二階倒立擺實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、二階倒立擺的控制指導(dǎo)老師：屈楨深問題描述小車質(zhì)量0.8kg，擺桿1質(zhì)量0.3kg,擺桿長(zhǎng)度1.0m；擺桿2 質(zhì)量0.1kg,擺桿長(zhǎng)度0.5m。要求：設(shè)計(jì)NN控制器，滿足指標(biāo)要求：0.2Hz正弦信號(hào)幅值 裕度10%,相角裕度15度。同時(shí)系統(tǒng)具備抗噪聲和干擾性，控制 輸入合理步驟：1階倒立擺-2階倒立擺。一階倒立擺建模小車由電機(jī)通過同步帶驅(qū)動(dòng)在滑桿上來回運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿平 衡。電機(jī)編碼器和角編碼器向運(yùn)動(dòng)卡反饋小車和擺桿位置（線位 移和角位移）。小車在軌道上可以自由滑動(dòng)。單級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型N和P分別為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。分析小車水平方向所受的合力，可得到方程為:由擺桿水平方

2、向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式:N = m, (x +1 sin O)N = mX mlOCosO - mlO2 sin O把這個(gè)等式代入式中，得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:M + m)ffi b&F mlO cosO - mlO2 sinO = F為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)擺桿垂直方向的合力進(jìn) 行分析，得到下面的方程:P 一 mg = m 日(l coso )dt 2P - mg = -mlOsin O - mlO& cos O力矩平衡方程如下:-P/sinO - N/cos= I方程中力矩的方向，cos = -cosO,sin = -sinO，故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去p和

3、N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng) 方程:+ ml2mgl sin 0 = 一ml役os 0假設(shè)，與1 (單位是孤度)相比很小，即，1,則可進(jìn)行近 似處理：八八 .(d0cos 0 = -1,sin 0 = 一, I = 0V dt )用u代表被控對(duì)象的輸入力，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下:cC川.澡J Y + ml2 一 mgl = ml險(xiǎn)| CM + mbX ml= u對(duì)方程(7)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到：J C + ml2 ) (s) s 2 一 mgl (s) = mlX (s) s 2JM + m )X (s) s 2 + bX (s) s 一 ml (s) s 2 = U (s)推導(dǎo)時(shí)假設(shè)初始條件為0則

4、擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)為：s) _mls 2X(s) (I + ml2)s2 一mgl擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：“s)mlA(s) V + ml2)s2 - mgl擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：mls 24 ( S ) qF (s)b( I + ml 2)(M + m )mglbmglqq = (M + m)(I + ml 2) - m 2/2S 4 +S 3 S 2 sq以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:01000(I + ml 2)bm2 gl 20 x 敏I (M + m) + Mml 2I (M + m) + Mml24_00014區(qū)0mlbmgl

5、(M + m)04I (M + m) + Mml 2I (M + m) + Mml20I + ml 2I (M + m) + Mml 20 mlI (M + m) + Mml 201x以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式:&100 -r n0 x00010014+003g04l, 14l0000uX1 10101改0_| 2系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性分析對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：成=AX + Buy = CX + Du系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組b , AB，A-1B 是線性無關(guān)的，或nXn維矩陣B M AB M AM A“-1 b的秩為n。系統(tǒng)的輸出可控條件為：當(dāng)且僅當(dāng)矩陣jB CA

6、B MA 2B M MA n-1B M）的秩等于輸出向量y的維數(shù)。應(yīng)用以上原理對(duì)輸入為加速度輸出為擺桿與豎直方向的角度 的夾角時(shí)的系統(tǒng)進(jìn)行可控性分析即可。二階倒立擺建模在忽略了空氣流動(dòng)，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成 小車、勻質(zhì)桿的系統(tǒng)，如圖所示。Mx圖1直線兩級(jí)倒立擺物理模型下面利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。拉格朗日方程為：L (q, q)=T (q, q)-V (q, &d 8 L 8 Lidt 8 q 8 qT = T + T + TT = T +TmlmlmlT = T +Tm2m2m2Tm = 2 M&T = - mml 2 1d G - / sin0 )2 ( d (/ si

7、n0 )2+1& -ml 嬉cos0 +ml2(&21=m211 i i 2iiiTmiT mi=Tmi1 ml 2 Jo 2 = 3 ii 7 iml 20 62ii i+ T = m j&2 m l X0 cosmi 2 i i i i+ m 120&23 ii i同樣可以求出i m2 2d (x 2l sin 0 l sin 0 i dt12i+ m2 2i m2 2p 2dt7(& 2l 洋 cos 0 l 洋 cos 0 ) + L mi i i 2 222d (21 cos 0 +1 cos 0 )i dt7(2l 很 sin 0 +1 很 sin 0 )ii i 222(i 一、

8、2 3 m2lJ32=m 12026 2 2 2i i TOC o 1-5 h z T = J 32 = m22 2 2=T + T = i m (&2 2j&(2l 很 cos 0 +1 很 cos 0 )m2 m222i ii 2 224l202 + 1202 + 4l l 0& cos (0 0 )i i 3 2 2 i2 i 22 i 7因此，可以得到系統(tǒng)的總動(dòng)能為:T= Tm + Tm + T 21=L MX + 上 m & - m l X& cos 0 + m 12(&222 i 11 i i 3 ii i+ m C&2 - 2j&(2l 律 cos 0 +1 律 cos 0 )2

9、2i i i 2 22i+ m2 24l 2E&2 + 1202 + 4l l 0& cos(0 -0 ) I i i 3 2 2 i2 i 22 i )系統(tǒng)的總勢(shì)能為:V = Vm1 m 2 m 3,、=m gl cos 0 + m g (2l cos 0 +1 cos 0 )11121122從而拉格朗日算子:L = T - Vi八 i=M& +2工i (+ m2 :i+ m2 2-m gl cos 0m& - m l x& cos 0 + m 12022 i 11 i i 311 i! &2 - 2X(2l & cos 0 +1 & cos 0 )21 112 224l 202 + 4 1

10、202 + 4ll 0& os (0 -0 )I 1 1322121221 )-m g (2l cos 0 +1 cos 0 )21122由于因?yàn)樵趶V義坐標(biāo)0廣0 2上均無外力作用，有以下等式成立:d dt801d J dL I dL dt 8很)80、2 /2對(duì)唯求解代數(shù)方程，得到以下兩式俄=(3(2gm sin0 4gm sin0 4m g sin0 + 3m g cos(0 -0 )sin 0 TOC o 1-5 h z 11121312212+ 6m l cos(0 0 )sin(0 0 )02 + 4m l sin(0 0 )02 2m &cos0211212122122114m &

11、cos0 4m &cos0 + 3m &cos(0 0 )cos 0 ) /(2l1(4m1 12m2 12m3 + 9m2 cos2(q 02)俄=( m (m + 3(m + m )l2l (3g sin0 6l02sin(0 0 ) 3&cos0 )921231 221 11222+ m 12l cos(0 0 )(6m 102sin(0 0 )21212222123(m + 2(m + m )(g sin0 + &cos0 )/ 1231116(m (m + 3(m + m )l22 + 4m?l22 cos2(0 0 )92123 1 221 212表示成以下形式：0& =倍耳且,岬

12、堂,&)0 = f (x,0 ,0 ,離,X)221212取平衡位置時(shí)各變量的初值為零，A = (x,0 ,0 ,炒0, X) = (0,0,0,0,0,0,0) = 01212將(23)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，令:K1廣fA=0 = 0K _ f 1= 3(-2 gm4 gm2 - 4 gm3)12 f0 A=02(4m 一 3m 12m )lK _ 世 I _9m g121360 A=o2(-4m - 3m - 12m )lK -知 -0146 X A - 0-6 n-1 01660& A-02K6f |3(-2m - m - 4m )176&X A-02(-4m - 3m

13、 )l帶入式，得到線性化之后的公式0& - K 0 + K 0 + K X112 113 217將式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，令K 21K226f60A - 012 g (m + 2 m )4m l -導(dǎo)(m + 3m )l6fK 23602A-04 g (m + 3m )3(4m l -史(m + 3m )l )161K _f | K25 W-0A-01入,K _6fK 27=頂K f I K26 2二0A=02A=0帶入（22）式，得到4 /2(m. + 2m ) - (m. + 3m )4m l - ?(m + 3m )l敝=K 0 + K 0 + K X222 123 22

14、7即：0 = K 0 + K 0 + K X112 113 217敝=K 0 + K 0 + K X222 123 227現(xiàn)在得到了兩個(gè)線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸因此還需加上一個(gè)方程u =敝取狀態(tài)變量如下:21x =0 x = Xx =律62由（33），（41），（42）式得到狀態(tài)空間方程如下:1-000100 _X-0 11L000010X022義000001X03=3+000000X144義0KK000XK51213517&0KK000XK6122231627u其中直線兩級(jí)倒立擺系統(tǒng)參數(shù)為:小車質(zhì)量 2.32kgm =0.3kg； m =0.2kg； q為擺桿1與垂直向上方向的

15、夾角Q為擺桿2與垂直向上方向的夾角； = 1m； 12=0.5m； F為作用在系 統(tǒng)上的外力由以上方程，將以下參數(shù)代入即可。M = 0.8m - 0.31m = 0.2媚9.8IMI 2神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模本文采用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用4-5-3結(jié)構(gòu)的三層前饋網(wǎng)。輸入變量X = xx x x = j e(t)x =e (t) de (t)x =3 dte(t)= xn (t)-吮(t)網(wǎng)絡(luò)隱含層的局部誘導(dǎo)域和輸出分別為二(n口 jn)O0 (n)O0 (n )*(vi (n ) j = 1,2,3,., Qi(0-1)(0-2)其中，w為隱含神經(jīng)元的突觸權(quán)值，w表示神經(jīng)元的偏置，Q 為隱含神經(jīng)元的節(jié)點(diǎn)數(shù)，隱含

16、神經(jīng)元的激活函數(shù)取雙曲正切函數(shù)x )=tanh(x )=竺土 ex + e-x網(wǎng)絡(luò)輸出層的誘導(dǎo)局部域和輸出分別為v 2 (n )淫 W2 (n)Oi (n)j=0O2(n)= f (v 2 (n) k = 1,2,3k = O 2 (n ) k = O 2 (n )k = 02 (n)Id 3(0-3)(0-4)(0-5)(0-6)考慮到輸出參數(shù)不能為負(fù)值，所以激活函數(shù)采用非負(fù)函數(shù)(0-7)f (x )= 1 (1 + tanh(x)=-_2ex + e-x控制率為M (t)= k -e(t)+ k (t)+ k七)(0-8)采用BP學(xué)習(xí)算法，對(duì)網(wǎng)絡(luò)的突觸權(quán)值進(jìn)行迭代修正，并附加 一個(gè)使搜索快

17、速收斂的全局極小的動(dòng)量項(xiàng)。定義系統(tǒng)的代價(jià)函數(shù) 為。(0-9)佻(t)dw2 (t)w2 (t)= -q +a kjkkW2 (t)dtkj=g 2 (t)O (n )+a 籍k jdt(0-10)其中，yita是學(xué)習(xí)率，alpha是動(dòng)量因子，根據(jù)微分鏈?zhǔn)揭?guī)則， 局部梯度可計(jì)算如下佻(t)5 2 (t )=-k徹 2 (t)k佻(t)ay(t)汕(t)0O2(t)=-f E E 2 outkk(0-11)由于輸出對(duì)控制量的偏導(dǎo)未知，所以用符號(hào)函數(shù)近似表示， 由此帶來的計(jì)算不精確的影響盡量由調(diào)整學(xué)習(xí)率來補(bǔ)償。由控制 方程不難得到M (t)= K X，= k -e(t)+ k ! e(t)dt+k，

18、血(0-12)種 f (t) dO2 (t)kk(0-13)將所有公式整合，不難得到神經(jīng)元k的局部梯度為8 2 (t)=e(t)sgn k街(t)Mj) I、 c /(0-14)由此可得，網(wǎng)絡(luò)輸出層神經(jīng)元的突觸權(quán)值調(diào)整的修正公式為同理其中w;(t) = B 22 (t )O1 (t)+aj wjdt可得隱含層神經(jīng)元的突觸權(quán)值學(xué)習(xí)算法。w1 (t) = .81(t)O0 (t)+aj w1 (td jij iji神經(jīng)元j的局域梯度為8 1 (t)* (V1 (t眼 8 2 (t)w2 (t)jjk kkk=1(0-15)(0-16)(0-17)至此，本文采用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理已介紹完成，考慮到本次仿 真過程采用的變時(shí)間步長(zhǎng)仿真方式類似于連續(xù)仿真，故在上文公 式中將神經(jīng)網(wǎng)