三角形的五心強(qiáng)烈推薦

1、三角形的五心在本節(jié)中將分三角形中有許多重要的特殊點(diǎn)，特別是三角形的“五心”，在解題時有很多應(yīng)用別給予介紹三角形的“五心”指的是三角形的外心，內(nèi)心，重心，垂心和旁心1、三角形的外心三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的外心（外接圓圓心）三角形的外心到三角形的三個頂點(diǎn)距離相等都等于三角形的外接圓半徑銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形外2、三角形的內(nèi)心三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于三角形內(nèi)切圓半徑內(nèi)切圓半徑r的計算1S設(shè)三角形面積為S,并記p=2（a+b+c）,則r=S

2、2p特別的，在直角三角形中，有r=2（a+bc）.3、三角形的重心三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的重心上面的證明中，我們也得到了以下結(jié)論：三角形的重心到邊的中點(diǎn)與到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離之比為1：2.4、三角形的垂心三角形的三條高交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的垂心.斜三角形的三個頂點(diǎn)與垂心這四個點(diǎn)中，任何三個為頂點(diǎn)的三角形的垂心就是第四個點(diǎn).所以把這樣的四個點(diǎn)稱為一個“垂心組”.Ia5、三角形的旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個外角平分線交于一點(diǎn)，稱為三角形的旁心（旁切圓圓心）.每個三角形都有三個旁切圓.A類例題例1證明重心定理。證法1如圖，D、E、F為三邊中點(diǎn)，設(shè)BE、CF交于G,連接EF，A

3、FE顯然EF=y1BC,由三角形相似可得GB=2GE,GC=2GF.又設(shè)AD、BE交于G，同理可證GB=2GE,GA=2GD，即卩G、G都是BE上從B到E的三分之二處的點(diǎn)，故G、G重合.即三條中線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)G.EF、FH、HI、IE，因為EF=y1BC,HI2BC,證法2設(shè)BE、CF交于G,BG、CG中點(diǎn)為H、I.所以EFHI為平行四邊形所以HG=GE、IG=GF,GB=2GE,GC=2GF同證法1可知AG=2GD,AD、BE、CF共點(diǎn).即定理證畢.鏈接證明外心、內(nèi)心定理是很容易的。外心定理的證明：如圖，設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O,則有OA=OB=OC,故O也在AC的中垂線上

4、，因為O到三頂點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)O是AABC外接圓的圓心.因而稱為外心.內(nèi)心定理的證明：如圖，設(shè)ZA、ZC的平分線相交于I、過I作ID丄BC,IE丄AC,IF丄AB,則有IE=IF=ID.因此I也在ZC的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn).上述定理的證法完全適用于旁心定理，請同學(xué)們自己完成.例2證明垂心定理分析我們可以利用構(gòu)造外心來進(jìn)行證明。證明如圖，AD、BE、CF為AABC三條高，過點(diǎn)A、B、C分別作對邊的平行線相交成AABC,顯然AD為BC的中垂線；同理BE、CF也分別為ACAB的中垂線，由外心定理，它們交于一點(diǎn)，命題得證.鏈接（1）對于三線共點(diǎn)問題還可以利用Ceva定理進(jìn)行證明，同

5、學(xué)們可以參考第十八講的內(nèi)容。（Ceva定理）設(shè)X、Y、Z分別為AABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直線交于點(diǎn)的充要條件是AZBXCY=1是ZBXCYA（2）對于三角形的五心，還可以推廣到n邊形，例如，如果我們稱n（三3）邊形某頂點(diǎn)同除該點(diǎn)以外的nT個頂點(diǎn)所決定的nT邊形的重心的連線，為n邊形的中線，（當(dāng)nT=2時，nT邊形退化成一線段，此時重心即為線段的中心）那么重心定理可推廣如下：n邊形的各條中線（若有重合，只算一條）相交于一點(diǎn)，各中線被該點(diǎn)分為：（n-1）:1的兩條線段，這點(diǎn)叫n邊形的重心.請同學(xué)們自己研究一下其他幾個“心”的推廣。NGC情景再現(xiàn)1.設(shè)G為ABC的重

6、心，M、N分別為AB.CA的中點(diǎn)，求證:四邊形GMAN和AGBC的面積相等.2.三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍.B類例題例3過等腰AABC底邊BC上一點(diǎn)P引FMIICA交AB于M；引PNBA交AC于N.作點(diǎn)P關(guān)于MN的對稱點(diǎn)P.試證：P點(diǎn)在AABC外接圓上.（杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題）PA分析分析點(diǎn)M和N的性質(zhì)，即能得到解題思路。MBCP證明由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC，故點(diǎn)M是APEP的外心，點(diǎn)N是厶PPC的外心.于是有ZBPP=2zBMP=*ZBAC,ZPPC=|zpNC=2zbAC.ZBPC=ZBPP+ZPPC=ZBAC.從而，P點(diǎn)與A、B、C共

7、圓，即P在AABC外接圓上.鏈接本題可以引出更多結(jié)論，例如PP平分ZBPC、PB:PC=BP:PC等等.例4AD,BE,CF是AABC的三條中線，P是任意一點(diǎn).證明：在厶P4D,APBE,PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和.(第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)證明設(shè)G為A4BC重心，直線PG與AB，BC相交從A，C，D，E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A，C，D，E，F(xiàn).AFFGEEDDCCCPA易證AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC，有SPGeTSPGDSPGF.兩邊各擴(kuò)大3倍，有例5設(shè)A1A2A3A4為OO內(nèi)接四邊形，一1，一2它一4心八八jpvn的垂心求證：比，H2,H3,

8、H4四點(diǎn)共圓，并確定出該圓的圓心位置.證明連接a2H,A/,耳乞，記圓半徑為尺由厶a2aa4知AH21=2R=A2H=2RcosZA3A2A4；sinAAH21324231由AA3A4得A1H2=2RcosZA3A1a4.+Sapcf.,H,H2,H3,H4依次為A2A3A4A3A4Ai，（1992，全國高中聯(lián)賽）a4a1a2,a1a2a3A2A1H1OH2.EE=DD+FF.但ZA3A2a4=ZA3A1A4，故A2H1=a1H2.易證a2h1a1a2,于是，a2h1=7a1h2,故得H1H2A扎設(shè)HA與/A?的交點(diǎn)為M,故H1H2與人宀關(guān)于M點(diǎn)成中心對稱.同理，h2h3與a2a3,h3h4與

9、a3a4,h4h1與a4a1都關(guān)于m點(diǎn)成中心對稱.故四邊形h1h2h3h4與四邊形AA2AA4關(guān)于M點(diǎn)成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2,H3,H4在同一個圓上后者的圓心設(shè)為Q,Q與O也關(guān)于M成中心對稱由O,M兩點(diǎn)，Q點(diǎn)就不難確定了.鏈接三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如：三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個三角形面積相等；三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等；三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的垂心；三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等；三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心;三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心

10、；三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心；三角形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足三角形的外心.情景再現(xiàn)3.在AABC的邊AB,BC,CA上分別取點(diǎn)P,Q,S.證明以APS,ABQP,CSQ的外心為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似.(B波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)K4如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列,那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.C類例題例6H為A4BC的垂心，D,E,F分別是BC,CA,AB的中心.一個以H為圓心的0H交直線EF,分析證明FD,DE于A”A2,B,B2,q,C2.求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)只須證明AA

11、=BB1=CC1即可.設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,ABC外接圓半徑為R,OH的半徑為r.連HA,AH交EF于M.AA2=AM2+A,M2=AM2+r2MH2111=r2+(AM2MH2),B2AA1FH2MEBHDH1C1A2例7證明又AM2-HM2=(2aH)2-(AH-*AH)2=AHAHAH2二AH2ABAH2=cosAbcAH2,AH而SnABH=2RnAH2=4R2co沁a=2Rna2=4R2sin2A.sinA.AH2+a2=4R2,AH2=4R2a2.由、有b2+c2一a2AA2=r2+bc(4R2a2)12bc=2(a2+b2+c2)4R2+r2.同理，BB1=2(a2+b

12、2+c2)4R2+r2,CC2=1(a2+b2+c2)4R2+r2.12故有AA1=BB1=CC1.已知0O內(nèi)接ABC,0Q切AB,AC于E,F且與0O內(nèi)切.試證:心.（B波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）CC2B1EF中點(diǎn)P是ABC之內(nèi)r如圖，顯然EF中點(diǎn)P、圓心Q,bc中點(diǎn)K都在ZBAC平分線上易知AQ=-sin:QKAQ=MQQN,MQQN(2R一r)rr/sina=sina(2R一r).由RtEPQ知PQ=sina-r.PK=PQ+QK=sina-r+sina(2R一r)=sina-2R.PK=BK.利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是AABC這內(nèi)心.說明在第20屆IMO中，美國提供的一道題實

13、際上是例7的一種特例，但它增加了條件AB=AC.例8在直角三角形中，求證：r+r+rb+r=2p.式中r，r，rb，r分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相abcabc切的旁切圓半徑，p表示半周.(杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)證明設(shè)RtAABC中，c為斜邊，先來證明一個特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).*.*p(p-c)=2(a+b+c)*(a+b-c)rcO3AK=4(a+b)2-c2=2。方；OrErCaO1O2rb(p-a)(p-b)=2(a+b+c)J(a-b+c)=4】c2(ab)2=gab.p(p-c)=(p-a)(p-b).觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-B

14、C=p-arc=CK=p.而r=2(a+b-c)=p-c.r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.例9由及圖形易證.M是ABC邊AB上的任意一點(diǎn).r”r2,r分別是AAMC,BMC,ABC內(nèi)切圓的半徑，q”rr亠=.(IMO-12)qq2rq2,q分別是上述三角形在ZACB內(nèi)部的旁切圓半徑.證明2q1證明對任意ABC，由正弦定理可知AOD=OA性=ABBsin-2sinAOBAsin-2A.E=ABABsin，sin-22.A+Bsin2OE=ABABcoscos-22.A+Bsin2ODABOE亦即有rACMACNBB亠=tgtgtgtgq2

15、2222ABr=tg2tg2q例10銳角AABC中，O,G,H分別是外心、重心、垂心設(shè)外心到三邊距離和為d,重心到三邊外距離和為d，垂心到三邊距離和為d.重垂求證：1d+2d=3d.垂外重證明設(shè)ABC外接圓半徑為1,三個內(nèi)角記為A,B,C.易知d=OO+OO+OO外123=cosA+cosB+cosC,2d=2(cosA+cosB+cosC).外：AH=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC,同樣可得BH2CH.：.3d=ABC三條高的和重=2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB)BH=2,sinBCH.HH廠cosCBH=2cosBcosC.同樣可得hh2

16、,hh3.d=HH+HH+HH垂123=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)OGIH2O1G1H1欲證結(jié)論，觀察、,須證（cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB）+（cosA+cosB+cosC）=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.說明本題用了三角法。情景再現(xiàn)設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC,CD二DE,EF=FA.試證：（1）AD,BE,CF三條對角線交于一點(diǎn)；AB+BC+CD+DE+EF+FA三AK+BE+CF.（1991,國家教委數(shù)學(xué)試驗班招生試題）ABC的外心為0,AB=AC,D是AB中點(diǎn)，E是AACD的重心.證

17、明OE丄CD.（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題）ABC中ZC=30,0是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點(diǎn)與邊BC上的E點(diǎn)使得AD=BE=AB.求證：0I丄DE,OI=DE.（1988，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題）習(xí)題171.在AABC中，乙A是鈍角，H是垂心，且AH=BC,則cosZBHC=（）A22B.22C.33D.如果一個三角形的面積與周長都被一條直線平分，則此直線一定通過三角形的（）A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心（1996年全國初中聯(lián)賽）（1997年安徽省初中數(shù)學(xué)競賽）若0AABC周長.（1982，澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克）T的三邊分別等于AT的三條中線，且兩個三角形有一組角相等求證這兩個三角形相似

18、.（1989，捷克數(shù)學(xué)奧林匹克）I為AABC的內(nèi)心.取A/BC,AICA,AIAB的外心O,O2，o3.求證：O1O2O3與aabc有公共的外心.（1988，美國數(shù)學(xué)奧林匹克）AD為aabc內(nèi)角平分線.取aabc,ABD,ADC的外心O,O,O2.則厶OO02是等腰三角形.12.AABC中ZCABC周長.（1982,澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克）2.T的三邊分別等于厶T的三條中線，且兩個三角形有一組角相等求證這兩個三角形相似.（1989,捷克數(shù)學(xué)奧林匹克）3.I為AABC的內(nèi)心.取IBC,ICA,IAB的外心OO2，O3.求證：OO2O3與ABC有公共的外心.（1988，美國數(shù)學(xué)奧林匹克）AD為AABC內(nèi)角平分線.取ABC,AABD,AADC的外心O,OO2.則OOO2是等腰三角形.ABC中ZC90,從AB上M點(diǎn)作