高三一輪數(shù)學(xué)（文）總復(fù)習(xí)-§4.3　3恒等變換【系列三】

1、第四章 三角函數(shù)高考文數(shù)4.3三角恒等變換知識清單考點(diǎn)兩角和與差的三角公式和二倍角公式tan +tan =tan(+)(1-tan tan );tan -tan =tan(-)(1+tan tan ).(2)升冪公式1+cos =2cos2;1-cos =2sin2.(3)降冪公式sin2=;cos2=.(4)其他常用變形sin 2=;cos 2=;拓展延伸1.公式的變形與應(yīng)用(1)兩角和與差的正切公式的變形1sin =;tan=.2.輔助角公式asin +bcos =sin(+),其中cos =,sin =. 三角函數(shù)式的化簡方法1.化簡原則(1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過看角之間的

2、差別與聯(lián)系,把角合理地拆分,從而正確運(yùn)用公式;(2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定要使用的公式;(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升冪”等.2.化簡要求(1)使三角函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)名稱的種類最少;(2)盡量使分母不含三角函數(shù);(3)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)等.方法技巧方法13.化簡方法(1)直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng);(2)切化弦、異角化同角、異次化同次、異名化同名;(3)三角公式的逆用等.例1(1)(2014課標(biāo),8,5分)設(shè),且tan =,則(C)A.3-=B.3+=C.2-=

3、D.2+=(2)化簡:(0)=.解題導(dǎo)引(1)由切化弦及兩角差的正弦得cos =sin(-)利用誘導(dǎo)公式得sin = sin(-)利用、的取值范圍得-=-結(jié)論(2)利用倍角公式化成同角三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)關(guān)系及的范圍得結(jié)果 解析(1)由tan =,得=,即sin cos =cos +sin cos ,所以sin(-)=cos ,又cos =sin,所以sin(-)=sin,又因?yàn)?所以-,0-,因此-=-,所以2-=,故選C.(2)原式=cos=.因?yàn)?,所以00,所以原式=-cos .答案 (2)-cos 三角函數(shù)式的求值方法1.“給角求值”:一般所給出的角都是非特殊角,從表面上看是很難

4、的,但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系,解題時(shí),要利用這種關(guān)系,結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)并且消掉非特殊角的三角函數(shù)而得解.2.“給值求值”:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)式的值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使角相同或具有某種關(guān)系.3.“給值求角”:實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一三角函數(shù)值,再求角的范圍,確定角.例2(1)(2017湖北百所重點(diǎn)學(xué)校高三聯(lián)考,10)4sin 80-等于(B)A.B.-C.D.2-3方法2(2)(2017課標(biāo)全國,15,5分)已知,tan =2,則cos=.解題導(dǎo)引(1)對原式進(jìn)行通分利用誘導(dǎo)公式及拆角公式進(jìn)行化簡結(jié)論(2)由tan =2得s

5、in =2cos 結(jié)合sin2+cos2=1及的取值范圍得sin 與cos 的值代入兩角差的余弦公式得結(jié)果解析(1)4sin 80-=-.故選B.(2)因?yàn)?且tan =2,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,所以sin =,cos =,則cos=cos cos +sin sin =+=.答案 (2) 利用輔助角公式解決問題的方法利用asin x+bcos x=sin(x+)把形如y=asin x+bcos x+k的函數(shù)化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)的一次式,從而可以求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、周期、值域和最值、圖象的對稱軸以及對稱中心等問題.同時(shí)要牢記30,45,60等特殊角的三角函數(shù)值

6、,能合理選用公式.例3(2017山西臨汾二模,11)已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin xcos x,當(dāng)x=時(shí),函數(shù)y=f(x)取得最小值,則=(C)A.-3B.3C.-D. 方法3解題導(dǎo)引利用降冪公式及輔助角公式將f(x)化成同名同角三角函數(shù)利用三角函數(shù)的有界性求得f(x)取最小值時(shí)2的值代入2的值求得代數(shù)式結(jié)果解析f(x)=sin2x+sin xcos x=sin 2x-cos 2x+=sin+,當(dāng)x=時(shí),函數(shù)y=f(x)取得最小值,即2-=-+2k,kZ,那么2=2k-,kZ,則=-.故選C.例4(2015天津,15,13分)已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=-=-cos 2x=s