一類具有對稱性二階微分方程的異宿軌道(圖文)

1、一類具有對稱性二階微分方程的異宿軌道(圖文)論文導(dǎo)讀：討論一類具有對稱性的二階微分方程異宿軌道的存在性和唯一性.關(guān)鍵詞：變分法，二階微分方程，異宿軌道1 引言異宿軌道的研究在沖擊波和孤立波問題中得到充分的重視【1】,它在微分系統(tǒng)定性分析中作為特殊的不變集也有非常重要的地位,也因此受到廣泛關(guān)注,也確的大量研究成果.本文將用變分方法討論一類二階微分方程(ODE1)異宿軌道的存在性問題.對于一些偏微分方程,如KdV方程、非線性Schrdinger方程等,當(dāng)考慮對于一個空間變量與一個時間變量情形下的某種特殊解(如行波解)時,可以轉(zhuǎn)化為這類常微分方程【2】,它也是構(gòu)成二階動力系統(tǒng)的根本常微分方程.因而分

2、析這類方程的公共特性,找出其異宿軌道存在的條件,對分析眾多具體物理方程的異宿軌道有極其重要的作用.本文所討論的異宿軌道是指方程(ODE1)滿足的解.假設(shè)方程(ODE1)滿足如下條件：(P2)(P3)是大于1的實數(shù);(P4)我們的主要結(jié)果是：定理1 假設(shè)以下問題的解.因此,在證明定理(1.1)之前,我們需要先給出兩個重要的引理【3】.引理1 假設(shè)問題(2.2)滿足條件(P1)(P4),其中,那么存在唯一正解,為增函數(shù).證明 顯然是問題(2.2)的一個上解,同時是問題(2.2)的一個下解,這里的為充分小的常數(shù).由最大值原理【4】知問題(2.2)的任意解在區(qū)間都滿足,這說明問題(2.2)存在一正解.

3、下面證明唯一性.由上下解方法【5】知道問題(2.2)的解中存在一個最大解,令為.假設(shè)是問題(2.2)的另一任意解,那么有.由于是(2.2 ) 的解,那么 (2.3) 用v乘(2.2)中的方程,并用u乘(2.3)式,積分并相減得化解得:這意味著一定有,所以問題(2.2)只有唯一解.最后證明是增函數(shù). 假設(shè)不是單調(diào)函數(shù),那么存在一個極小值點那么且,這顯然和(2.2)式矛盾.引理2 如果問題(2.1)滿足條件(P1)(P4),那么有唯一解,為遞增的奇函數(shù).證明 設(shè)是問題(2.2)在的解.把它延拓到區(qū)間的解為,這說明問題(2.1)的解是一奇函數(shù),再由引理1知問題(2.1)的解是一增函數(shù).唯一性同引理1

4、可得.其中是其上解, 是其下解.3 定理1的證明證明取一序列,在區(qū)間上考慮問題(2.1),即考慮以下問題(2.4)由引理2知問題(2.4)有唯一解.因為,所以有如下一致估計,(其中c為常數(shù)). (2.5)又因為是單調(diào)的,所以估計(2.5)式暗含(其中c為常數(shù)) .(2.6)因為如果在某點變大,由(2.5)式知將在一個長的區(qū)間上保持變大,這與完全變分后等于2的結(jié)果矛盾. 用對角線方法【3】可知,存在函數(shù)在有一子序列在有界區(qū)間上一致收斂,(2.7)其中為問題(1.1)的一解.我們可以推導(dǎo)出存在常數(shù)使得對任意的都有(2.8)事實上,對(即),引入能量函數(shù)由(3.2)式知所以由(2.8)式知不恒等于0

5、,再由(2.7)式知).既然,說明存在.又因為在增大時一定減小,所以唯一的可能是.又因為是非減的,說明.事實上, 是嚴(yán)格增函數(shù),否那么,能找到一點使得.把問題(1.1)中的方程在區(qū)間上積分,可得出矛盾.下面證明唯一性. 設(shè)為問題(1.1)的另一解,那么有四種可能.情況一： 和在區(qū)間上至少相交兩次.即能找到使得,.由引理1可得 (2.9) 因為所以(2.9)式不可能成立.情況二：和在區(qū)間上僅相交一次. 設(shè)交點為,在區(qū)間上積分,由得出矛盾.情況三: 和有唯一的負(fù)交點. 由(1.1)式的解為奇函數(shù)知和仍是(1.1)式的解,那么把這種情況轉(zhuǎn)化成為了前面兩種情況.情況四: 和無交點. 在區(qū)間上積分,使,顯然也矛盾.唯一性得證,整個定理的證明完畢.【參考文獻(xiàn)】【1】 C. C.Conley and J. A. Smoller, Viscosity matrices for two-dimensional nonlinear hyperbolicsystem.Comm. Pure Appl.Math.,1970,23：867-884.【2】高普云,非線性動力學(xué).長沙:國防科技大學(xué)出版社,2005.【5】 S. Carl andD. Motreanu, Extremal solutions of quasilinear para