1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題(1)-B提高練(解析版)

1、1-4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題(1)B提高練一、選擇題1. (2020安徽安慶高二期中)若點(diǎn),4 (2, 3, 2)關(guān)于xoz平面的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)、B ( - 2, 1, 4)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)河為線段,4b的中點(diǎn)，則幽國(guó)=()A. V30B. 376C. 5D. V21【答案】c【解析】丁點(diǎn)d(2, 3, 2)關(guān)于xoz平面的對(duì)稱點(diǎn)為H,W (2, -3, 2),點(diǎn)B(2, 1, 4)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為，夕(2, 1, -4),.點(diǎn) M為線段乂5的中點(diǎn)，：.M (2, -1, - 1), /.M.4 =-7(2-2 ) 2+(-1-3 ) 2+(-1-2) 25-.(2020四川廣安高二校

2、級(jí)月考)已知直線/的方向向量為Z= (-1, 0, 1),點(diǎn)乂(1, 2, - 1)在/上，則點(diǎn)尸(2, -1,2)到/的距離為()A. a/15B. 4C. a/17D.八歷【答案】C【解析】根據(jù)題意，得威=(-1, 3, -3), Z=(-1，0, 1),Acos=1+0-葭= 區(qū),PA= H： V2XV19 V19V19乂了!尸匠，點(diǎn)尸(2, - 1, 2)到直線/的距離為另&sm-V19xIL-17.【答案】B.如圖，已知正方形,488的邊長(zhǎng)為4方方分別是.胡/D的中點(diǎn),GUL平面J5CD且GC=2,則點(diǎn)8到平面EFGD.1【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)5所在直線為X軸15所在直線為y軸,公所

3、在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系, 則 F(420)及240)。(0,0,2)衛(wèi)(0,4,0),二戰(zhàn)=(2,0,0)轉(zhuǎn)=(-2,2,0)屆=(-2,-4,21則更=。,m EG = 0、設(shè)平面EFG的法向量為m=(xjc), 即I：； 2z= 0 令 x=L則產(chǎn)l，z=3,則 m=(l,l,3). TOC o 1-5 h z :點(diǎn)B到平面EFG的距離小空巴=答. m11（2020山東荷澤三中高二期末）在棱長(zhǎng)為。的正方體HBCDT山C必中，河是，力的中點(diǎn)，則點(diǎn)X到平面的距離是（）A. -aB.C.D. -a3646【答案】D【解析】以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-4 1（。，0, 0）

4、, B （內(nèi)a, 0）, D （0, 0, 0）,M（a, 0,且），則而=（，。，0）. DM= （a，0, 22而5。四的法向量為1=（0i z），n DB=ax+ay=0則%npDM=ax+yz=0.乙取x=l，得W=(1, -1. -2), VBA-(0, 4, 0),U到平面MBD的距離d=|BAn | |a |a.故選：D.(工動(dòng)點(diǎn)M在線段CG上，動(dòng)點(diǎn)夕在平面5.（2020湖南高二（理）正方體A8CD - A5CQ的棱長(zhǎng)為1,A四GA上，且AP_L平而.線段Ap長(zhǎng)度的取值范圍為（）【答案】DB. 1,#【解析】以0AoCOR分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,O,O),3

5、(11,O),M(U/)，2(O,O,1).P(x,y,l) A戶= (xl,y,l).3； = (1,1,0), 1旬0/由 AP_L 平而 M8A，則麗而=o BDt - AP = 0所以1一%+，= 0且1一工一 + 1 = 0得l=1+1, y = 1-t.所以 | 而| = J(X-if+ /+1 =+|V 乙) N當(dāng)V時(shí)WL手當(dāng)或時(shí)而=艮所以更4而上max2 I |6.(多選題)(2020江蘇省如皋中學(xué)高二月考)正方體A3CD 4瓦G的棱長(zhǎng)為1, E,G分別為BC,CG，88的中點(diǎn).則()A.直線。與直線4E垂直B.直線AG與平面從跖平行9C.平面A環(huán)截正方體所得的截面面積為了 D

6、.點(diǎn)。和點(diǎn)G到平而A的距離相等 8【答案】BC、F G 13)-從而【解析】對(duì)選項(xiàng)A：(方法一)以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA. DC、所在的工匚劃為工、八z軸，建 立空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0)、A(l,0,0)、4(1,04)、EDD；= (0,0,1), AF=從而O)；a7 =WO,所以O(shè)0叮直線A尸不垂直一注項(xiàng)A鋁: 2（方法二）取DD的中點(diǎn)N ,連接AN,則AN為宜線AF在平面ADD.A.內(nèi)的射影，AN。不垂宜, 從而4月與。2也不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；取8c的中點(diǎn)為M，連接AM、GM、則4MAE, GM / EF、易證平面4MG 平面AE/,從而AQ 平面AEF,選項(xiàng)B正確：對(duì)于選項(xiàng)C

7、,連接AR. RF,易知四邊形AEFR為平山AEF祓正:方體所得的九面四邊形（如圖所示且d、h = ah = 5 4。=&，所以與皿而時(shí)于選項(xiàng)D：（方法一）由于&Ga=S梯形8%_Sa8G =3 1 +不X-XTX-=7t lfij 乙）乙 乙 乙 乙 TS皿/ =不x7x7=三，皿匕.g* =tS亞卜七, 48，匕.w =-S”b AB,所以匕.g“=2VA即 Z Z Z oJJ%T=2匕-皿，點(diǎn)G到平面AEF的距離為點(diǎn)、C到平而AEF的距離的二倍.從而D錯(cuò)誤.（方法二）假設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面A稗的距離相等，即平面AE尸將CG平分，則平而AE尸必過(guò)CG的中 點(diǎn)，連接CG交石產(chǎn)于點(diǎn)于,易知。不是

8、CG的中點(diǎn)，故假設(shè)不成立，從而選項(xiàng)D 二、填空題. （ 2020四川南充二中高二期末）如圖，直三棱柱.4的側(cè)棱，口=并，在H3C中，NHC8=90、4c=8C=L則點(diǎn)&到平面4BC的距離為.【答案】- 2【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則 d(l,0,0)1(0,l,0),C(0,0,0)/1(1,0,何31(0,1,行)Ci(OOVJ),:布=(-Ll,75)a?=(-L0z5)aK=Gl，L0).設(shè)平面8C的法向量為n=（xjN）,則卜竺=*即卜+三岳=。，令2=1得產(chǎn)-氏=0,.：n=（U）.41c = 0、（-x-v13z = 0.二點(diǎn)Bi到平而AiBC的距離d=E互=襄n 2.

9、（2020福建莆田一中高二月考）如圖，正方體，BCZX43】GOi的棱長(zhǎng)為1,則平面與平面8】8】間的 距離為【答案】匡 3【解析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則 50,0,0)1(1,0,1,0)刀1(0,0,1), 4x8=(。,LD/iDm-lO-DSi =(-1,0,0).設(shè)平面,力8。的法向量為n=(xyz),則:需二:七二21).:點(diǎn)功到平面/曲的距離/宰=套=易證平而平面&CZ尢 :平面廿平面BCD1間的距離等于點(diǎn)Di到平面AiBD的距離, ：平而,力3。與平面8】8】間的距離為三.已知正方形的邊長(zhǎng)為1EL平而4CD且PD=1EF分別為坦BC的中點(diǎn),則點(diǎn)D到平而

10、PEF的【答案】察距離為，直線/C到平面尸石尸的距離1 17【解析】建立以。為坐標(biāo)原點(diǎn)五?，礪而?分別為X軸J軸M軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則尸(OOl)a(lOO), C(0,1,0),E(lo)產(chǎn)僧,1.0),所以版=(祗弓.0),港=方=(L：o),設(shè)平面PEF的法向量n=g，。則咆=0,即 jt PE = 0,令x=2,則產(chǎn)22=3,所以n=(2,2,3),所以點(diǎn)D到平而PEF的距離占等 =-= 甯.因此點(diǎn)D到平面PEF的距離為嚓.因?yàn)镋尸分別h AB SC的中點(diǎn)，所以EF/AC.又因?yàn)槠矫媸?耳七平而PEF,所以AC/平而PEF.因?yàn)榘?(03.0).所以點(diǎn)h到平面產(chǎn)所的

11、距離d=a=所以直線AC到平面PEF的距離為(2020湖南師大附中高二期中)己知三棱錐S-.SC,滿足S4, SB, SC兩兩垂直，且$4=S3=SC=2,Q是三棱錐S -ABC外接球上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)Q到平面ABC的距離的最大值為.【答案】華【解析】.三棱錐ST8C,滿足SL SB, SC兩兩垂直，且以=S5=SC=2,.如圖，SB, SC是棱長(zhǎng)為2的正方體MVP8-,1DCS上具有公共頂點(diǎn)S的三條棱，以3為原點(diǎn)，BM、BP、85分別為x軸，y軸，z軸，建立空間宜角坐標(biāo)系，則 3 (0, 0. 0), A (2, 0, 2), C (0, 2, 2), S (0, 0. 2), N (2, 2,

12、 0),BA= （2, 0, 2）, BC= （0, 2, 2）. BN-（2, 2, 0）,fn +9*7=flf設(shè)而方。的法向量n=6二），則二_，取L1.儲(chǔ)n（1, b -2）,、n , BO2y + 2z=0三棱錐S -ABC外接球就是棱長(zhǎng)為2的正方體MNPB - ADCS的外接球, O是三棱錐S -ABC外接球上一動(dòng)點(diǎn)，/.點(diǎn)。與N重合時(shí)，點(diǎn)Q到平而ABC的距離的最大值，二點(diǎn)。到平而，3C的距離的最大值為：d=三、解答題(2020銀川一中高二月考)如圖所示，在四棱錐P. 15C。中，惻面刈Q_L底面”CD側(cè)棱用=尸。=夜,底面ABCD為直角梯形，其中3CzlZU3LmaD=2J3=2

13、BC=2,問(wèn):線段AD上是否存在一點(diǎn)。，使得它到平而【解析】取乂。的中點(diǎn)。,在E1D中，：科=PDPOL。又側(cè)而RLDL平面M3CD平面RLDCI平面ABCD=AD9:尸OL平面H3CD建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得d(0,10)上(1,-1,0)。(100)Q(0、1,0)/(0,0,1), 則赤=(-L 0,1),而=(-L L0).假設(shè)存在點(diǎn)。，使它到平而尸8的距離為三.設(shè)。(0。，,0)(-10&1),則&=(-1仙0).設(shè)平面PCD的法向量為n=(xo皿二o),則卜上=in CD = 0,：f： 覺(jué);I 即取 xo= 1,vxo 十 y。 u,則平面PCD的一個(gè)法向量為n=(l,

14、l,l).:點(diǎn)。到平面PCD的距離公率=等=或三(舍去)Jrl|V。44，此時(shí)而=3,0）,而=（0，,0）,則照|=1,|函弓:存在點(diǎn)。滿足題意,此時(shí)含=I12. （2020四川廣元二中高二月考）已知RtAlSC如圖（1）, ZC= 90% D. E分別是工C,的中點(diǎn)，將AIDE沿。打折起到尸DE位置（即.4點(diǎn)到尸點(diǎn)位置）如圖（2）使乙叨。=60。.（7）求證：BCVPCx（II）若8c=28=4,求點(diǎn)。到平而尸BE的距離.【解析】（Z）證明：RtAWBC如圖（1）, ZC=90% D. E分別是MC,的中點(diǎn),將沿OE折起到尸DE位置（即4點(diǎn)到尸點(diǎn)位置）如圖（2）使/尸。=60。.：.DEDC. DEPD. DE/BC.：PDCDC=D,平面產(chǎn)CD,，8CLL平面 PCD,YPCu平面 PCD, ：.BCPC.(U)解：,:D. E 分別是 HC, 18 的中點(diǎn)，ZPDC=60S BC=2CD=4.：.CD=PD=PC=2,取CD中點(diǎn)。，班中點(diǎn)連結(jié)尸。，MO,貝IJQP, OD,兩兩