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1、 第四節(jié) 二次型定義4.1設(shè) 是一個(gè)n維向量, 是n階對(duì)稱矩陣, n元函數(shù) 稱為二次型, A稱為二次型的系數(shù)矩陣. 例1計(jì)算二次型 解: 例2寫出 形式的二次型. 解: 定義4.2只含平方項(xiàng) 沒有交叉項(xiàng)的二次型 稱為標(biāo)準(zhǔn)型即 對(duì)稱矩陣A , 存在正交矩陣P, 是A的特征值. 定理4.1A是n階對(duì)稱矩陣,則存在一個(gè)正交變換 將二次型 變換為 標(biāo)準(zhǔn)型 例3將二次型 變換為標(biāo)準(zhǔn)型. 解: 標(biāo)準(zhǔn)特征向量 標(biāo)準(zhǔn)特征向量 例3將二次型 變換為標(biāo)準(zhǔn)型. 解: 令 P可將A對(duì)角化, 作正交變換 得標(biāo)準(zhǔn)型是正交矩陣，幾何意義設(shè)A是二階可逆對(duì)稱矩陣， c是一個(gè)常數(shù)則 表示平面上的一條圓錐曲線，如：橢圓雙曲線當(dāng)A是

2、對(duì)角矩陣時(shí)， 是在標(biāo)準(zhǔn)位置下的圓錐曲線A不是對(duì)角矩陣， (例3)橢圓通過正交變換，找到主軸向量在坐標(biāo)系 下，橢圓方程是例3將二次型 變換為標(biāo)準(zhǔn)型. 解: 作可逆變換 得標(biāo)準(zhǔn)型得標(biāo)準(zhǔn)型二次型的分類二次型 是一個(gè)n元實(shí)值函數(shù), 對(duì)定義域中 每個(gè)點(diǎn) 可求出函數(shù)值 例4判斷下列二次型函數(shù)值的正負(fù)情況. 解: 有時(shí)正， 有時(shí)負(fù). 定義4.3一個(gè)二次型Q是: 正定的, 如果對(duì)所有 有 負(fù)定的, 如果對(duì)所有 有 不定的, 如果既有正值,又有負(fù)值. 定理4.2(二次型與特征值) 設(shè)A是n階對(duì)稱矩陣,則二次型是：正定的, 當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值是正數(shù), 負(fù)定的, 當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值是負(fù)數(shù), 不定的, 當(dāng)且僅當(dāng)A既有正特征值,又有正特征值. 證: 由定理4.1, 存在正交變換 使 是A的特征值. 的符號(hào)由特征值符號(hào)決定. 例5二次型是正定的嗎？解: 特征值 正定的. 定理4.3A是n階對(duì)稱矩陣,二次型是

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