國(guó)外小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題

1、國(guó)外小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)代 欽 哲學(xué)博士教授 博士生導(dǎo)師內(nèi)蒙古師范大學(xué) 問(wèn)題解決指的是從一件事，但完成該任務(wù)的方法事先并不清楚。為了找到解答方法，學(xué)生必學(xué)利用他們的知識(shí)。在此過(guò)程中，通常他們會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)有新的理解。問(wèn)題解決不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)目標(biāo)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種主要方式。 通過(guò)學(xué)習(xí)如何解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)思考方法、養(yǎng)成堅(jiān)持不懈和好奇的習(xí)慣，使他們有信心面對(duì)在數(shù)學(xué)課堂外遇到的不熟悉的情境。成為好的問(wèn)題解決者，無(wú)論在日常生活還是工作場(chǎng)合都大有益處。1.問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。 哈爾莫斯(Halmos)2.我渴望力量，上帝卻給困難，讓我強(qiáng)壯。我渴望智慧，上帝卻給問(wèn)題，讓我解決。我渴望財(cái)富，上帝卻給了

2、體力和頭腦，讓我工作。我渴望勇氣，上帝卻給了危險(xiǎn)，讓我克服。我渴望忍耐，上帝卻改變環(huán)境，讓我被迫等待。我渴望愛(ài)，上帝卻給了一個(gè)碰到麻煩的人，讓我去幫助。我沒(méi)有得到任何想要的東西，但是我卻得到了一切需要的東西。 我想要什么（環(huán)球時(shí)報(bào)2009.08.06）3.數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操。4.數(shù)學(xué)能夠鍛煉人的心智。 約翰洛克（John Locke）5.一言以蔽之，曰（數(shù)學(xué)）有鍛煉腦髓之效，宛如筋骨運(yùn)動(dòng)之于體育也。第一，與以階梯預(yù)備之?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)。第二，養(yǎng)成數(shù)學(xué)思想即精神的鍛煉。以第一目的，則數(shù)學(xué)知識(shí)，當(dāng)深浸潤(rùn)學(xué)者之腦髓。其重要之部分，維經(jīng)年月，尚存在其人之記憶，為必要也。以第二為目的之時(shí)，則反之。學(xué)者將來(lái)忘數(shù)

3、學(xué)可也，其人尚不失為有數(shù)學(xué)思想之人。此宛如修體操科者后年雖忘體操術(shù)，尚強(qiáng)健。 藤澤利喜太郎6.不是所有的問(wèn)題都必須找到答案。對(duì)于那些最重要是問(wèn)題而言，提出來(lái)就已經(jīng)意義重大。要了解一個(gè)人，與其看他給出的答案，不如看他提出的問(wèn)題。能夠用是或否來(lái)回答的問(wèn)題一般都沒(méi)什么意思。簡(jiǎn)單的問(wèn)題常常需要復(fù)雜的解釋。害怕提問(wèn)的人必然也羞于學(xué)習(xí)。知道如何提問(wèn)比了解答案更為重要。 問(wèn)題與答案（環(huán)球時(shí)報(bào)2009.08.13）二、國(guó)外數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)研究的歷史1蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”與數(shù)學(xué)問(wèn)題解決問(wèn)題解決教學(xué)方法源于問(wèn)題教學(xué)法。早在兩千多年前，古希臘大哲學(xué)家、教育家蘇格拉底成功地運(yùn)用提問(wèn)技巧引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，后來(lái)還有很多教育家

4、研究了問(wèn)題解決教學(xué)。蘇格拉底所創(chuàng)造的問(wèn)題教學(xué)法亦稱“產(chǎn)婆術(shù)”教學(xué)法，其教學(xué)步驟是：教師首先向?qū)W生提出問(wèn)題，讓學(xué)生回答，即使學(xué)生回答錯(cuò)了，也不立即糾正，而是根據(jù)不正確的答案，補(bǔ)充新問(wèn)題，使學(xué)生的回答前后矛盾，出現(xiàn)謬誤。然后逐步引申、歸納，幫助學(xué)生糾正，放棄原來(lái)的錯(cuò)誤見(jiàn)解，提出教師認(rèn)為是正確的結(jié)論。他的問(wèn)題教學(xué)法的優(yōu)點(diǎn)在于能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。但這種問(wèn)題教學(xué)法無(wú)論形式，還是本質(zhì)，都無(wú)法與當(dāng)代的問(wèn)題教學(xué)法等量齊觀。蘇格拉底產(chǎn)婆術(shù)的原型蘇格拉底產(chǎn)婆術(shù)，古希臘哲學(xué)家蘇格拉底用于引導(dǎo)學(xué)生自己思索，自己得出結(jié)論的方法。蘇格拉底的母親是助產(chǎn)婆，他以助產(chǎn)術(shù)來(lái)形象比喻自己的教學(xué)方法。這種方法

5、分四部分：譏諷、助產(chǎn)術(shù)、歸納和下定義。 所謂“譏諷”，即在談話中讓對(duì)方談出自己對(duì)某一問(wèn)題的看法，然后揭露對(duì)方談話中的自相矛盾之處，使對(duì)方承認(rèn)自己對(duì)這一問(wèn)題實(shí)際一無(wú)所知。 所謂“助產(chǎn)術(shù)”，即用談話法幫助對(duì)方回憶知識(shí)，就像助產(chǎn)婆幫助產(chǎn)婦產(chǎn)出嬰兒一樣。 “歸納”是通過(guò)問(wèn)答使對(duì)方的認(rèn)識(shí)能逐步排除事物個(gè)別的特殊的東西，揭示事物本質(zhì)的普遍的東西，從而得出事物的“定義”。這是一個(gè)從現(xiàn)象、個(gè)別到普通、一般的過(guò)程。 所謂“定義”就是揭示概念的本質(zhì)屬性。 在柏拉圖的美諾篇中講到把一個(gè)正方形面積加倍的著名段落里，蘇格拉底把這個(gè)必然性揭示得淋漓盡致?！斑@里有一個(gè)正方形，”一個(gè)朋友對(duì)他說(shuō)，“我要畫出一個(gè)面積是它兩倍的正

6、方形。我畫不出來(lái)，因?yàn)椋绻姨砩弦粋€(gè)同樣大小的正方形，面積是變成兩倍了，但我得到的是個(gè)長(zhǎng)方形，而不是正方形；如果我把邊長(zhǎng)拉長(zhǎng)到原來(lái)的兩倍，我得到的是個(gè)正方形，但面積卻是原來(lái)的四倍，而不是兩倍。怎么辦？” 蘇格拉底并沒(méi)有力圖告訴他答案，而是讓一個(gè)陪著這位朋友的奴隸發(fā)現(xiàn)了答案。 蘇格拉底從邊長(zhǎng)加倍后得到的圖形出發(fā)，讓奴隸在每個(gè)正方形上劃一條對(duì)角線。他指出每個(gè)步驟，一步步地讓奴 隸發(fā)現(xiàn)了由四條對(duì)角線作 為四邊的圖形是個(gè)正方形， 其面積正是原來(lái)那個(gè)正方 形的兩倍（因?yàn)樗怯伤?個(gè)半正方形組成的）。用 不著復(fù)雜的表述，蘇格拉 底便在我們眼前展現(xiàn)出一 條直線，就是對(duì)角線，其 長(zhǎng)度相當(dāng)于數(shù)字 。 我們要記

7、住，蘇格拉底并沒(méi)有力圖對(duì)一個(gè)特別聰明的人表達(dá)自己的想法，就是到今天，他也不會(huì)在“高等學(xué)府”的階梯教室中作論證。他在對(duì)一個(gè)奴隸說(shuō)話，而奴隸是被認(rèn)為無(wú)知但明理的人。他把理解力與知識(shí)完全區(qū)分開(kāi)來(lái)了。摘自法阿爾貝雅卡爾:睡蓮的方程式科學(xué)的樂(lè)趣,廣西師范大學(xué)出版社,2001年，第56頁(yè)。知識(shí)不等于智慧。一個(gè)真正的哲學(xué)家把思想能夠給清潔工講清楚，同樣一個(gè)好的教師也應(yīng)該把知識(shí)和思想用適當(dāng)?shù)姆椒▊鬟f給學(xué)生。2.杜威關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)的論述 約翰杜威指出： “思維就是問(wèn)題解決”；“通過(guò)問(wèn)題解決進(jìn)行學(xué)習(xí)”；“做中學(xué)” “教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)出發(fā)，使學(xué)生在游戲和工作中，采用與兒童和青年在校外從事的活動(dòng)類似的活

8、動(dòng)形式?！彼J(rèn)為問(wèn)題解決的過(guò)程可以分五步： 第一，學(xué)生要有一個(gè)真實(shí)的經(jīng)驗(yàn)的情境要有一個(gè)對(duì)活動(dòng)本身感興趣的連續(xù)的活動(dòng)； 第二，在這個(gè)情境內(nèi)部產(chǎn)生一個(gè)真實(shí)的問(wèn)題，作為思維的刺激物； 第三，學(xué)生要占有知識(shí)資料，從事必要的觀察，對(duì)付這個(gè)問(wèn)題； 第四，學(xué)生必須負(fù)責(zé)有條不紊地展開(kāi)他所想出的解決問(wèn)題的方法； 第五，學(xué)生要有機(jī)會(huì)和需要通過(guò)應(yīng)用來(lái)檢驗(yàn)他的觀念，使這些觀念意義明確，并且讓他自己發(fā)現(xiàn)它們是否有效。杜威關(guān)于問(wèn)題解決學(xué)習(xí)過(guò)程及其對(duì)反思的觀點(diǎn) （1）（問(wèn)題的提出）：困惑、迷亂、懷疑。因?yàn)槲覀兲幵谝粋€(gè)不完全的情境中，這種情境的全部性質(zhì)尚未決定。即感覺(jué)到問(wèn)題的困難性。（2）（分析問(wèn)題）推測(cè)預(yù)料對(duì)已知的要素進(jìn)行

9、試驗(yàn)性的解釋，認(rèn)為這些要素會(huì)產(chǎn)生某種結(jié)果。即，檢討問(wèn)題，確認(rèn)問(wèn)題。確認(rèn)在何處有什么障礙。（3）（提出假設(shè)）審慎調(diào)查（考察、審查、探究、分析）一切可以考慮到的事情，解釋和闡明手頭的問(wèn)題。即，設(shè)定一些可行性的解決問(wèn)題的策略。）（4）（演繹階段）詳細(xì)闡發(fā)試驗(yàn)性的假設(shè)，使假設(shè)更加精確，更加一致，因?yàn)榕c范圍較廣的事實(shí)相符。即，根據(jù)推理推敲假設(shè)和檢驗(yàn)假設(shè)，邏輯地組織問(wèn)題的解。（5）（假設(shè)的證明）把所規(guī)劃的假設(shè)作為行動(dòng)的計(jì)劃，應(yīng)用當(dāng)前的事態(tài)中去：進(jìn)行一些外部的行動(dòng)，造成預(yù)期的結(jié)果，從而檢驗(yàn)假設(shè)。即，驗(yàn)證問(wèn)題結(jié)果的正確性，并用它觀察新的題材。3.數(shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的觀點(diǎn)（1）希爾伯特關(guān)于問(wèn)題解決教學(xué)的觀點(diǎn)

10、 德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特指出：“只有一門科學(xué)分支能提出大量問(wèn)題的時(shí)候，它才充滿著生命力；而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡和終止。正如人類的每項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題。”之后，數(shù)學(xué)問(wèn)題明顯成為激勵(lì)數(shù)學(xué)家推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的一種原動(dòng)力。希爾伯特的上述觀點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)教育也具有重要的啟發(fā)作用，如果在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程缺乏數(shù)學(xué)問(wèn)題，那么這樣的教學(xué)可能失去很多激勵(lì)作用。（2）B.雅克阿達(dá)瑪關(guān)于問(wèn)題解決的觀點(diǎn)1945年，法國(guó)數(shù)學(xué)家雅克阿達(dá)瑪在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué) 中說(shuō)： “數(shù)學(xué)家們從事數(shù)學(xué)研究工作，固然已屬發(fā)明的范疇，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在解決一個(gè)幾何的或代數(shù)的問(wèn)題時(shí)，實(shí)際上也與數(shù)學(xué)家們的發(fā)明具有同樣

11、的性質(zhì)。只是兩者在程度深淺和水平高低上有著差距而已。” 小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)取得好成績(jī)或能夠解決問(wèn)題的歡樂(lè)與數(shù)學(xué)家和大學(xué)生具有同樣的性質(zhì)。阿達(dá)瑪把數(shù)學(xué)發(fā)明的整體過(guò)程分為四個(gè)階段：準(zhǔn)備階段，此時(shí)是有意識(shí)的工作，但常常不能得到預(yù)期的結(jié)果；醞釀階段，即暫時(shí)丟開(kāi)手頭的工作，而去干其它事情，或去休息一下，而無(wú)意識(shí)思維卻已由此而開(kāi)動(dòng)起來(lái)；頓悟階段，此時(shí)問(wèn)題的答案或證明的途徑已經(jīng)出乎意料地突然出現(xiàn)了；整理階段，即將頓悟時(shí)所感覺(jué)到的那些結(jié)果嚴(yán)格地加以證明，并將其過(guò)程精確化，同時(shí)又可為下一步研究做好必要的準(zhǔn)備。（3）波利亞關(guān)于問(wèn)題解決的研究美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家波利亞(GPolya)是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)研究的先驅(qū)，他對(duì)數(shù)

12、學(xué)探索法的研究，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)的研究和發(fā)展奠定了必要的理論基礎(chǔ)。他的思想主要體現(xiàn)在三部著作怎樣解題、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)與猜想中。波利亞的“怎樣解題表”1944年8月，波利亞出版的怎樣解題是世界數(shù)學(xué)教育名著，該書的開(kāi)端就提出了“怎樣解題表”?！霸鯓咏忸}表”對(duì)數(shù)學(xué)解題的教學(xué)和學(xué)習(xí)具有重要指導(dǎo)作用。波利亞的“怎樣解題表”將解題過(guò)程分成了四個(gè)步驟。第一，你必須弄清問(wèn)題。弄清問(wèn)題。未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者它是多余的？或者是矛盾的？畫張圖。引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。把條件的各個(gè)部分分開(kāi)。你能否把它們寫下來(lái)？第二，找出已知數(shù)與未

13、知數(shù)之間的關(guān)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。擬訂計(jì)劃。1.你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？2.看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。3.這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題。你能不能利用它？4.你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？5.你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。6.如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的

14、有關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？7.你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念？第三，實(shí)行你的計(jì)劃。實(shí)現(xiàn)計(jì)劃。實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？第四，驗(yàn)算所得到的解?；仡?。你能否檢驗(yàn)這個(gè)論

15、證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能一下子看出它來(lái)？你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題？這一步驟是否是正確的？三、發(fā)達(dá)國(guó)家數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)的實(shí)施1980年全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)(NCTM)公布的指導(dǎo)性文件關(guān)于行動(dòng)的議程對(duì)80年代學(xué)校數(shù)學(xué)的建議中明確指出：“20世紀(jì)80年代的數(shù)學(xué)大綱，應(yīng)當(dāng)在各年級(jí)介紹數(shù)學(xué)的應(yīng)用，把學(xué)生引進(jìn)問(wèn)題解決中去。”“數(shù)學(xué)課堂應(yīng)當(dāng)圍繞問(wèn)題解決來(lái)組織。”“數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造一種使問(wèn)題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境?！弊源?，問(wèn)題解決便受到世界各地?cái)?shù)學(xué)教育研究者的重視。1989年，美國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)教育委員會(huì)（MSEB）的一份報(bào)告人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來(lái)中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從無(wú)數(shù)的常規(guī)練

16、習(xí)轉(zhuǎn)變到發(fā)展有廣闊基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力必須要求辨明關(guān)系、邏輯推理，并能運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法去解決廣泛的、多種多樣的非常規(guī)問(wèn)題。”2000年的美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則與標(biāo)準(zhǔn)（NCTM）中提出的問(wèn)題解決教學(xué)目標(biāo)：1.通過(guò)解決問(wèn)題掌握新的數(shù)學(xué)知識(shí)；2.解決在數(shù)學(xué)及其他情境中出現(xiàn)的問(wèn)題；3.采用各種恰當(dāng)?shù)牟呗越鉀Q問(wèn)題；4.檢驗(yàn)和反思數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程。四、國(guó)外小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中問(wèn)題解決教學(xué)案例分析1.幾何教學(xué)中的問(wèn)題解決例1：（“超出多少就縮進(jìn)多少”的原理）問(wèn)題：請(qǐng)計(jì)算下圖中的有影部分的面積?？赡艹霈F(xiàn)的解決問(wèn)題的想法有從整體圖形面積中減掉一個(gè)圓的面積后余下部分就是所求面積。 從以上思考結(jié)果中進(jìn)一步想出

17、以下方法（拆分法），將減掉的圓看做兩個(gè)半圓，則得出以下結(jié)果。因此所求的面積為103=30（cm2）由于原來(lái)的形狀很難判斷，因此我們?cè)趫A上加了一個(gè)長(zhǎng)方形，把它變成以下圖形（圖1）。如果圖1的圖形左右各延長(zhǎng)3cm，右側(cè)會(huì)出現(xiàn)我們要計(jì)算的圖形，而左側(cè)就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)長(zhǎng)方形。我們可以這樣考慮，即右側(cè)伸出多少面積，左側(cè)就會(huì)內(nèi)縮多少的面積。（向右延長(zhǎng)3CM也可以，這樣從左邊減掉陰影矩形面積，就等于原來(lái)圖形面積。）因此，所求的面積是103=30（cm2）例2：假設(shè)蘋果50元1個(gè)，橘子20元1個(gè)，兩種水果總共買了12個(gè)，花了450元。請(qǐng)問(wèn)蘋果和橘子各買了多少！分析1：如果買的12個(gè)都是蘋果，總價(jià)就是600元，但這種買法超出150元。所以把超出的部分用蘋果和橘子的差額30元抵去。15030=5，即把5個(gè)蘋果換成橘子就可以了。答案就是買了7個(gè)蘋果和5個(gè)橘子。示意圖如下：如果買的12個(gè)都是橘子，總價(jià)就是240元，但這種買法少了210元。所以把減少的的部分用蘋果和橘子的差額30元補(bǔ)上。21030=7，即把7個(gè)橘子換成蘋果就可以了。答案就是買了7個(gè)蘋果和5個(gè)橘子。蘋果橘子總金額1206000122406642075450例3 中國(guó)古代雞兔同籠問(wèn)題的解決方法：設(shè)現(xiàn)在有若干只雞和兔