leslie人口增長模型模型

1、l e s l i e 人口增長模型模型Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998人口增長預(yù)測模型摘要本文建立了我國人口增長的預(yù)測模型，對各年份全國人口總量增長的中短期和長期趨勢作出了預(yù)測，并對人口老齡化、人口撫養(yǎng)比等一系列評價指標進行了預(yù)測。最后提出了有關(guān)人口控制與管理的措施。模型：建立了 Logistic 人口阻滯增長模型，利用附件 2 中數(shù)據(jù)，結(jié)合網(wǎng)上查找補充的數(shù)據(jù)，分別根據(jù)從 1954 年、1963 年、1980 年到 2005 年三組總?cè)丝跀?shù)據(jù)建立模型，進行預(yù)測，把預(yù)測結(jié)果與附件 1國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告中提供的預(yù)測值

2、進行分析比較。得出運用 1980 年到 2005 年的總?cè)丝跀?shù)建立模型預(yù)測效果好，擬合的曲線的可決系數(shù)為。運用 1980 年到 2005 年總?cè)丝跀?shù)據(jù)預(yù)測得到 2010 年、2020 年、2033 年我國的總?cè)丝跀?shù)分別為億、億、億。模型：考慮到人口年齡結(jié)構(gòu)對人口增長的影響，建立了按年齡分布的女性模型（Leslie 模型）： 以附件 2 中提供的 2001 年的有關(guān)數(shù)據(jù)，構(gòu)造 Leslie 矩陣，建立相應(yīng) Leslie 模型；然后，根據(jù)中外專家給出的人口更替率，構(gòu)造 Leslie 矩陣，建立相應(yīng)的 Leslie 模型。首先，分別預(yù)測 2002 年到 2050 年我國總?cè)丝跀?shù)、勞動年齡人口數(shù)、老年

3、人口數(shù)（見附錄 8），然后再用預(yù)測求得的數(shù)據(jù)分別對全國總?cè)丝跀?shù)、勞動年齡人口數(shù)的發(fā)展情況進行分析，得出：我國總?cè)丝谠?2010 年達到億人，在 2020 年達到億人，在 2023 年達到峰值億人；預(yù)測我國在短期內(nèi)勞動力不缺，但須加強勞動力結(jié)構(gòu)方面的調(diào)整。其次，對人口老齡化問題、人口撫養(yǎng)比進行分析。得到我國老齡化在加速，預(yù)計本世紀 40 年代中后期形成老齡人口高峰平臺，60 歲以上老年人口達億人，比重達%；65 歲以上老年人口達億人，比重達%；人口撫養(yǎng)呈現(xiàn)增加的趨勢。再次，討論我國人口的控制，預(yù)測出將來我國育齡婦女人數(shù)與生育旺盛期育齡婦女人數(shù)，得到育齡婦女人數(shù)在短期內(nèi)將達到高峰，隨后又下降的趨勢

4、的結(jié)論。最后，分別對模型與模型進行殘差分析、優(yōu)缺點評價與推廣。關(guān)鍵詞 Logistic 人口模型Leslie 人口模型人口增長預(yù)測MATLAB 軟件1、問題重述一、背景知識：中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。我國人口發(fā)展經(jīng)歷了多個階段，近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。全面建設(shè)小康社會時期是我國社會快速轉(zhuǎn)型期，人口發(fā)展面臨著前所未有的復(fù)雜局面，人口安全面臨的風險依然存在二、相關(guān)數(shù)據(jù)：附件 1 國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告附件 2 人口數(shù)據(jù)（中國人口統(tǒng)計年鑒中的部分數(shù)

5、據(jù)）及其說明根據(jù)已有數(shù)據(jù)三、要解決的問題：1、試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考附件 2 中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻和補充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點與不足之處。2、利用所建立模型的預(yù)測結(jié)果，參照附件 1 的相關(guān)敘述對反映中國人口增長特點的一系列指標如人口老齡化、人口撫養(yǎng)比等進行分析預(yù)測。3、根據(jù)模型的計算結(jié)果，對未來人口發(fā)展高峰進行預(yù)測并針對中國人口的調(diào)控和管理進行分析。2、問題分析人口的變化受到眾多方面因素的影響，因此對人口的預(yù)測與控制也就十分復(fù)雜， 很難在一個模型中綜合考慮到各個因素

6、的影響。為了更好的解決此問題，我們分析了題目以及附錄 1 中所給的相關(guān)信息，考慮到可以根據(jù)對人口增長不同的評價指標及不同的時期建立多個模型分別加以討論。一、從附件 1 中，我們看到過去一些專家對中國的總?cè)丝跀?shù)做出了 2010 年、2020 年分別達到億人和億人，2033 年前后達到峰值 15 億人左右的預(yù)測。因而，我們也可以先對總?cè)丝诘脑鲩L趨勢做出自己的預(yù)測與專家預(yù)測數(shù)據(jù)進行比較，對于預(yù)測所要用到的一些相關(guān)數(shù)據(jù)，我們作了相應(yīng)的補充，由此我們建立了模型：阻滯增長模型。二、模型只考慮了人口總數(shù)，對人口總數(shù)進行了預(yù)測分析。但實際中在對人口進行分析時，按年齡段分布的人口結(jié)構(gòu)是非常重要的。在人口總數(shù)一定

7、時，不同年齡段的人的生育率和死亡率是不同的，它們對人口未來發(fā)展的影響也是很不一樣的。為了討論不同年齡段的人口分布對人口增長的影響，我們依據(jù)附件 2 建立了模型：按年齡分布的 Leslie 模型。三、由模型和模型的結(jié)果我們預(yù)測了人口總數(shù)的發(fā)展趨勢，由模型的計算結(jié)果我們還能夠得到各年份處在各年齡段的人口數(shù)量、男女比率的預(yù)測值。根據(jù)這些預(yù)測值我們可以計算出反映人口增長特點的其他指標，由此我們可以對模型的計算結(jié)果進行進一步的分析。3、合理的假設(shè)1、社會穩(wěn)定，不會發(fā)生重大自然災(zāi)害和戰(zhàn)爭b , sii不隨時間而變化2、超過 90 歲的婦女（老壽星）都按 90 歲年齡計算3、在較短的時間內(nèi)，平均年齡變化較小

8、，可以認為不變4、不考慮移民對人口總數(shù)的影響4、名詞解釋與符號說明一、名詞解釋1、總和生育率指一定時期（如某一年）各年齡組婦女生育率的合計數(shù)，說明每名婦女按照某一年的各年齡組生育率度過育齡期，平均可能生育的子女數(shù)，是衡量生育水平最常用的指標之一。2、更替水平指這樣一個生育水平，同一批婦女生育女兒的數(shù)量恰好能替代她們本身。一旦達到生育更替水平，出生和死亡將逐漸趨于均衡，在沒有國際遷入與遷出的情況下，人口將最終停止增長，保持穩(wěn)定狀態(tài)。3、人口撫養(yǎng)比指人口總體中非勞動年齡人口數(shù)與勞動年齡人口數(shù)之比。通常用百分比表示。說明每 100 名勞動年齡人口大致要負擔多少名非勞動年齡人口。用于從人口角度反映人口

9、與經(jīng)濟發(fā)展的基本關(guān)系。根據(jù)勞動年齡人口的兩種不同定義（ 15-59 歲人口或 15-64 歲人口），計算總撫養(yǎng)有兩種方式4、人口老齡化指人口中老年人比重日益上升的現(xiàn)象。 促使人口老齡化的直接原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。一般認為，如果人口中 65 歲及以上老年人口比重超過 7%，或 60 歲及以上老年人口比重超過 10%，那么該人口就屬于老年型。5、出生人口性別比是活產(chǎn)男嬰數(shù)與活產(chǎn)女嬰數(shù)的比值，通常用女嬰數(shù)量為100 時所對應(yīng)的男嬰數(shù)來表示。正常情況下，出生性別比是由生物學規(guī)律決定的，保持在 103107 之間。4：5：6：7：8：9：10：11：自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大

10、人口數(shù)量可決系數(shù)在時間段t 第i 年齡組的人口總數(shù)第i 年齡組的生育率第i 年齡組的死亡率第i 年齡組的存活率Leslie 矩陣2001 年全國人口總數(shù)二、符號說明序號符號意義1：2表示年份（選定初始年份的t0 ） 人口增長率3：人口數(shù)量12：13：14：15：16：17：18：19:20：2001 年城市總?cè)丝?001 年鎮(zhèn)總?cè)丝?001 年鄉(xiāng)總?cè)丝?001 年第i 年齡段的人口總數(shù)i 1,2,3 時分別表示市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的女孩出生率j 時段具有勞動能力的人口社會的撫養(yǎng)比指數(shù)總和生育率j 時段 i年齡組中女性所占的百分比5、模型的建立與求解模型：阻滯增長模型（Logistic 模型）1一、模型的

11、準備阻滯增長模型的原理：阻滯增長模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的阻滯作用，對指數(shù)增長模型的基本假設(shè)進行修改后得到的。阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率r 的影響上，使得r 隨著人口數(shù)量 x 的增加而下降。若將r 表示為 x 的函數(shù)r(x) 。則它應(yīng)是減函數(shù)。于是有：dx r(x)x ,x(0) x dt0（1）對r(x) 的一個最簡單的假定是，設(shè)r(x) 為 x 的線性函數(shù)，即r(x) r sx（2）(r 0 , s 0)設(shè)自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量 xm，當 x xm時人口不再增長，即增長率r(xm) 0 ，代入（2）式得s r，于是（2）式為xmr(x) r(1 x

12、)x（3）將（3）代入方程（1）得： dxm rx(1 x )解方程（4）可得： dtxx(0) xm0 x(t) xmx（4）1 (m 1)ertx0（5）二、模型的建立為了對以后一定時期內(nèi)的人口數(shù)做出預(yù)測，我們首先從中國經(jīng)濟統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫（） 上查到我國從 1954 年到 2005 年全國總?cè)丝诘臄?shù)據(jù)如表 1。表 1各年份全國總?cè)丝跀?shù)（單位：千萬）年份195419551956195719581959196019611962總?cè)丝谀攴?96319641965196619671968196919701971總?cè)丝谀攴?97219731974197519761977197819791980總?cè)丝谀攴?/p>

13、198119821983198419851986198719881989總?cè)丝谀攴?總?cè)丝?99019911992199319941995199619971998年份1999200020012002200320042005總?cè)丝?、將 1954 年看成初始時刻即t 0 ，則 1955 為t 1，以次類推，以 2005 年為t 51作為終時刻。用函數(shù)（5）對表 1 中的數(shù)據(jù)進行非線性擬合，運用 Matlab 編程（程序見附錄 1）得到相關(guān)的參數(shù) x 180.9871 , r -0.0336 ，可以算出可決系數(shù)（可m決系數(shù)是判別曲線擬合效果的一個指標）：由可決系數(shù)來看擬合的效果比較理想。所以得到中

14、國各年份人口變化趨勢的擬合曲線：x(t) 180.9871e180.98711(1) 0.0.0336t60.2（6）根據(jù)曲線（6）我們可以對 2010 年（ t 56 ）、2020 年（ t 66 ）、及 2033 年（ t 79 ）進行預(yù)測得（單位：千萬）：結(jié)果分析：從附錄 1 所給信息可知從 1951 年至 1958 年為我國第一次出生人口高峰，形成了中國人口規(guī)?！坝删彽娇臁钡脑鲩L基礎(chǔ)；因此這段時期人口波動較大，可能影響模型結(jié)果的準確性。1959、1960、1961 年為三年自然災(zāi)害時期，這段時期人口的增長受到很大影響，1962 年處于這種影響的滯后期，人口的增長也受到很大影響。總的來說

15、 1951-1962 年的人口增長的隨機誤差不是服從正態(tài)分布，由于上面的曲線擬合是用最小二乘法，所以很難保證擬合的準確性。因此我們再選擇 1963 年作為初始年份對表 1 中的數(shù)據(jù)進行擬合。2、 將 1963 年看成初始時刻即t 0 ，以 2005 年為t 32 作為終時刻。運用Matlab 編程（程序見附錄 2）得到相關(guān)的參數(shù) xm 151.4513 , r 0.0484 ，可以算出可決系數(shù) R 2 0.9994 得到中國各年份人口變化趨勢的另一擬合曲線：x(t) 151.4513151.4513e1(1) 0.0484t69.1（7）根據(jù)曲線（7）我們可以對 2010 年（ t 47 ）、

16、2020 年（ t 57 ）、及 2033 年（ t 70 ）進行預(yù)測得（單位：千萬）：結(jié)果分析：1963 年-1979 年其間，人口的增長基本上是按照自然的規(guī)律增長，特別是在農(nóng)村是這樣，城市受到收入的影響，生育率較低，但都有規(guī)律可尋。總的來 說，人口增長的外界大的干擾因素基本上沒有，可以認為這一階段隨機誤差服從正態(tài)分布；1980-2005 年這一時間段，雖然人口的增長受到國家計劃生育政策的控制，但計劃生育的政策是基本穩(wěn)定的，這一階段隨機誤差也應(yīng)服從正態(tài)分布（當然均值與方差可能不同）因此用最小二乘法擬合所得到的結(jié)果應(yīng)有較大的可信度。3、從 1980-2005 年，國家計劃生育政策逐漸得到完善及

17、貫徹落實，這個時期的人口增長受到國家計劃生育政策的控制，人口的增長方式與上述的兩個階段都不同。因此我們進一步選擇 1980 年作為初始年份 2005 年作為終時刻進行擬合。運用 Matlab 編程（程序見附錄 3）得到相關(guān)的參數(shù) xm 153.5351 , r 0.0477 ，可以算出可決系數(shù)R 2 0.9987 得到中國各年份人口變化趨勢的第三條擬合曲線：x(t) 153.5351e153.53511(1) 0.0477t98.705（8）根據(jù)曲線（7）我們可以對 2010 年（ t 30 ）、2020 年（ t 40 ）、及 2033 年（ t 53）進行預(yù)測得（單位：千萬）：結(jié)果分析：這

18、一時期，國家雖然對人口大增長進行了干預(yù)，但國家的計劃生育的政策是基本穩(wěn)定的，在此其間沒有其他大的干擾，所以人口增長的隨機誤差應(yīng)服從正態(tài)分布。所以我們的結(jié)果應(yīng)是比較可信的。我們分別根據(jù)擬合曲線（6）、（7）、（8）對各年份中國總?cè)丝谶M行預(yù)測得到結(jié)果如表 2：全國總?cè)丝陬A(yù)測（單位：千萬）表 2 各年份全國總?cè)丝谟貌煌瑪M合曲線預(yù)測數(shù)（單位：千萬）年份預(yù)測曲線預(yù)測曲線預(yù)測曲線（8）（6）（7）20002003200620092012201520182021202420272030203320362039204220452048由上表可以看出：用擬合曲線（6）預(yù)測得到的數(shù)據(jù)比較大，在 2024 年總?cè)丝?/p>

19、就已經(jīng)超過了千萬，而且一直以比較快的速度增長到 2048 年達到了千萬。用擬合曲線（7）預(yù)測得到的數(shù)據(jù)偏小，到 2048 年人口只有千萬。相比較而言用擬合曲線（8）預(yù)測的數(shù)據(jù)比較接近附件 1 中的預(yù)測。畫出圖形如圖 1：圖 1：對各年份全國總?cè)丝跀?shù)的預(yù)測模型：按年齡分布的 Leslie 模型2一、模型的準備將人口按年齡大小等間隔地劃分成m 個年齡組（譬如每 10 歲一組），模型要討論在不同時間人口的年齡分布，對時間也加以離散化，其單位與年齡組的間隔相同。時間離散化為t 0,1,2.設(shè)在時間段t 第i 年齡組的人口總數(shù)為ni(t),i 1,2,m ，定義向量n(t) n1(t), n2(t),

20、nm(t)T ，模型要研究的是女性的人口分布n(t) 隨t 的變化規(guī)律，從而進一步研究總?cè)丝跀?shù)等指標的變化規(guī)律。設(shè)第i 年齡組的生育率為bi，即bi是單位時間第i 年齡組的每個女性平均生育女兒的人數(shù)；第i 年齡組的死亡率為di，即di是單位時間第i 年齡組女性死亡人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比， si 1 di稱為存活率。設(shè)bi、s 不隨時間t 變化，根據(jù)bii、s 和nii(t) 的定義寫出n (t) 與nii(t 1) 應(yīng)滿足關(guān)系： n (t 1) mib n (t)ii（9）ni1(t 1) is1nii(t), i 1,2, m 1在（9）式中我們假設(shè)bi中已經(jīng)扣除嬰兒死亡率，即扣除了在時段t 以后

21、出生而活不到t 1的那些嬰兒。若記矩陣bbbb 12m1m s001L 0s 2則（9）式可寫作（10） 00sm10 n(t 1) Ln(t)（11）當 L、n(0) 已知時，對任意的t 1,2,有（12）若（10）中的元素滿足n(t) Lt n(0)（） si0 , i 1 , 2 , , m 1 ；（） bi 0 ,i 1 ,2 , m ，且至少一個bi0 。則矩陣 L 稱為 Leslie 矩陣。只要我們求出 Leslie 矩陣 L 并根據(jù)人口分布的初始向量n(0) ，我們就可以求出t 時段的人口分布向量n(t) 。二、模型的建立我們以 2001 年為初始年份對以后各年的女性總數(shù)及總?cè)丝?/p>

22、數(shù)進行預(yù)測，根據(jù)附件2 中所給數(shù)據(jù)，以一歲為間距對女性分組。計算 2001 年處在各個年齡上的婦女人數(shù)的分布向量ni附件 2 給了 2001 年中國人口抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，提取為表 3(0)（,i 0,1,2,90) ：表3城市男147907城市女147465鎮(zhèn)男80279鎮(zhèn)女77976鄉(xiāng)男394690鄉(xiāng)女372242根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，可以算出 2001 年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口占 2001 年全國總?cè)丝诘谋嚷史謩e為：我們由表 1 數(shù)據(jù)知 2001 年全國總?cè)丝赯 127.627 （單位：千萬），因此可以算0出 2001 年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的總?cè)丝诜謩e為（單位：千萬）：z p zss0 30.885 、 z

23、z p zz0 16.548 、 zx p zx0 80.194根據(jù)附件 2 給的 2001 年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)各個年齡段的女性比率，可以分別算出 2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)處在第i(i 0,1,2,90) 年齡段的女性的總數(shù)分別為n (0) , n1i2i(0) , n3i(0) 。以城市為例，設(shè) 2001 年城市中處在i 年齡段婦女占城市總?cè)丝诒嚷史謩e為 P ，則n (0) P Z（鎮(zhèn)、鄉(xiāng)類似）。于是可以算出 2001 年處在第i1iisi(i 0,1,2,90) 年齡段上的婦女總?cè)藬?shù)n (0) ni1i(0) n2i(0) n3i(0) （見附錄 7）。（2）計算處在第i(i 0,1,2,90)

24、 年齡段的每個女性平均生育女兒的人數(shù)b (i 0,1,2,90) 。附件 2 中分別給出了 2001 年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)育齡婦女（15 歲49i歲）的生育率（此處應(yīng)該是包含男孩和女孩） i(i 0,1,90) （ i 15 或i 49 時都為0），則可以分別算出 2001 年處在第i(i 0,1,90) 年齡段的城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)育齡婦女總共生育的小孩數(shù)（包含男孩和女孩），記為：H(i 15,16,49) , H1i2i(i 15,16,49) , H3i(i 15,16,49) 。以城市為例計算 H1i(i 15,16,49) ：H(i 15,16,49) b1i1i* n (0)(i 15,16,4

25、9) （鎮(zhèn)、鄉(xiāng)類似）。1i附件 2 中還分別給出了 2001 年市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的男女出生人口性別比c, c12, c （女3100 計），據(jù)此可以分別計算出城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)女孩的出生率v ci(i 1,2,3) 。由i100 ci此就可以求出 2001 年處在第i(i 15,49) 年齡段的每個女性平均生育女兒的人數(shù)：H v H v H vb 1i1i2i2n (0)i3i3(i 15,49) ，由于總和生育率： S 49i15b 1.389經(jīng)計算得到總和生育率小于，誤差很大，我們對生i育率進行修正： bi (1.8 v1 S)/S 1) * bi具體計算結(jié)果見附錄 7。(3) 計算第i 年齡段的女性

26、總存活率率di(i 0,1,2,90) ：記第i(i 0,1,2,90) 年齡段的女性的死亡率為d i 。附件 2 中分別給出了城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)處在第i ( i 0 ,1,2 , ,90 ) 年齡段的女性死亡率d, d, d(i 0,1,2,90) ，則處在第i 年齡段的女性總死亡率d (i 0,1,2,90)1i2i3ii為：d n (0) b nd1i1i2i2iin b3i n(0)3i(i 0,1,2,90) ，(0)i于是總存活率為： si 1 di見附錄 4。用 EXCEL 對計算出來的數(shù)據(jù)進行整理，然后運用 MATLAB 軟件進行編程，計算出 Leslie 矩陣，于是可以用上面(12

27、)式進行預(yù)測。三、對模型結(jié)果作進一步討論我國人口發(fā)展形勢復(fù)雜，目前人口的低生育水平面臨著嚴峻的挑戰(zhàn)，下面我們分別從如下方面分析預(yù)測我國人口發(fā)展將要面臨的復(fù)雜局面。人口總量與勞動力人口的發(fā)展變化根據(jù)考慮種群結(jié)構(gòu)的 Leslie 離散模型，利用 2001 年的數(shù)據(jù)建立人口預(yù)測模型。通過分析，計算出我國人口的預(yù)測值，對應(yīng)作出的我國勞動年齡人口與總?cè)丝诘恼劬€圖如下：圖 2 我國全國總?cè)丝谂c勞動年齡人口折線圖根據(jù)圖 2 可以知道從 2001 年到 2023 年預(yù)測我國全國總?cè)丝谑浅尸F(xiàn)上升趨勢的， 隨后幾年呈現(xiàn)緩慢下降的趨勢?？?cè)丝谠?2010 年、2020 年分別達到億人和億人，在2023 年達到峰值億

28、人，在 2033 年達到億人。把預(yù)測數(shù)值與附件 2 中所提供的預(yù)測數(shù)值進行比較，發(fā)現(xiàn)我們預(yù)測的未來人口的高峰期提前 10 年。這一方面可能由我國男女的出生性別比例中女性所占的比例較小的原因；另一方面，我們計算出人口更替率僅為（此為 5 年的均值），而中外專家對我國 90 年代中期以來的人口更替率的計算結(jié)果為（見附錄 10），兩者相差甚遠，這說明附錄-提供的數(shù)據(jù)可能不夠真實，從而導致了我國人口峰值的預(yù)測年份提前。根據(jù)圖 2，我國勞動年齡人口龐大，15-64 歲的勞動年齡人口 2010 年為億人， 2013 年將達到高峰億人，隨后勞動年齡人口呈現(xiàn)下降的趨勢。由此，可知在相當長的時間內(nèi)，我國不缺勞動

29、力，但需要加強勞動力結(jié)構(gòu)性的調(diào)整，同時由于我國計劃生育等宏觀政策的影響，近幾年總和生育率已降低到，并將穩(wěn)定在的水平上，所以經(jīng)過較長的時期，我國的勞動年齡人口將有所降低。人口老齡化與人口撫養(yǎng)比通過計算分析人口結(jié)構(gòu)持續(xù)老齡化，運用 Leslie 離散模型，通過 MATLAB 軟件計算出我國 60 歲以上與 65 歲以上的老齡人口數(shù)，做出散點圖如下：圖 3我國老年人口預(yù)測值的折線圖從圖 3 可以直觀的看出我國老齡人口在持續(xù)增加，說明我國老齡化進程在加速。同時做出未來我國老齡人口占總?cè)丝诘谋壤恼劬€圖如下：圖 4我國老齡人口占總?cè)丝陬A(yù)測比例的折線圖從圖 3，圖 4 得到：2001 年我國 60 歲以上

30、老年人口已達到億人，占總?cè)丝诘?。到 2020 年，60 歲以上老年人口將達到億人比重為%；65 歲以上老年人口將達到億人比重從 2000 年的%增長到%。預(yù)計本世紀 40 年代中后期形成老齡人口高峰平臺，60 歲以上老年人口達億人，比重達%；65 歲以上老年人口達億人，比重達%。綜上可知我國老齡人口數(shù)量大，老齡化速度快，高齡趨勢明顯，加上我國人口基數(shù)大，所以我國是個老齡人口多的國家。老齡化也在一定程度上導致了我國人口撫養(yǎng)比的不斷增高。下面計算人口撫養(yǎng)比指數(shù)：設(shè)l , l112與ll 2分別為男性與女性中具有勞動能力的年齡組，則j 時段具有勞動能力的人口為L(j) l2il11 K ( j)N

31、(i, j) l2i1ilK (j)N(i, j) ,i而N( j) L( j) 為j 時段由社會撫養(yǎng)的失去勞動能力與老人或尚未具有勞動能力的為成年人的數(shù)量。定義社會的撫養(yǎng)比指數(shù) ( j) N(j) L(j)，即平均每一勞動者撫養(yǎng)的無勞動L(j)能力的人數(shù)。我們以 014 歲為沒有勞動能力的兒童，以 15-64 歲為具有勞動能力的年齡勞動人口，以 65 歲及以上的為老齡人口。首先，通過 MATLAB 編程計算出 2002 到2051 年 0-14 歲、15-64 歲、65 歲及 5 以上三段的人數(shù)；其次，根據(jù)人口撫養(yǎng)比的含義，計算出每一年份的人口撫養(yǎng)比得出人口撫養(yǎng)比。得出的每年人口撫養(yǎng)比的折線

32、圖如下：圖 5 預(yù)測人口撫養(yǎng)比從圖 5 可以看出預(yù)測的以后各年的人口撫養(yǎng)比呈增長的趨勢。人口撫養(yǎng)比比較高主要原因有：每年新生嬰兒數(shù)目在增加；老齡化的加劇，老齡人口數(shù)量大；15-64 歲年齡段中的人的殘疾、生病而無勞動能力等。人口調(diào)控與管理現(xiàn)階段我國生育水平的不穩(wěn)定性，根據(jù)建立的 Leslie 模型，運用 MATLAB 軟件計算出 2000 年到 2050 年我國育齡婦女（15-49 歲）人口，并做出的散點圖如下：圖 6未來我國育齡婦女（15-49 歲）人口預(yù)測從圖 6 中可以看出我國育齡婦女（15-49 歲）人口在 2010 年左右到達到高峰， 圖 7未來我國生育旺盛期育齡婦女（20-29）人

33、數(shù)預(yù)測從圖 7 我們發(fā)現(xiàn)，我國生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)在 2012 年將達到高峰，到 2025 年左右有進入一個小低谷，然后再 2037 年左右有達到一個小高峰。第二個我國生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)小高峰的原因在于在 2012 年人口出生高峰期的女嬰到 2037 年時達到生育旺盛期，因此，在 2025 年生育旺盛期育齡婦女（20- 29）人數(shù)達到低谷時有回升的形勢。6、誤差分析與靈敏度分析一、模型的殘差分析：1、運用 Matlab 軟件計算出用 1954 年到 2005 年的總?cè)丝跀?shù)進行擬合產(chǎn)生的殘差, 再利用 EXCEL 作出殘差的散點圖如下：圖 8 殘差分析從圖 8

34、可以看出殘差在坐標軸x 0 上下波動，但是，不是呈現(xiàn)正態(tài)分布，并且殘差絕對值之和為，是比較大，因此擬合的效果不太好。2、利用 1963 年到 2005 年的總?cè)丝跀?shù)，根據(jù) Logistic 模型的形式，用 Matlab 軟件進行擬合，并求出殘差序列，再利用 EXCEL 進行處理，并作出殘差散點圖如下：圖 9 殘差分析圖通過圖 9，可以看出殘差值大致分布在坐標軸x 的上下，呈現(xiàn)對稱分布，又有Matlab 軟件計算出擬合的殘差絕對值之和為，因此效果較好。3、利用 1980 年到 2005 年的人口總數(shù)居，同樣運用 Matlab、EXCEL 軟件進行分析、處理，作出散點圖如下：圖 10 殘差分析圖通

35、過 Matlab 軟件計算，得出擬合的殘差絕對值之和為，從圖 10 可以看出，圖形基本關(guān)于坐標軸x 0 對稱，所以你和效果比較好。二、靈敏度分析：1、在不同的總合生育率k 下按照前面的方法分別計算從 2001 年到 2050 年全國人口總數(shù)的預(yù)測值（程序見附錄 6），并畫出圖形如圖 11圖 11：在不同的 k 值下對各年份全國總?cè)丝跀?shù)的預(yù)測由圖 11 可以看出當k 值很小時人口增長比較緩慢，達到峰值后人口數(shù)量很快下降出現(xiàn)嚴重負增長；當k 值很大時人口增長速度很快，達到峰值后下降的速度緩慢，在此情況下人口數(shù)量急劇膨脹。只有當k 值適中時，總?cè)丝谠鲩L才比較穩(wěn)定。2、再在不同的總和生育率k 下按照前

36、面的方法分別計算從 2001 年到 2050 年全國老齡化變化趨勢（程序見附錄 6），并畫出圖形如圖 12圖 12：在不同的k 值下對各年份老齡化變化趨勢由圖 12 可以看出k 值越小，老齡化增大的速度越快； k 值越大老齡化指數(shù)增長平緩年齡結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，有利于社會發(fā)展。由以上分析可知國家在制定人口政策時要多方面考慮，如果只看重對人口總數(shù)的控制可能導致社會老齡化嚴重、勞動力不足這顯然是不利于社會經(jīng)濟發(fā)展的；相反如果為了防止社會老齡化加快而放任人口的增長，也會導致社會人口過多對資源和環(huán)境帶來巨大壓力。因此只有掌握好一個“平衡點”正確制定政策才能使國民經(jīng)濟持續(xù)增長， 人民生活水平不斷提高。7、模型的評

37、價與推廣一、模型的優(yōu)點：1、在用模型對各年全國人口總數(shù)預(yù)測時結(jié)合實際情況，分別用不同時間段的數(shù)據(jù)擬合確定了三個預(yù)測函數(shù)。并對三個函數(shù)預(yù)測的數(shù)據(jù)進行了對比分析，使模型的計算結(jié)果更加準確。2、利用 EXCEL 軟件對數(shù)據(jù)進行處理并作出各種平面圖，簡便，直觀、快捷；3、運用多種數(shù)學軟件進行計算，取長補短，使計算結(jié)果更加準確;4、在模型中我們充分考慮到不同年齡的個體具有不同的生育能力和死亡率，采用 leslie 模型，建立年齡結(jié)構(gòu)的離散模型，并通過合理假設(shè)，在時間跨度不大的前提下，對人口數(shù)量僅此進行了預(yù)測，得到人口數(shù)量變化趨勢圖 2 與課題中未來我國總?cè)丝?，勞動人口及人口扶養(yǎng)比預(yù)測 及未來我國人口老齡

38、化預(yù)測趨勢圖基本一致。因為原始數(shù)據(jù)得到的人口總和生育率跟實際情況不符，我們對此進行了合理修正，使預(yù)測更為準確。在模型中我們還進行了參差分析，在模型中我們對不同的平均婦女生育胎數(shù)下人口總數(shù)及老齡化趨勢進行了分析，得到適合平均生育胎數(shù)的最佳值。二、模型的缺點：在模型假設(shè)中我們bi及 p 不隨時段的變遷而改變這一理想狀態(tài)下，但出生率及死i亡率會隨時間的變化而有所該變，本模型沒有建立bi型，因而存在一定的誤差；三、模型的改進：與死亡率隨時間變化的動態(tài)模隨著人民的生活水平的提高和醫(yī)療衛(wèi)生的改善，各年齡的死亡率不斷下降，存活率不斷提高。因此我們可以對 Leslie 模型進行進一步改變：記 j 時段 i年齡

39、組中女性所占的百分比為 K ( j) ，并設(shè)為育齡女性的年齡組，則 ji時段新生兒為我們引入控制變量h(i, j) ，使得i2ii1h(i, j) =1，這里i1 15 ， ij 49 ， h(i, j) 稱為女性生育模式，我們將 lestie 矩陣變成： Nj 1 A( j) B( j)* Nj0s ( j)0 0A( j) 0其中00sm1( j)0在一定時期內(nèi)si( j) （這里 j 從 0 到 90）， 為平均生育胎數(shù)， h(i, j) 和 Ki( j) 可視為與 j 無關(guān)的常數(shù)，我們可以通過控制結(jié)婚年齡和生育兩胎間的年齡差來求h(i, j) 的最佳值，從而達到控制人口數(shù)量和年齡結(jié)構(gòu)的

40、目的。四、模型的推廣：本文首先不考慮年齡結(jié)構(gòu)對人口增長的影響，建立 Logistic 人口預(yù)測模型；然后，逐步改進，考慮年齡結(jié)構(gòu)對人口增長的影響，建立 Leslie 模型，對人口增長進行預(yù)測，這種由簡到繁，逐步加深的思路，可以應(yīng)用到較復(fù)雜問題的處理上。參考文獻姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學模型M.北京:.2003 年 8 月第三版；姜啟源.數(shù)學模型M.北京: 高等教育出版社.1987 年 4 月第一版；于洪彥.Excel 統(tǒng)計分析與決策M.北京:高等教育出版社.2006 年 4 月；胡守信,李柏年.基于 MATLAB 的數(shù)學實驗M.北京:科學出版社.2004 年 6 月；揚啟帆,康旭升,等.數(shù)學建

41、模M.北京: 高等教育出版社.2006 年 5 月；于學軍.中國人口科學2000 年第 2 期,時間:2000-4-6,中國人口信息網(wǎng).附錄附錄 1：t=0:51;x=%令1954年為初始年668395;c,d=solve(c/(1+(c/*exp(-5*d)=,c/(1+(c/*exp(-20*d)=,c,d) ;%求初始參數(shù)b0= , ;%初始參數(shù)值fun=inline(b(1)./(1+(b(1)/.*exp(-b(2).*t),b,t); b1,r1,j1=nlinfit(t,x,fun,b0)y= ./(1+( .*exp( .*t); %非線性擬合的方程plot(t,x,*,t,y

42、,-or) %對原始數(shù)據(jù)與曲線擬合后的值作圖R1=r1.2;R2=(x-mean(x).2;R=1-R1/R2%可決系數(shù)W=sum(abs(r1)%殘差絕對值之和附錄 2：t=46:3:94y= ./(1+( .*exp( .*t)%對總?cè)丝谶M行預(yù)測t=0:42; %令1963年為初始年x=8395;c,d=solve(c/(1+(c/*exp(-5*d)=,c/(1+(c/*exp(-20*d)=,c,d); %求初始參數(shù)b0=,;%初始參數(shù)值fun=inline(b(1)./(1+(b(1)/.*exp(-b(2).*t),b,t); b1,r1,j1=nlinfit(t,x,fun,b0

43、)y=./(1+.*exp( .*t); %非線性擬合的方程plot(t,x,*,t,y,-or) %對原始數(shù)據(jù)與曲線擬合后的值作圖R1=r1.2;R2=(x-mean(x).2;R=1-R1/R2%可決系數(shù)W=sum(abs(r1)%殘差絕對值之和附錄 3：t=37:3:85y=./(1+.*exp( .*t)%對總?cè)丝谶M行預(yù)測t=0:25; %令1980年為初始年x=;c,d=solve(c/(1+(c/*exp(-5*d)=,c/(1+(c/*exp(-8*d)=,c,d); %求初始參數(shù)b0= , - ;%初始參數(shù)值fun=inline(b(1)./(1+(b(1)/.*exp(-b(

44、2).*t),b,t); b1,r1,j1=nlinfit(t,x,fun,b0)y= ./(1+.*exp( .*t); %非線性擬合的方程plot(t,x,*,t,y,-or) %對原始數(shù)據(jù)與曲線擬合后的值作圖R1=r1.2;R2=(x-mean(x).2;R=1-R1/R2%可決系數(shù)W=sum(abs(r1)%殘差絕對值之和t=20:3:53y= ./(1+.*exp( .*t)%對總?cè)丝谶M行預(yù)測附錄 4：計算 0-14 歲，15-64 歲，65 歲及以上的程序、繪畫出未來我國育齡人數(shù)的程序N0=N;%第0年（2001年）的女性個年齡段的人口數(shù)A=eye(90);for i=1:90A(

45、i,:)=A(i,:)*b(1,i);end A;00000000000;M=sum(c1);%總合生育率d=zeros(91,1);B=c1;A;L=B,d;%構(gòu)造的lestie矩陣for i=0:49H=Li*N0;%第i年人口總數(shù)Q(1,i+1)=sum(H(16:50,:);%第i年15-49育齡婦女總數(shù)P(1,i+1)=sum(H(21:30,:);%第i年20-29生育旺盛期婦女總數(shù)endx=2001:2050; y1=Q*10; y2=P*10;plot(x,y1,*)plot(x,y2,-or) grid on附錄 5：計算2001到2051年的人口總數(shù)程序%女性占總?cè)丝诘谋壤?/p>

46、N0=N/10;%第0年（2001年）的女性各個年齡段的人口數(shù)(千萬）N00=N0/10%把單位化成億（人） A=eye(90);for i=1:90A(i,:)=A(i,:)*b(1,i);end A;%由2001年原始數(shù)據(jù)得到的生育率%修正后的生育率M=sum(c1);%總合生育率d=zeros(91,1);B=c1;A;L=B,d;%構(gòu)造的lestie矩陣for i=0:1:50X=Li*N0;%第i年后女性各個年齡段的人口數(shù)(千萬）Z=X./p;%第i年在各個年齡段的人口總數(shù)預(yù)測K(i+1,1)=sum(Z);S1=sum(Z(1:15,:);%第i年0-14歲的總?cè)藬?shù)D(1,i+1)=S1;S2=sum(Z(16:65,:);%第i年15-64歲的總?cè)藬?shù)S3=sum(Z(61:91,:);%第i年60-90歲人數(shù)G(1,i+1)=S3;E(1,i+1)=S2;S4=sum(Z(66:91,:);%第i年65-90歲人數(shù)F(1,i+1)=S4;endK%2001-2051的人口總數(shù)%年齡在