機械控制工程基礎4

1、控制工程基礎 （第四章） 清華大學第四章 控制系統(tǒng)的頻率特性4.1 機電系統(tǒng)頻率特性的概念及其基本實驗方法4.2 極坐標圖（Nyquist圖）4.3 對數(shù)坐標圖（Bode圖）4.4 由頻率特性曲線求系統(tǒng)傳遞函數(shù)4.5 由單位脈沖響應求系統(tǒng)的頻率特性 * 4.6 對數(shù)幅相圖（Nichols圖）4.7 控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻響4.8 機械系統(tǒng)動剛度的概念 頻域法是一種工程上廣為采用的分析和綜合系統(tǒng)間接方法。另外，除了電路與頻率特性有著密切關系外，在機械工程中機械振動與頻率特性也有著密切的關系。機械受到一定頻率作用力時產(chǎn)生強迫振動，由于內(nèi)反饋還會引起自激振動。機械振動學中的共振頻率、頻譜密度、動剛度、抗振

2、穩(wěn)定性等概念都可歸結(jié)為機械系統(tǒng)在頻率域中表現(xiàn)的特性。頻域法能簡便而清晰地建立這些概念。 頻率特性的物理背景 對于一般線性系統(tǒng)均有類似的性質(zhì)。系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應稱為頻率響應。當輸入正弦信號時，線性系統(tǒng)輸出穩(wěn)定后也是正弦信號，其輸出正弦信號的頻率與輸入正弦信號的頻率相同；輸出幅值和輸出相位按照系統(tǒng)傳遞函數(shù)的不同隨著輸入正弦信號頻率的變化而有規(guī)律的變化，如下圖所示。 傅立葉正變換式傅立葉反變換式 見光盤課件（第四章第一節(jié)） 例：如下圖所示系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為 將s代之以j，即得到系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)為例：試求 的幅頻特性和相頻特性。解： 頻率特性的極坐標圖 （乃奎斯特圖，或乃氏圖） 乃奎斯特（H.

3、Nyquist)，18891976，美國Bell實驗室著名科學家 見光盤課件（第四章第二節(jié)）各型乃氏圖的低頻段 通常，機電系統(tǒng)頻率特性分母的階次大于分子的階次，故當時，乃氏圖曲線終止于坐標原點處；而當頻率特性分母的階次等于分子的階次，當時，乃氏圖曲線終止于坐標實軸上的有限值。 一般在系統(tǒng)頻率特性分母上加極點，使系統(tǒng)相角滯后；而在系統(tǒng)頻率特性分子上加零點，使系統(tǒng)相角超前。 令從-增長到0，相應得出的乃氏圖是與從0增長到十得出的乃氏圖以實軸對稱的，例如圖4-24所示的乃氏圖。 逆Nyquist圖 有時為了將無窮遠處的部分表示在原點附近，可畫逆極坐標圖，它是在極坐標上畫 圖，而不是 圖。F（j）的倒

4、數(shù)，稱為逆頻率特性函數(shù)，記作 顯然，逆幅頻和逆相頻特性函數(shù)與幅頻和相頻特性函數(shù)之間有如下的關系： 圖象稱為逆Nyquist圖。 頻率特性的對數(shù)坐標圖（伯德圖）伯德（H.W.Bode)，19051982，美國Bell實驗室著名科學家 圖4-25 幅頻特性坐標 伯德圖幅值所用的單位分貝（dB）定義為 n（dB）=201gN 若2=101，則稱從1到2為十倍頻程，以“dec.”（decade）表示。 圖4-26 相頻特性坐標 見光盤課件（第四章第三、四、五節(jié)）最小相位系統(tǒng)I型系統(tǒng)伯德圖低頻段高度的確定型系統(tǒng)伯德圖低頻段高度的確定頻率特性函數(shù)求取方法(1) 如果已知系統(tǒng)的微分方程，可將輸入變量以正弦函

5、數(shù)代入，求系統(tǒng)的輸出變量的穩(wěn)態(tài)解，輸出變量的穩(wěn)態(tài)解與輸入正弦函數(shù)的復數(shù)比即為系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)。(2) 如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可將系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的s代之以j，即得到系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)。(3) 可以通過實驗的手段求出。頻率特性函數(shù)實驗求取方法頻率特性函數(shù)實驗求取方法頻率特性函數(shù)實驗求取方法頻率特性函數(shù)實驗求取方法頻率特性函數(shù)實驗求取方法頻率特性函數(shù)實驗求取方法 由單位脈沖響應求系統(tǒng)的頻率特性 已知單位脈沖函數(shù)的拉氏變換象函數(shù)等于1，顯然，單位脈沖函數(shù)的傅氏變換象函數(shù)也等于1，上式說明（t）隱含著幅值相等的各種頻率。如果對某系統(tǒng)輸入一個單位脈沖，則相當于用等單位強度的所有頻率去激發(fā)系統(tǒng)，系統(tǒng)單位

6、脈沖響應的傅氏變換即為系統(tǒng)的頻率特性。單位脈沖響應簡稱為脈沖響應，脈沖響應函數(shù)又稱為權(quán)函數(shù)。 為了識別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，我們可以產(chǎn)生一個近似的單位脈沖信號（t）作為系統(tǒng)的輸入，記錄系統(tǒng)響應的曲線g(t),則系統(tǒng)的頻率特性為 （4.16） 對于漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，系統(tǒng)的單位脈沖響應隨時間增長逐漸趨于零。因此，可以對照式（4.16）對響應g(t)采樣足夠的點，借助計算機，用多點求和的方法即可近似求出系統(tǒng)頻率特性，即 對數(shù)幅相圖 （Nichols Chart）N.B.Nichols，美國Taylor儀器公司工程師，二戰(zhàn)期間參與MIT雷達及火炮控制研究。 對數(shù)幅相特性圖(Nichols圖)是描述系統(tǒng)頻率特性

7、的第三種圖示方法。該圖縱坐標表示頻率特性的對數(shù)幅值，以分貝為單位；橫坐標表示頻率特性的相位角。對數(shù)幅相特性圖以頻率作為參變量，用一條曲線完整地表示了系統(tǒng)的頻率特性，一些基本環(huán)節(jié)的對數(shù)幅相特性特性圖如下圖所示。 對數(shù)幅相特性圖很容易將伯德圖上的幅頻曲線和相頻曲線合并成一條來繪制。對數(shù)幅相特性圖有以下特點： 由于系統(tǒng)增益的改變不影響相頻特性，故系統(tǒng)增益改變時，對數(shù)幅相特性圖只有簡單地向上平移（增益增大）或向下平移（增益減?。?，而曲線形狀保持不變； G（）和1G（j）的對數(shù)幅相特性圖相對原點中心對稱，即幅值和相位均相差一個符號； 利用對數(shù)相幅特性圖，很容易由開環(huán)頻率特性求閉環(huán)頻率特性，可盡快確定閉環(huán)

8、系統(tǒng)的穩(wěn)定性及方便地解決系統(tǒng)的校正問題。由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性低頻時高頻時由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性另外，我們可以利用等M圓和等N圓由開環(huán)頻率特性求出閉環(huán)頻率特性。對于單位反饋系統(tǒng)，設前向通道傳遞函數(shù)為G(s), 則其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 (4.22) 在下圖所示的乃奎斯特圖上，向量OA表示 ，其中 為A點頻率。向量OA的幅值為 ，向量OA的相角為 。由點P（-1，j0）到A點的向量PA可表示為1十 。由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性向量OA與PA之比正好表示了閉環(huán)頻率特性，即 (4.23) 在 處，閉環(huán)頻率特性的幅值就是向量OA與PA的幅值之比，相位角就是兩

9、向量的相角之差，即夾角 ，如上圖所示。當系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性確定后，根據(jù)上圖就可求出閉環(huán)頻率特性。由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性設閉環(huán)頻率特性的幅值為M（），相位角為（）, 閉環(huán)頻率響應可表示為 類似于地圖上等高線的思路，我們可求出閉環(huán)頻率特性的等幅值軌跡和等相角軌跡，在由乃奎斯特圖確定閉環(huán)頻率特性及系統(tǒng)校正時，這將帶來方便。 等幅值軌跡（M圓）設 ，式中X和Y均為實數(shù)，則 （4.25）式（4.25）兩邊平方，可得 （4.26）如果M=1，由式（4.26）可求得X=-1/2，即為通過點（-1/2，0）且平行虛軸的直線。如果M1，式（4.26）可化成 (4.27) 該式就是一個圓的方程，其圓心為

10、，半徑為 。如下圖。在復平面上，等M軌跡是一族圓，對于給定的M值，可計算出它的圓心坐標和半徑。下圖表示的一族等M圓。由圖上可以看出，當M1時，隨著M的增大M圓的半徑減小，最后收斂于點（-1,j0）。當M1時，隨著M的減小M圓的半徑亦減小，最后收斂于點（0,j0）。M=1時，其軌跡是過點（-1/2,j0）且平行于虛軸的直線。 等相角軌跡（N圓） 相角為 即 設tan=N，則則 配方整理，可得 （4.28）由式（4.28）可看出，等相角軌跡是一個圓心為 ，半徑為 的圓。下圖表示的是一族等N圓。對于給定值的N圓，實際上并不是一個完整的圓，而只是一段圓弧。同時，由于與180的正切值是相同的, N圓對應

11、的具有多值性，例如=-35與=145對應圓弧是相同的。 應用乃奎斯特圖求閉環(huán)頻率特性 應用相同的比例尺，將等M圓和等N圓繪制在透明片上，然后再把它覆蓋在以相同比例尺繪制的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)乃奎斯特圖上，乃奎斯特圖與等M圓和等N圓的交點所對應的幅值與相角由M圓和N圓的參數(shù)決定，對應的頻率由開環(huán)乃奎斯特圖決定，這樣即可求出閉環(huán)頻率特性。找出G（j）與M圓和N圓的交點，就可繪出閉環(huán)頻率特性曲線。 應用Nichols圖線求閉環(huán)頻率特性仿照上述等M圓和等N圓的思路，在對數(shù)幅相特性圖上作出等M圓和等N圓，由它們軌跡構(gòu)成的曲線稱為尼柯爾斯圖線。尼柯爾斯圖線對稱于-180軸線，每隔360, M軌線和N軌線重復一

12、次，且在每個180的間隔上都是對稱的。在由開環(huán)頻率特性確定閉環(huán)頻率特性時，應用相同的比例尺，將尼柯爾斯圖線繪制在透明片上，然后再把它覆蓋在以相同比例尺繪制的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)對數(shù)幅相圖上，則開環(huán)頻率特性曲線G（j）與M軌線和N軌線的交點，就給出了每一頻率上閉環(huán)頻率特性的幅值M和相角。若G（j）軌跡與M軌線相切，切點處頻率就是諧振頻率，諧振峰值由M軌線對應的幅值確定。例:一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G（j）軌跡與M軌線和N軌線，如下圖所示。閉環(huán)頻率特性曲線如圖（b）所示。由于G（j）軌跡是與M=5dB的軌跡相切，所以閉環(huán)頻率特性的諧振峰值為 =5dB，而諧振頻率 。此外G（j）與M=-3dB軌跡

13、交點的頻率在1.21.4rad/s之間，采用插值計算可大致確定閉環(huán)截止頻率為 =1.3rads。 非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 對于非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)頻率特性可寫為 在求取閉環(huán)頻率特性時，在尼柯爾斯圖上畫出 的軌跡，由軌跡與M軌線和N軌線的交點，就可得到的某一頻率下的幅值和相角，用 乘以就可得到系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性。 系統(tǒng)頻域指標 一個典型的由質(zhì)量-彈簧-阻尼構(gòu)成的機械系統(tǒng)的質(zhì)量塊在輸入力f（t）作用下產(chǎn)生的輸出位移為y（t），其傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的頻率特性為 該式反映了動態(tài)作用力f（t）與系統(tǒng)動態(tài)變形y（t）之間的關系，如下圖所示。 實質(zhì)上 表示的是機械結(jié)構(gòu)的動柔度 ，也就是它的動剛度 的倒數(shù)，即 當 時 即該機械結(jié)構(gòu)的靜剛度為k 當 時，我們可以寫出動剛度的幅值 其動剛度曲線如下圖所示。 對 求偏導等于零，即 可求