用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型給出方陣的(圖文)

1、用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型給出方陣的(圖文)論文導(dǎo)讀：本文只是利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型給出了非奇異方陣和零特征值指標(biāo)為1的方陣的任意次方根，而矩陣的根顯然不是唯一的。關(guān)鍵詞：Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，次方根，譜性質(zhì)1 引言矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型在矩陣?yán)碚撝杏兄匾膽?yīng)用，由于矩陣的多項(xiàng)式函數(shù)與矩陣本身的良好關(guān)系和其他類型的解析函數(shù)都可以表示成矩陣的多項(xiàng)式函數(shù)，故用矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型來處理與矩陣函數(shù)有關(guān)的問題就方便得多。本文就是從這一點(diǎn)出發(fā)研究了矩陣的任意次方根。免費(fèi)。由于是平凡的情況，故對文中的所有值都取大于1的任意自然數(shù)。首先,我們指出用到的定理7的不完善之處,并給出了相應(yīng)的補(bǔ)充，即引理1。定義1

2、 設(shè)矩陣，且知道它的最小多項(xiàng)式是, 其中, 是的個不同特征值，是的指標(biāo)，。那么對任意復(fù)值函數(shù)，只要保證各式有意義，就說是定義在譜上的。文獻(xiàn)【2】第111頁的定理7:設(shè)，與分別是定義在上與的譜上的復(fù)值函數(shù)，又設(shè)，那么為定義在上的復(fù)值函數(shù)，且。該定理存在的問題：定理的證明用到函數(shù)在的譜上的階導(dǎo)數(shù);，這一點(diǎn)在定理的條件定義在上;下是不能保證的。也就是說命題函數(shù)在的譜上的階導(dǎo)數(shù);不一定存在。下面給出反例來說明這一點(diǎn)：反例：設(shè)矩陣,取,那么有是一個零陣。取,那么在上有定義,但在上無定義。故需把原定理的條件加強(qiáng)為函數(shù)在的譜上的處有至少階導(dǎo)數(shù);。修改后的定理7為：引理1 設(shè)，是定義在上的復(fù)值函數(shù)，是定義在的

3、譜 上且在處有至少階導(dǎo)數(shù)，這里是矩陣的特征值的指標(biāo)，而,。又設(shè),那么為定義在上的復(fù)值函數(shù)且。證明 設(shè)是的個不同特征值，它們的指標(biāo)分別是，那么情形1 設(shè)是多項(xiàng)式的情形。令表示在上的Hermite插值多項(xiàng)式，那么。且易知在上具有相同的值，從而有情形2 設(shè)為一般復(fù)值函數(shù)情形。證明思路是找一個多項(xiàng)式，使得：1與在上有相同的值；2與在上有相同的值。假設(shè)存在這樣的，那么有事實(shí)上，假設(shè)記,并應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么于,我們有; ;()從而我們只需取即可，其中;。免費(fèi)。2 主要結(jié)論及其證明定義2 設(shè)對于階方陣，如果存在階方陣，使得，那么稱矩陣是矩陣的一個次方根。定理 1假設(shè)方陣的零特征值的指標(biāo)不大于1，那么它存

4、在任意次的方根。證明 分兩種情況來證。情形1 當(dāng)非奇異時，設(shè)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是，其中是對應(yīng)于非奇異方陣的特征值的階Jordan塊。設(shè)是定義在上的復(fù)多項(xiàng)式函數(shù)，對任意的自然數(shù)，取的主分支，令,定義矩陣(1)式中各對角塊如式(3)所示。再定義上的復(fù)函數(shù)，并設(shè)復(fù)函數(shù)，那么根據(jù)引理1，得，即對上面定義的矩陣滿足，從而是的一個次方根，并且是的多項(xiàng)式。情形2 當(dāng)?shù)牧闾卣髦档闹笜?biāo)為1時，零對應(yīng)的Jordan塊都是1階的。不妨設(shè)有個非零特征值，那么,其中是零特征值的個數(shù)，是對應(yīng)于的非零特征值的階Jordan塊，那么類似于情形1容易得 (2) 滿足，即是的一個次方根。其中的形式如(3)所示。注意，定理1的逆

5、并不成立，即如果一個方陣有任意次的方根，并不能保證它的零特征值的指標(biāo)不大于1。這是因?yàn)榱闾卣髦档闹笜?biāo)不大于1;只是一個必要條件，而非充分條件。一個簡單的例子可以說明這一點(diǎn)：取方陣4，它的零特征值的指標(biāo)是2，它有一個平方根 (5) 如下，但是它沒有立方根，當(dāng)然也無更高次的方根。上面的結(jié)論也可推廣到塊對角陣上。(2)， (4)， (5)定理2 設(shè)方陣為塊對角陣：，假設(shè)對對角線上的每一個子矩陣都有零特征值的指標(biāo)不大于1，那么存在次方根。其形式可由(2)和(3)直接推廣給出。證明 因?yàn)樯厦嫘问降膲K對角陣的特征值是對角線上各塊子矩陣特征值的并，且對在上有定義的任意復(fù)值函數(shù)滿足【2】：所以由定理1的證明可

6、知該結(jié)論成立。下面我們來討論的譜性質(zhì)。引理2 設(shè)矩陣,它有最小多項(xiàng)式,且是定義在上的復(fù)值函數(shù),那么存在與無關(guān)的矩陣,;,使(6)并且，這些矩陣線性無關(guān)，它們與可交換且彼此之間也可交換。引理2是的譜分解定理，其證明可參見文獻(xiàn)【2】第113-114頁。由文獻(xiàn)【2】中的定義知，矩陣只與的最小多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)有關(guān)，而與無關(guān)。且有 ，其中,。于是取的主分支，令，那么我們可得到矩陣的次方根的譜分解定理。定理3 設(shè),是它的個不同的特征值，指標(biāo)分別是,，是它的最小多項(xiàng)式,假設(shè)它滿足定理1的條件，那么有如下形式的一個次方根，這里,同(6)式。證明 由引理1 可直接得出。最后，我們給出譜射影定理。定理4 設(shè)滿足定理1

7、的條件，并設(shè)為它的個特征值，那么有是的特征值。證明 由定理1直接得證。3 結(jié)束語由文獻(xiàn)【2】第105頁的命題6知道，當(dāng)矩陣是Hermite 正半定正定陣時，是它的唯一的Hermite正半定正定次方根。免費(fèi)。當(dāng)時，定理1 就簡化為二階方陣的平方根，相關(guān)結(jié)論在文獻(xiàn)【1】中已有比擬詳細(xì)地討論；而對，它就簡化為二階方陣的立方根，也已有文獻(xiàn)討論過了。本文只是利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型給出了非奇異方陣和零特征值指標(biāo)為1的方陣的任意次方根，而矩陣的根顯然不是唯一的。于是是否還有其他形式的根，如果有那么它們之間有著什么樣的聯(lián)系、有多少個都有待進(jìn)一步的研究。參考文獻(xiàn)： 胡結(jié)梅. 二階方陣的平方根和三角方陣的平方根. 數(shù)學(xué)通報，1997，第11期：35 - 37 陳公寧. 矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用. 北京：高等教育出版社，1990. 王建鋒. 求矩陣的Jord