高三數(shù)學(xué)-第二篇-第二節(jié)-函數(shù)的單調(diào)性課件-理-北師大版

1、第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性第一頁，編輯于星期五：八點 三十二分。考綱點擊1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).熱點提示1.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，仍是2011年高考的重點常見問題有求單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值或求某變量的取值范圍等.2.在高考試題中三種題型都有可能出現(xiàn)，選擇題、填空題較多.,第二頁，編輯于星期五：八點 三十二分。增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1x2時，

2、都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義第三頁，編輯于星期五：八點 三十二分。 (2)單調(diào)區(qū)間的定義假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是 或 ，那么稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性， 叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間2.函數(shù)的值域(1)在函數(shù)yf(x)中，與自變量x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值、 叫做函數(shù)的值域增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D函數(shù)值的集合第四頁，編輯于星期五：八點 三十二分。(2)根本初等函數(shù)的值域ykxb(k0)的值域是 .yax2bxc(a0)的值域是：當(dāng)a0時，值域為 ；當(dāng)a0時，

3、值域為y(k0)的值域是 yax(a0且a1)的值域是 ylogax(a0且a1)的值域是 .ysinx，ycosx的值域是 ytanx的值域是 .Ry|y0(0，)R1,1R第五頁，編輯于星期五：八點 三十二分。前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)對于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M結(jié)論M為最大值M為最小值3函數(shù)的最值第六頁，編輯于星期五：八點 三十二分。1.單調(diào)區(qū)間與函數(shù)定義域有何關(guān)系？提示：單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間.2.最值與函數(shù)的值域有何關(guān)系？提示：函數(shù)的最小值與

4、最大值分別是函數(shù)值域中的最小元素與最大元素；任何一個函數(shù)，其值域必定存在，但其最值不一定存在.第七頁，編輯于星期五：八點 三十二分。1如果函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，4上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是()A3，) B(，3C(，5 D3，)【解析】f(x)x22(a1)x2的對稱軸為x1a，f(x)在(，1a上是減函數(shù)，要使f(x)在區(qū)間(，4上是減函數(shù)，那么只需1a4，即a3.【答案】B第八頁，編輯于星期五：八點 三十二分。2函數(shù)y(2k1)xb在(，)上是減函數(shù)，那么() 【答案】D【解析】使y(2k1)xb在(，)上是減函數(shù)，那么2k10，即k第九頁，編輯于星期五：八點 三

5、十二分。3函數(shù)y 的定義域為a，b，值域為0,2，那么區(qū)間a，b的長ba的最小值是()【解析】數(shù)形結(jié)合如右圖，要使值域為0,2，(b-a)min=【答案】B第十頁，編輯于星期五：八點 三十二分。4設(shè)x1，x2為yf(x)的定義域內(nèi)的任意兩個變量，有以下幾個命題：(x1x2)f(x1)f(x2)0(x1x2)f(x1)f(x2)0；其中能推出函數(shù)yf(x)為增函數(shù)的命題為_【解析】依據(jù)增函數(shù)的定義可知，對于，當(dāng)自變量增大時，相對應(yīng)的函數(shù)值也增大，所以可推出函數(shù)yf(x)為增函數(shù)【答案】第十一頁，編輯于星期五：八點 三十二分。5函數(shù)y 的值域為_【答案】(，1)(1，)【解析】由函數(shù)的圖象得y1或

6、y1，值域為(，1)(1，)第十二頁，編輯于星期五：八點 三十二分。函數(shù)單調(diào)性的判定 試討論函數(shù)f(x) ，x(1,1)的單調(diào)性(其中a0)【思路點撥】可根據(jù)定義，先設(shè)1x1x21，然后作差、變形、定號、判斷；也可以求f(x)的導(dǎo)函數(shù)，然后判斷f(x)與零的大小關(guān)系第十三頁，編輯于星期五：八點 三十二分?！咀灾魈骄俊糠椒ㄒ唬焊鶕?jù)單調(diào)性的定義求解設(shè)1x1x21，1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10，x1210，x2210，|x1x2|1，即1x1x21，x1x210.因此，當(dāng)a0時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此時函數(shù)為減函數(shù)當(dāng)a0時，f(x1)f(x2)0，即f

7、(x1)f(x2)，此時函數(shù)為增函數(shù)第十四頁，編輯于星期五：八點 三十二分。方法二：f(x)即f(x)0，此時f(x)在(1,1)上為減函數(shù)同理，當(dāng)a0時，f(x)在(1,1)上為增函數(shù)綜上可知，a0時，f(x)在(1,1)上為減函數(shù)；a0時，f(x)在(1,1)上為增函數(shù)第十五頁，編輯于星期五：八點 三十二分?！痉椒c評】1.用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)取值：即設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1x2.(2)作差：即f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)，并通過通分、配方、因式分解等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形(3)定號：根據(jù)給定的區(qū)間和x2x1的符號，確定差f(

8、x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)的符號，當(dāng)符號不確定時，可以進(jìn)行分類討論(4)判斷：根據(jù)定義得出結(jié)論第十六頁，編輯于星期五：八點 三十二分。2求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的方法(1)利用函數(shù)的單調(diào)性(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【特別提醒】函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制例如函數(shù)y 在(，0)和(0，)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它的整個定義域即(，0)(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(，

9、0)和(0，)，不能用“第十七頁，編輯于星期五：八點 三十二分?！窘馕觥糠椒ㄒ唬?定義法)由于函數(shù)的定義域為x|xR且x0，且f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，因此可先討論在(0，)上的單調(diào)性設(shè)0 x1x2，那么1討論函數(shù)f(x)x (a0)的單調(diào)性第十八頁，編輯于星期五：八點 三十二分。第十九頁，編輯于星期五：八點 三十二分。方法二：(導(dǎo)數(shù)法)由于函數(shù)的定義域為x|xR且x0，且f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，因此可先討論在第二十頁，編輯于星期五：八點 三十二分。 函數(shù)的值域與最值 求以下函數(shù)的值域，并指出函數(shù)有無最值：【思路點撥】(1)消去分子上的變量；(2)對12x

10、換元；(3)利用式子的幾何意義第二十一頁，編輯于星期五：八點 三十二分?！咀灾魈骄俊亢瘮?shù)有最大值為1，無最小值第二十二頁，編輯于星期五：八點 三十二分。第二十三頁，編輯于星期五：八點 三十二分。 (3)數(shù)形結(jié)合法或圖象法原函數(shù)式可化為此式可以看作點(2,0)和(cos x，sin x)連線的斜率而點(cos x，sin x)的軌跡方程為x2y21，在坐標(biāo)系中作出圓x2y21和點(2,0)如以下圖，由圖可看出，當(dāng)過(2,0)的直線與圓相切時，斜率分別取得最大值和最小值，由直線與圓的位置關(guān)系知識：可設(shè)直線方程為y=k(x-2)，即kx-y-2k=0，第二十四頁，編輯于星期五：八點 三十二分?！痉椒?/p>

11、點評】函數(shù)的值域與最值是相互關(guān)聯(lián)的，求出了函數(shù)的值域也就有了函數(shù)的最值，當(dāng)然只知道函數(shù)有一個最值是無法得出函數(shù)的值域的在求最值時常采用的方法是：(1)二次函數(shù)型配方法；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性；(3)數(shù)形結(jié)合等第二十五頁，編輯于星期五：八點 三十二分。2求以下函數(shù)的值域：【解析】(1)函數(shù)的定義域是x|xR且x2，如以下圖，函數(shù)的值域為y|yR且y3第二十六頁，編輯于星期五：八點 三十二分。第二十七頁，編輯于星期五：八點 三十二分。第二十八頁，編輯于星期五：八點 三十二分。第二十九頁，編輯于星期五：八點 三十二分。函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 (2021年江蘇南京檢測)函數(shù)f(x)(xR，且x2)(1)求f

12、(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)假設(shè)函數(shù)g(x)x22ax與函數(shù)f(x)在x0,1上有相同的值域，求a的值；(3)設(shè)a1，函數(shù)h(x)x33a2x5a，x0,1，假設(shè)對于任意x0,1，總存在x00,1，使得h(x0)f(x)成立，求a的取值范圍【思路點撥】(1)利用函數(shù)單調(diào)性定義證明，也可以利用導(dǎo)函數(shù)來證明(2)由f(x)在0,1上的單調(diào)性可求其值域再列式求a.(3)根據(jù)單調(diào)性求值域再列不等式求解第三十頁，編輯于星期五：八點 三十二分?！咀灾魈骄俊苛顇2t，由于yt 4在(，2)，(2，)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2,0)，(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，容易求得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(4，)；單調(diào)遞減區(qū)間為

13、(0,2)，(2,4)第三十一頁，編輯于星期五：八點 三十二分。 (2)f(x)在x0,1上單調(diào)遞減，其值域為1,0，即x0,1時，g(x)1,0g(0)0為最大值，最小值只能為g(1)或g(a)，綜上得a1.第三十二頁，編輯于星期五：八點 三十二分。 (3)設(shè)h(x)的值域為A，由題意知1,0A.以下首先證明h(x)的單調(diào)性：設(shè)0 x1x21，h(x1)h(x2)x13x233a2(x1x2)(x1x2)(x12x1x2x223a2)0(a13a23，x12x1x2x223)，h(x)在0,1上單調(diào)遞減a的取值范圍是2，)【方法點評】此題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，其中解

14、決第(3)問的關(guān)鍵是根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，從而建立參數(shù)不等式進(jìn)行求解第三十三頁，編輯于星期五：八點 三十二分。3(2021年臨沂模擬)f(x)是定義在區(qū)間1,1上的奇函數(shù)，且f(1)1，假設(shè)m，n1,1，mn0時，有 0.(1)解不等式f(x )f(1x)(2)假設(shè)f(x)t22at1對所有x1,1，a1,1恒成立，求實數(shù)t的取值范圍【解析】(1)任取x1，x21,1，且x2x1，那么f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)所以f(x2)f(x1)，所以f(x)是增函數(shù)第三十四頁，編輯于星期五：八點 三十二分。第三十五頁，編輯于星期五：八點 三十二分。(2)由于f(x) 為

15、增函數(shù)，所以f(x)的最大值為f(1)1，所以f(x)t22at1對x1,1，a1,1恒成立t22at11對任意a1,1恒成立，即t22at0對任意a1,1恒成立令g(a)t22at2tat2，解得t2或t0或t2.第三十六頁，編輯于星期五：八點 三十二分。1(2021年遼寧高考)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)單調(diào)遞增，那么滿足f(2x1) 的x的取值范圍是()【答案】A【解析】f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，又f(x)在0，)上遞增，應(yīng)選A.第三十七頁，編輯于星期五：八點 三十二分。2(2021年福建高考)以下函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2(0，)，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(

16、x2)的是()Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)【解析】對任意的x1，x2(0，)，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上為減函數(shù)應(yīng)選A.【答案】A第三十八頁，編輯于星期五：八點 三十二分。3(2021年廣東高考)函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)【解析】f(x)(x3)ex，f(x)ex(x2)0，x2.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，)，應(yīng)選D.【答案】D第三十九頁，編輯于星期五：八點 三十二分。4(2021年陜西高考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x20，)(x1x

17、2)，有 0，那么()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)【答案】A【解析】由 0，得f(x)在x0，)上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)得f(3)f(2)f(1)，應(yīng)選A.此類題能用數(shù)形結(jié)合更好第四十頁，編輯于星期五：八點 三十二分。5(2021年湖南高考)設(shè)函數(shù)yf(x)在(，)內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x) 取函數(shù)f(x)2xex，假設(shè)對任意的x(，)，恒有fK(x)f(x)，那么()AK的最大值為2 BK的最小值為2CK的最大值為1 DK的最小值為1【解析】依題意，不存在x，使f(x)K，故Kf(x)恒成立f

18、(x)1ex，當(dāng)x0時，f(x)0；當(dāng)x0，f(x)0，即f(x)在(，0)上是增函數(shù)，(0，)上是減函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)取得最大值f(0)2011，故K1.即K的最小值為1.【答案】D第四十一頁，編輯于星期五：八點 三十二分。1討論函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體性質(zhì)，因此定義域中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值替代2求函數(shù)值域的常用方法有：(1)分析觀察法有的函數(shù)并不復(fù)雜，可以通過根本函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)觀察出函數(shù)的值域(2)配方法二次函數(shù)假設(shè)能轉(zhuǎn)化為形如：F(x)af(x)2bf(x)c型的函數(shù)的值域，均可用配方法，但要注意f(x)的取值范圍第四十二頁，編輯于星期五：八點 三十二分。 (3)不等式法利用根本不等式ab2 ，可求某些函數(shù)的值域，但要注意“一正、二定、三相等的條件(4)判別式法把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程F(x，y)0，通過方程有實根，判別式0，從而求得原函數(shù)的值域，形如y(a1，a2不同時為零)的函數(shù)值域常用此法求得(5)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域如果能確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，