《圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度與剛度計算》

1、 南京航空航天大學“材料力學”教案第4章圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度與剛度計算41教學要求與學習目標1正確理解關(guān)于剪應(yīng)力的基本概念：剪應(yīng)力與剪應(yīng)變的定義；彈性范圍內(nèi)的剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系剪切胡克定律；剪應(yīng)力互等定理。2正確理解圓軸扭轉(zhuǎn)時受力與變形的特點；掌握分析圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力分析方法；正確理解和應(yīng)用圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力公式與相對扭轉(zhuǎn)角公式，注意公式的應(yīng)用條件。3正確理解圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件與剛度條件，并能正確應(yīng)用其解決圓軸的強度與剛度問題4會解決簡單的扭轉(zhuǎn)超靜定問題。42教學大綱與學時分配1、圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力變形計算公式(1.5)2、與圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力、變形公式有關(guān)的幾何性質(zhì)(0.5)3、

2、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件與剛度條件(1.0)43講授內(nèi)容431圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力變形計算公式根據(jù)平衡條件，只能求得截面上的扭矩M,它是截面上剪應(yīng)力分布力系的X合力。因此，只知道M還不能確定截面上各點切力的大小。這就是應(yīng)力分析的靜不定性質(zhì)。為了確定截面上的剪應(yīng)力計算公式，必須應(yīng)用變形協(xié)調(diào)、物性關(guān)系、靜力學方程等三方面的條件。1、扭轉(zhuǎn)時的變形幾何關(guān)系圓軸受扭時，其表面的正方形網(wǎng)格發(fā)生剪切變形，但不發(fā)生軸向的伸長或縮短。且圓周線亦保持不變。根指表面的變形情況，作出圓軸扭轉(zhuǎn)時的“平面假定”，即：橫截面變形前為平面，變形后仍保持平面，只是相對轉(zhuǎn)過一角度。由此，得到自表面至中心剪應(yīng)變的變化規(guī)律Y（p）=p竽dx

3、上式表明剪應(yīng)變Y與到截面中心的距離P成正比。2、剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的物性理關(guān)系在彈性范圍內(nèi)，根據(jù)剪切虎克定律，到截面中心距離為P處的剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在正比關(guān)系：t=Gy3、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力分布由上述二式得到T（p）=Gp空dx這表明剪應(yīng)力亦與到截面中心的距離成正比。即截面上的剪應(yīng)力沿半徑方向線性分布，截面中心處為零；截面外沿最大。4、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力表達式因為橫截面上剪應(yīng)力分布力系的合力即為該截面上的扭矩，所以有靜力學方程JIT（p）dA|p=MxA綜合應(yīng)用上述三方面的結(jié)果，得到圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力、變形公式d_MdxGIPT（pk罕P上述應(yīng)力、變形公式中M圓軸截橫面上的扭

4、矩，由平衡條件求得；P截面上要求剪應(yīng)力的點到截面中心的距離；Ip橫截面的極慣性矩；G圓軸材料的切變模量；GIp圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度。5、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的最大剪應(yīng)力計算式MT=_maxWp其中Wp為扭轉(zhuǎn)截面模量。432與圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力、變形公式有關(guān)的幾何性質(zhì)1、實心圓截面的極慣性矩與扭轉(zhuǎn)截面模量TOC o 1-5 h z丫nd4nd3I=,W=p32p162、空心圓截面的極慣性矩與扭轉(zhuǎn)截面模量Ia4),wa4)p32p16【例題4一1】圖（a）中所示圓軸的直徑d=100mm,長度為21,l=500mm。B、C兩處承受外力偶分別為M1=7000Nm,M=5000Nm。若材料之剪切e1e2彈性模量為G=

5、82GPa。求：1試作軸的扭矩圖；2求軸的最大剪應(yīng)力,并指出其所在位置；求C截面對A截面的相對扭轉(zhuǎn)角。(b)iriaxMx/N*m5000圖41例題41圖【解】1畫扭矩圖根據(jù)上例中所述之方法可畫出扭矩圖如圖41(b)所示。從圖中可以看出，最大扭矩發(fā)生在BC段的各個截面上，其數(shù)值為5000Nm(正負號只決定扭矩方向)。2確定最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力發(fā)生在BC段各截面的周邊上，如圖41(c)所示。其值為M5000 x16北=“n“et=xmax=25.5x106Pa=25.5MPamaxWnx0.13p3計算相對扭轉(zhuǎn)角根據(jù)d/dx=M/GJ,這是單位長度的扭轉(zhuǎn)角，相距dx的兩個截面的扭xp轉(zhuǎn)角為d=M

6、dx/GJ。在AB和BC中扭矩沿長度方向無變化，因此兩個端截xp面(A和B，B和C)的相對扭轉(zhuǎn)角為9=Ml/GJ。但二者是反向的。于是Cxp截面相對于A截面的相對扭轉(zhuǎn)角為9C-A=9+9C-BB-AMlMl=x(CB)+x(BA)GJGJlGJpx(CB)p+Mx(BA)0.5x328.2x10ioxnx0.14(-5000+2000)180D=1.86x10-3弧度=1.86x10-3x一In=-0.107D負號表示9的方向與M（CB）的方向一致。C-Ax（CB）【例題42】圖42所示為一鏜孔裝置，刀桿端部裝有兩把鏜刀。若已知滿負荷下消耗功率為6千瓦（KW）,轉(zhuǎn)速為60轉(zhuǎn)/分（r/min）。

7、求：滿負荷時鏜刀桿內(nèi)的最大剪應(yīng)力。工件【解】根據(jù)功率和轉(zhuǎn)速可以算得鏜刀桿上所承受的外力矩P6M=9549=9549x=954.9N-men60根據(jù)平衡條件，鏜刀桿橫截面上的扭矩為M=M=954.9N-mxe于是，桿內(nèi)最大剪應(yīng)力M954.9x16t=x=22.52x103Pa=22.52KPamaxWnx0.63p433圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件與剛度條件1、扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計與彎曲強度設(shè)計相類似，扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計時，首先需要根據(jù)扭矩圖和橫截面的尺寸判斷可能的危險截面；然后根據(jù)危險截面上的應(yīng)力分布確定危險點（即最大剪應(yīng)力作用點）；最后利用試驗結(jié)果直接建立扭轉(zhuǎn)時的強度條件。圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件為Tllmax其中T

8、為許用剪應(yīng)力。對于脆性材料，LLlbnb對于韌性材料，ns上述各式中，許用剪應(yīng)力與許用正應(yīng)力之間存在一定的關(guān)系。對于脆性材料，對于韌性材料T=(0.50.577)t如果設(shè)計中不能提供T值時，可根據(jù)上述關(guān)系由L值求得T值。2、扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計扭轉(zhuǎn)剛度計算是將單位長度上的相對扭轉(zhuǎn)角限制在允許的范圍內(nèi)，即必須使構(gòu)件滿足剛度條件：=空bdx其中單位長度上的相對扭轉(zhuǎn)角dxGIP式中的b稱為單位長度上的許用相對扭轉(zhuǎn)角，其數(shù)值視軸的工作條件而定：用于精密機械的軸b=(0.250.5)()/m；一般傳動軸bl=(0.51.0)()/m；剛度要求不高的軸b=2/m?！纠}43】圖43所示之傳動機構(gòu)中，AB軸的轉(zhuǎn)速n

9、1=120轉(zhuǎn)/分，從B輪上輸入功率P=14千瓦，此功率的一半通過錐形齒輪傳給垂直軸C,另一半傳給水平軸H。若錐齒輪A和D的齒數(shù)分別為36和12。各軸的直徑分別為d=70mm,d2=35mm,d3=50mm。軸之許用剪應(yīng)力b=30MPa。試對各軸進行強度校核?！窘狻?首先計算各軸所承受的扭矩各軸所傳遞的功率分別為P=14千瓦,P=P=14/2=7千瓦TOC o 1-5 h z23各軸的轉(zhuǎn)速分別為n1=n2=120轉(zhuǎn)/分=仝，n=n玉=120 x=360轉(zhuǎn)/分nz21z1212于是各軸所受的扭矩分別為P14M=M=9549-1=9549x一=1114N-mx1e1n1120M=MP9549p795

10、49x186N-mx2e2n2360M=MP9549P379549x557N-mx3e3n12032強度校核：第一軸，即AB軸TmaxM16x1114=16.5x106Pa=16.5MPatx1Wp1nx0.073第二軸，即C軸TmaxWnx0.035316x186=22.1x106Pa=22.1MPaItp2第三軸，即H軸M16x557t=22.7x106Pa=22.7MPaItmaxWnx0.053p3所以各軸的強度都是滿足的。44重點、難點與學習建議441圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與強度計算中需要注意的幾個問題1、必須注意應(yīng)力和變形公式的應(yīng)用條件上述應(yīng)力、變形公式都只適用圓軸在彈性范圍內(nèi)的扭轉(zhuǎn)。對于非

11、圓截面以及超過彈性范圍的扭轉(zhuǎn)，橫截面的剪應(yīng)力均為非線性分布，因而應(yīng)力、變形計算公式都因此而異。2、正確確定扭矩M和極慣性矩IP的數(shù)值xP上述公式中的IP是整個截面對其中心的極慣性矩，而與所求應(yīng)力的點的位置無關(guān)。M是截面上的扭矩，它是內(nèi)力而不外力。當軸上只在兩端承受外力偶時，扭矩與其大小相等；當軸上有兩個以上外力偶作用時，則必須應(yīng)用截面法和平衡條件確定所要求的截面上的扭矩，切不可將外力偶矩直接代人應(yīng)力公式進行計算。3、正確判斷扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的方向圓軸扭橫轉(zhuǎn)時截面上的剪應(yīng)力分布力系的合力即為其上的扭矩，因此，根據(jù)平衡條件可以由外力矩的方向確定扭矩的方向（方向相反），再根據(jù)力系與其合力的關(guān)系，即可由扭矩方向判斷剪應(yīng)力的方向（方向相同）。442剛度計算時