二次型與二次曲面

1、二次型與二次曲面-二次型矩陣的初等變換法矩陣的初等變換法定理：對(duì)每個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣4,存在初等矩陣P1 ,P2，,P使得Pt PtPtAPP P = diag（d ,d，,d ）s 2112 s12 n方法：先將二次型的對(duì)應(yīng)矩陣4寫(xiě)出，然后將單位矩陣寫(xiě)在 4的下面，構(gòu)成一個(gè)&）x n階矩陣，當(dāng)列進(jìn)行初等變換后， 對(duì)行向量也進(jìn)行相同的初等變換，則當(dāng)4變成對(duì)角陣時(shí)，I 就成了所作的變換矩陣。如=例：用初等變換法將下列二次型x2 + 2x2 + 5x2 + 2xx + 2xx + 8x x1 1 1)1 00 )1 00)1 2 41 130 13A1 4 5(2 )-(1)1 340 34=T-J1

2、0 0（3）-（1）1 -1 -11 -1 -10 1 0010010V 0 1 /1231 21 32 3化為標(biāo)準(zhǔn)形。解：1 00 )1 00)010010(3)- 3(2)0 3 -50 0 -5-1 -1 21 -1 20 1-30 1-310 0 1 J10 0 1 J化為標(biāo)準(zhǔn)形。f 0 2 1)f 2 0 1)f 1 2 1)2 1 11 2 1201皿f A)111(2 頃 1 1 1111解： =TT1 0 00 1 00100101 0 01 0 0:0 0 1)0 0 1)(0 0 1J例：用初等變換法將下列二次型Q)=，2 1 ：，11 1 1Jf1 -1 2 令P =0

3、1 -3,當(dāng)作坐標(biāo)變換x = Py后，得到k 0 01 /Q )=咋+ y 2 5 y:即為標(biāo)準(zhǔn)形。_L匕0f0 2 r TOC o 1-5 h z f012、例：用初等變換法將下列二次型Q=沖100 xJJ 化為標(biāo)準(zhǔn)形。012)r112;r212;100100100解：)200(2 )+(1)200200e j1001001000101101101001j01j(001j慣性定理和二次型的規(guī)范形設(shè)Q (口)為復(fù)二次型，它的秩為，其標(biāo)準(zhǔn)形為d y 2 + d y 2 + + d y 21 12 2r r其中 d g C,d，0,i -1,2, r，令1.y -乙,. i - 1,2, ,rVy

4、 - z , i - r +1, , n.I I規(guī)范形則 Q (a ) - z2 + z2 + + z2定理：任意一個(gè)復(fù)系數(shù)二次型總可以經(jīng)過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡婢€ 性替換化為規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的。定義：稱(chēng)形如z 2 + z 2 + + z 2 - z 2 - - z 212p p+1r的二次型為實(shí)二次型的規(guī)范形。稱(chēng)P為二次型的正慣性指數(shù)， r-p為負(fù)慣性指數(shù)，正、負(fù)慣性指數(shù)的差p-(r-p)=2p-r叫符合 差。定理（慣性定理）任意一個(gè)實(shí)系數(shù)的二次型，總可以經(jīng)過(guò)一個(gè) 適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換，化成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的，即 正、負(fù)慣性指數(shù)由二次型唯一確定。Q(a)x = Pz z12 + z； +Q

5、 (a)x = Tu u2 + u2 +12(1)(2 )證明：只證P的唯一性。設(shè)Q J ）為實(shí)二次型。+，一一 一專(zhuān)+ U 2 U 2 U 2假設(shè)p更q，不妨設(shè)p V q,由z = Ptx, u = T-1x，.不妨設(shè)z = a x + a x +ii1 1i 2 2u = b x + b x +ii1 1i2 2+ a x , i = 1,2, , n + b x , i = 1,2, , n考慮齊次線性方程組a x + a x +11 112 2+ ax- 0a0% 土 ap2七 +. . 氣11 x1+ bq+12 2+ a x = 0. . ._ _ . Jipn n1c、x +.+ b x = 0q+1n n n - q個(gè)方程5 +. b 2 X + bn nxn= 0,方程組有非零解，設(shè)為x = （x（0），x（0），x（0） 0,則 012n，Z0 = PTX0 =(0, ,0, z 1, , z 豐 0u T-ix = Cu ,. , u ,0, . ,0 豐 0分別代入和(2)，有Q(x0 ) 0,矛盾.推論 對(duì)任意的實(shí)對(duì)稱(chēng)