現(xiàn)代控制理論

1、現(xiàn)代控制理論知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第1章第6章總結(jié)state variablestate vectorstate spacestate space description：state equation and output equationMIMO (multiple-input multiple-output)linear time-varying (LTV) systemlinear time-invariant (LTI) system（A： system matrix or coefficient matrix；B：input matrix；C：output matrix；D：forward ma

2、trixTransfer function matrix Eigenvalue、Eigenvectorcontrollable 、diagonal 、Jordan canonical formState transformation第1章：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2022/8/163由輸入-輸出描述 狀態(tài)空間描述確定參數(shù)A B C D選取適當(dāng)狀態(tài)變量 由微分方程（m=0,m=n兩個(gè)結(jié)論）由傳遞函數(shù)G(s)直接分解(mn,m=n)并行分解(D(s)有重根;無重根)方塊圖法（等價(jià)系統(tǒng)）實(shí)現(xiàn)問題第1章：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述由微分方程描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述(Obtaining State Space D

3、escription from Differential Equation)結(jié)論1 m=0時(shí)，設(shè)微分方程描述為如下形式，則其對(duì)應(yīng)的一個(gè)狀態(tài)空間描述為：結(jié)論2 時(shí)，設(shè)微分方程描述為如下形式，則對(duì)應(yīng)的一個(gè)狀態(tài)空間描述為： 由傳遞函數(shù)導(dǎo)出狀態(tài)空間描述（Obtaining State Space Description from Transfer Function）直接分解法(Direct Decomposition) 并行分解法(Parallel Decomposition)(1.50)定義：當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)(1.50)是真有理系統(tǒng)(proper rational system)；當(dāng)mn時(shí),系統(tǒng)(1.5

4、0)是嚴(yán)真系統(tǒng)(strictly proper system)研究對(duì)象是SISO的常系數(shù)系統(tǒng)，且它的傳遞函數(shù)為：(1.58) and (1.60)給出的狀態(tài)空間描述, 稱為能控規(guī)范型/能控標(biāo)準(zhǔn)型(controllable canonical form)(1.58)(1.60)State space description of 嚴(yán)真系統(tǒng)(strictly proper system) ：(1.51) 結(jié)論1：直接分解法(Direct Decomposition)Then, the state space description of proper rational system （真有理系統(tǒng)）

5、can be represented as: (1.69)Where直接分解法(Direct Decomposition)(1.61)結(jié)論2：(1.79)Jordan canonical formis the characteristic root of multiplicity r, are the other distinct characteristic roots of D(s).Method 2: Parallel Decomposition（并行分解）結(jié)論1:（約當(dāng)規(guī)范型）where , can be computed by (1.80)Note that, k0=0, if mn

6、 or b0=0.if is an eigenvalue (特征根) of multiplicity 1, in other words, the characteristic roots of system are all distinct（n個(gè)兩兩互異的特征根）, the state space description (1.79) and (1.80) can be reduced to a diagonal canonical form：(1.81)(1.82)結(jié)論2（對(duì)角線規(guī)范型）根據(jù)表1.1，將要求系統(tǒng)換化為其等價(jià)系統(tǒng)將每一個(gè)積分器的輸出選為系統(tǒng)的狀態(tài)變量根據(jù)等價(jià)系統(tǒng)中狀態(tài)變量 與

7、其微分 的關(guān)系寫出微分方程組，并進(jìn)而整理成為狀態(tài)方程的形式根據(jù)等價(jià)系統(tǒng)列寫輸出方程最后得到狀態(tài)空間描述：由方框圖得出狀態(tài)空間描述Where A=,B=,C=,D=,X=x1,xnTThe polynomial about is called the characteristic polynomial（特征多項(xiàng)式）(1.101)is called the characteristic equation（特征方程）If the polynomial can be written in factored form as(1.102)The roots of the characteristic eq

8、uation are called the eigenvalues （特征值/特征根）of A1.5 DefinitionsConsider the LTI system described by the state equation為A的特征矩陣（characteristic matrix）當(dāng)A有重根時(shí)，廣義特征向量(generalized eigenvectors)的計(jì)算(1.105)Any nonzero vectorwhich satisfies the matrix equation(1.104)is called the eigenvector (特征向量) of A associ

9、ated with eigenvalues . If A has distinct eigenvalues, the eigenvalues can besolved by (1.104) .特征向量主要應(yīng)用于由狀態(tài)變換求對(duì)角線規(guī)范型或約當(dāng)規(guī)范型is the characteristic root of multiplicity m If a system described by (1.117) and A has distinct eigenvalues , there is a nonsingular transformationwhich transforms the general

10、state description (1.117) into the diagonal canonical form (1.120)(1.120)Whereis a diagonal matrix(1.117) 由狀態(tài)變換得對(duì)角線規(guī)范型 1.5.4-轉(zhuǎn)化為對(duì)角線規(guī)范型1、通過狀態(tài)變換 ，將一般狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)化為對(duì)角線規(guī)范形。前提：系統(tǒng)矩陣A的n個(gè)特征根兩兩互異。Step：1）由特征方程 求出n個(gè)互異特征根2）根據(jù)方程 求出特征根對(duì)應(yīng)的特征向量 3）得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 和4）代入狀態(tài)變換后狀態(tài)空間描述 ，得到對(duì)角線規(guī)范形： 利用范德蒙矩陣轉(zhuǎn)化為對(duì)角線規(guī)范型2、通過狀態(tài)變換 ，將一般狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)化

11、為對(duì)角線規(guī)范型。前提：系統(tǒng)矩陣A的n個(gè)特征根兩兩互異且A為友矩陣。Step：1）由特征方程 求出n個(gè)互異特征根2）根據(jù)Vandermonde矩陣寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P 4）代入狀態(tài)變換后狀態(tài)空間描述 ，得到對(duì)角線規(guī)范形： 和1.5.5-轉(zhuǎn)化為約當(dāng)規(guī)范形1、通過狀態(tài)變換 ，將一般狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)化為對(duì)角線規(guī)范形。前提：系統(tǒng)矩陣A有m重特征根 ，n-m個(gè)互異的特征根Step：1）由特征方程 求出n個(gè)特征根2）如果 ，根據(jù)方程 求出 對(duì)應(yīng)的m個(gè)線性無關(guān)的特征向量 ；再根據(jù) 求出n-m個(gè)互異特征根對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量 3）得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 和4）代入狀態(tài)變換后狀態(tài)空間描述 ，得到約當(dāng)規(guī)范型 (1.124

12、-1.125)轉(zhuǎn)化為約當(dāng)規(guī)范型2、通過狀態(tài)變換 ，將一般狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)化為約當(dāng)規(guī)范形。前提：系統(tǒng)矩陣A有m重特征根 ，n-m個(gè)互異的特征根Step：1）由特征方程 求出n個(gè)特征根2）如果 , 根據(jù)方程 求出 對(duì)應(yīng)的1個(gè)線性無關(guān)的特征向量 ；再根據(jù)（1.105）求出m-1個(gè)廣義特征向量 ；然后根據(jù) 求出n-m個(gè)互異特征根 對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量 3）得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 和4）代入狀態(tài)變換后狀態(tài)空間描述 ，得到約當(dāng)規(guī)范型 (1.124，1.126)第2章：線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)1、定義法2、拉普拉斯變換法（預(yù)解矩陣法）3、相似變換法（對(duì)角、約當(dāng)）4、凱萊-哈密爾頓法會(huì)求其導(dǎo)數(shù)方法2 拉普拉斯變換法

13、（Laplace transform method）/預(yù)解矩陣法Consider the homogeneous state equation矩陣指數(shù)函數(shù)（matrix exponential function）的計(jì)算 方法3 相似變換法(similarity transformation method) /特征值法：(2.29)Case 1:更一般的形式見P46方法4 Cayley-Hamilton Theorem Method（凱萊-哈密頓定理法） Case 1 Matrix A has n distinct eigenvaluesCase 2 Matrix A has n multipl

14、icity eigenvalue輸出響應(yīng)：y(t)=Cx(t)+Du(t)即：LTI系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)（解）零輸入響應(yīng)（解）零狀態(tài)響應(yīng)（解）1、Sylverster criterion（Th 3.1-3.5）V(x)和P正定、負(fù)定2、李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的基本概念、定理 李亞普諾夫第一方法（間接法，Th3.6） 李亞普諾夫第二方法（充分條件：Th3.7-3.10； 充要條件： LTI的應(yīng)用（Th3.11） Lyapunov equation ， P Lyapunov function 第3章：控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、Sylvester criterion（賽爾維斯特準(zhǔn)則）Theorem 3.6 對(duì)于非

15、線性系統(tǒng)（3.15）如果線性化微分方程 (3.26)，即雅可比矩陣J的特征根都具有負(fù)實(shí)部，那么平衡點(diǎn) 在它的一個(gè)小范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的 。2. 如果線性化微分方程 (3.26)，即雅可比矩陣J的特征根至少有一個(gè)有正實(shí)部，那么平衡點(diǎn) 在它的一個(gè)小范圍內(nèi)是不穩(wěn)定的 。3. 如果線性化微分方程 (3.26)，即雅可比矩陣J的一些特征根中有零實(shí)部，而其他的特征根具有負(fù)實(shí)部，那么平衡點(diǎn) 取決于高階泰勒展式g(x)，此時(shí)， 在其小范圍內(nèi)可能是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的或漸近穩(wěn)定的。 Lyapunov First Method （李亞普諾夫第一方法）先求平衡點(diǎn)，寫出Jacobi矩陣J，得到該平衡點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)

16、（系統(tǒng)矩陣：將平衡點(diǎn)代入Jacobi矩陣），最后根據(jù)定理3.6，也就是線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣J，看它的特征根的實(shí)部的情況。Lyapunov 2nd method在LTI中的應(yīng)用：充要條件能控性判據(jù)能觀性判據(jù)PBH 秩判據(jù)秩判據(jù)格拉姆判據(jù)第4章：線性系統(tǒng)的能控性和能觀性對(duì)角線規(guī)范形秩判據(jù)能控性判據(jù)能觀性判據(jù)沒有零列向量沒有零行向量約當(dāng)規(guī)范形秩判據(jù)末行組成的矩陣是行線性無關(guān)的首列組成的矩陣是列線性無關(guān)的非奇異狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)的能控性與能觀性SISO LTI 系統(tǒng)的能控規(guī)范型(Th 4.12）SISO LTI 系統(tǒng)的能觀測(cè)規(guī)范型(Th 4.13） 對(duì)偶性：對(duì)偶系統(tǒng)、對(duì)偶性原理Th 4.14Th 4.

17、15 輸入-輸出描述只能描述完全能控完全能觀的子系統(tǒng)Realization of SISO System Minimal Realization（最小實(shí)現(xiàn)） 一般的求取傳遞函數(shù)陣G(s)的最小實(shí)現(xiàn)的步驟是：對(duì)于給定的傳遞函數(shù)陣G(s)1）判斷G(s)的嚴(yán)真性，嚴(yán)真則進(jìn)行下一步；為真，將原G(s)分解成嚴(yán)真?zhèn)骱仃?，對(duì) 進(jìn)行下一步2）先初選出一種實(shí)現(xiàn)，最方便的方法是選取能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)或者能觀規(guī)范形實(shí)現(xiàn)；3）對(duì)于上面初選的實(shí)現(xiàn)，判斷其能控或能觀性，若完全能控或能觀，則這個(gè)完全能控能觀的規(guī)范形實(shí)現(xiàn)即是G(s)的最小實(shí)現(xiàn)；若初選的實(shí)現(xiàn)是不完全能控或能觀的，那么對(duì)其進(jìn)行能控或能觀規(guī)范分解，找出其完全能

18、控且完全能觀的部分，于是這個(gè)完全能控能觀的部分就是給定的傳遞函數(shù)陣G(s)的最小實(shí)現(xiàn)。第5章：LTI系統(tǒng)的時(shí)間域綜合狀態(tài)反饋控制的特性（不改變能控性，可能改變能觀性; 改變極點(diǎn),但不改變零點(diǎn)） 單輸入-單輸出 LTI系統(tǒng)極點(diǎn)配置：可配置的條件與算法全維狀態(tài)觀測(cè)器：形式（狀態(tài)空間描述）、可配置條件、算法包含觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特性： 狀態(tài)空間描述 特性（維數(shù)、特征根集合、分離性原理、傳遞函數(shù)矩 陣、能控性等）引入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述：transfer function of the closed-loop system:open-loop system:State Feedback Control 極點(diǎn)配置定理可配置的條件Th5.2：線性LTI閉環(huán)系統(tǒng)可通過狀態(tài)反饋任意配置其全部極點(diǎn)的充分必要條件是：原開環(huán)系統(tǒng)為完全能控的。 極點(diǎn)配置算法(一)第 1 步 ：計(jì)算 的特征多項(xiàng)式，即第 2 步 ：計(jì)算由 所決定的期望特征多項(xiàng)式第 0 步 ：判斷系統(tǒng)能控性，若能控則進(jìn)入下一步；若不能控，則終止第 3 步 ：計(jì)算第 4 步 ：按(4.43)，構(gòu)造變換矩陣第 5 步 ：求第 6 步 ：求狀態(tài)反饋增益矩陣第 7 步 ：下結(jié)論 極點(diǎn)配置算法(二)第 0 步 ：判斷系統(tǒng)能控性，若能控則進(jìn)入下一步；若不能控，則終止第 1 步 ：令 ,并計(jì)算(A-bK) 的特征多項(xiàng)式，