依次為叼，口

3、2,口3。取C3的一組基為013。構(gòu)造C到自身的一個映射3為：Pi15,p21a2,03H0,再將線性拓展到整個C上。則是滿足題意的一個線性變換。上述線性變換顯然不是唯一的(實際上有無窮多個)：比如，將上面的線性變換第一個基元素的像與第二個基元素的像對調(diào)，即可得0、一個新的滿足題意的線性變換。原因在于除去k1(k是任意復(fù)數(shù))UJ的像(=0)確定外，其與相鄰的像不是完全確定的。12.復(fù)數(shù)域C是實數(shù)域R上的2維線性空間.試定義C上的一個內(nèi)積,使得1與1+i成為c的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基；并求1-i的長度.解對任意Xj+yjiC,j=1,2,有Xj+yji=(Xj-yj)1+yj,(1+i)。為使1與1+i

4、成為C的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，必要且只要=0,=1,=1,必要且只要=(xi-yi)(x2-y2)+yiy2.上式定義了一個C上的內(nèi)積：對稱性與正定性是顯然的；且由于該內(nèi)積還是xi,X2,yi,y2的二次型，故雙線性性質(zhì)也成立。在上述內(nèi)積下，向量x+yi的長度等于(x-y)2+y2i/2;因此ii的長度為5i/2.1-152i3.設(shè)A=0-10,試求矩陣B使得B5=A00b解A的特征值為一i,i,i。屬于一i的特征向量與廣義特0150;屬于i的特征向量為I 1011r r 1P = 0-0 ，則 P AP =5故取x = L 則K5 = J.5,-110、010 =J。令 HYPERLINK l b

5、ookmark15 o Current Document 001J(-1)n (- 1)n1nx 00(- 1)n 0I 001 J于是令B = PKP,則B5=PK5P，=PJP，=A。故1 IB =00015015-10101515 0-1I01， TOC o 1-5 h z 12I HYPERLINK l bookmark25 o Current Document -1001,5（解法2）更簡單地，A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型J如上。則為使B-A只要找到K使得于是選-150K5= 01000b-1 X 0(- 1)n|I n IK =0-10 ,Kn = |01 001 j、0J1 -1 0

6、j從而取x = - 1 ,則有K5= 0-1 000 1J TOC o 1-5 h z (-1)n1nx0(-1)n001J-150、0-10.這個矩陣與A0b的差別僅在于右上角，而這可以利用相似的初等變換得到，即將K的第3行的1倍加到第1行，自然將其第1列的一1倍加到第三列即可：于是，B=PKP其中P為下面的初等矩陣101、P=010,901此時，-1-12”B=0-10. TOC o 1-5 h z 00L22-1”、一、At14.設(shè)a=1-11，求e。-1-22解IA的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形與過渡矩陣分別為100|111)J=011,P=|。-10001；V1-10J因此eAt=peJtp-

7、1110-1J-10八00 et00 V0-1tet 0-1et 八 121、0-1-tettet(t 1)eteAt于是2tet-tet(1- 2t)ettet.-2tet(t 1)et7t+1)et2tet=-tet(1-2t)et-tet-2tet解2利用A的最小多項式(x-1)2.可知必有一次多項式f(x)=ax+b,使得f(A)即為所求。由a+b=f(1)=e與a=f(1)=te可知b=(1-t)e.(t1)et=tetA(1-t)etE=-tet-tet四、證明題(14分)15.設(shè)A=(%，0是n階復(fù)數(shù)矩陣，B=(aj)%是由A的元素取模后得到的矩陣。設(shè)對一切歐幾里德范數(shù)為Jn的復(fù)向量x均有xBx1,證明3E+2A可逆，并求其逆。n證明由于aTBc(=|aij|1(取(1,1，,1)T即可)。故P(A),縱而可逆。進