紙上談兵：薩爾滸之戰(zhàn)以少勝多的原理

1、紙上談兵：薩爾滸之戰(zhàn)以少勝多的原理夢(mèng)里醉逍遙 2011-08-16 17:00:43歷史上那些以少勝多的戰(zhàn)役總是被后人津津樂(lè)道，因?yàn)樗鼈儠r(shí)常讓人覺(jué)得有些不可思議。這一次，本文用數(shù)學(xué)解析戰(zhàn)爭(zhēng)，講述了明清之間最重要的一場(chǎng)戰(zhàn)役一一薩爾滸之戰(zhàn)以少勝多背后的數(shù)學(xué)故事。來(lái)看死理性派揮斥方遒，紙上談兵吧。小時(shí)候我們都學(xué)過(guò)紙上談兵這個(gè)詞。其實(shí)歷史上紙上談兵的并非只有趙括一人，還有數(shù)學(xué)家。1914年一戰(zhàn)期間，英國(guó)工程師弗雷德里克？蘭徹斯特（我敢打賭這家伙是一個(gè)死理性派）異 想天開(kāi)地用數(shù)學(xué)解析戰(zhàn)爭(zhēng)，創(chuàng)立了著名的蘭徹斯特戰(zhàn)斗模型。通過(guò)它，我們能很容易地發(fā)現(xiàn)以少勝多背后的數(shù)學(xué)故事，比如經(jīng)典的薩爾滸之戰(zhàn)。但在故事開(kāi)始前

2、，有必要說(shuō)明的是，這只是 一個(gè)簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型 ，忽略了一些難以量化的 因素，譬如天時(shí)、地利、人和以及政治因素，而它們對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)也有舉足輕重的影響。事實(shí)上，從科學(xué)角度講，研究結(jié)果僅對(duì)研究的模型有效。不過(guò)我們都知道，研究總是從基礎(chǔ)模型開(kāi)始的。用蘭徹斯特模型解析戰(zhàn)爭(zhēng)這個(gè)著名的蘭徹斯特戰(zhàn)斗模型，實(shí)際上是一個(gè)討論參戰(zhàn)方戰(zhàn)斗力和時(shí)間關(guān)系的模型，可以用來(lái)宏觀地描述參戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)斗力損耗過(guò)程。這樣說(shuō)或許有些抽象，讓我們先思考一個(gè)問(wèn)題， 現(xiàn)在有兩支軍隊(duì) A軍和B軍。A軍以精銳著稱，但兵力只有B軍的一半，B軍人多勢(shì)眾， 但單兵作戰(zhàn)能力平均只有 A軍士兵的一半，除此之外它們其他方面全部是等同的。如果這兩支軍隊(duì)交戰(zhàn)，一支軍

3、隊(duì)消滅另一支軍隊(duì)即為勝利，你認(rèn)為誰(shuí)將是這場(chǎng)戰(zhàn)斗的贏家？讀者們不妨先選定一個(gè)答案(A勝、B勝或者玉石俱焚)，然后再來(lái)看看蘭徹斯特戰(zhàn)斗模型怎么說(shuō)。假設(shè)現(xiàn)在有一場(chǎng)戰(zhàn)斗，交戰(zhàn)的雙方為甲方和乙方。我們規(guī)定它們?cè)趹?zhàn)斗中某一時(shí)刻的戰(zhàn)斗力(冷兵器時(shí)代，一般情況下就是部隊(duì)中士兵的人數(shù))分別是x( t ) 和y( t ) ，其中t表示時(shí)間。同時(shí)為方便起見(jiàn)，假設(shè)x( t ) 和y( t )都是關(guān)于t的連續(xù)可微函數(shù)，且恒為非負(fù)。換言之，雙方的戰(zhàn)斗力都是隨著時(shí)間連續(xù)變化的，不可能在某一時(shí)刻發(fā)生突變(譬如西游記中的孫悟空從天宮搬來(lái)救兵)，也不可能在某一時(shí)刻有變化率的突變(譬如打 架的時(shí)候被對(duì)方一巴掌打通任督二脈)。在此基

4、礎(chǔ)上，我們?cè)偌僭O(shè)某方戰(zhàn)斗力的變化都是由于敵方對(duì)它的攻擊造成的，這樣戰(zhàn)斗力在某一時(shí)刻的變化量，便只和該時(shí)刻對(duì)方的戰(zhàn)斗力正相關(guān)。據(jù)此我們可以得出下面兩個(gè)微分方程：其中系數(shù)a和b分別是乙方和甲方對(duì)對(duì)方的殺傷率，也就是某方每單位戰(zhàn)斗力能夠?qū)撤皆斐傻膽?zhàn)斗力損耗。這便是著名的蘭徹斯特戰(zhàn)斗方程。也許現(xiàn)在這個(gè)方程看上去還不夠直觀，但如果把它稍作變換，就可以得到這樣的式子。在上面的式子中，假設(shè)等式左右兩邊的值為正，當(dāng)x = 0時(shí)，必有y 0 。這也就意味著當(dāng)甲方的戰(zhàn)斗力消耗殆盡的時(shí)候，乙軍還有人活著，這種情況下自然是乙軍獲得了勝利。同理，當(dāng)?shù)仁阶笥覂蛇叺闹敌∮?0時(shí)，甲軍將取得勝利。 那當(dāng)這個(gè)值等于 0的時(shí)候

5、呢？顯然雙 方將慘烈地同歸于盡，最終就像電影赤壁收尾處所說(shuō)的那般：“大家都輸了。”更重要的是，上述這個(gè)式子還說(shuō)明了在戰(zhàn)斗中雙方的軍事實(shí)力和各自軍隊(duì)?wèi)?zhàn)斗力的平方成正比。這也就是著名的蘭徹斯特平方律。舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，倘若兩支旗鼓相當(dāng)?shù)能婈?duì)來(lái)火并的話，此時(shí)a=b , x 0 = y 0 = 1 ,這時(shí)候ay ? 2= b x ? 2 ,最終雙方將同歸于盡。但是倘若甲軍去和一支人數(shù)是它的兩倍，但每個(gè)士兵的實(shí)力只有他一半的乙軍來(lái)打呢（這正是在前面提出的問(wèn)題）？由2a = b, y 0=2x 0可得a y ? 2 / b x ? 2 = 2。這表明占據(jù)人數(shù)優(yōu)勢(shì)的乙方將取得勝利，盡管他們的功夫都只有對(duì)手的

6、一半。更進(jìn)一步來(lái)看后面這個(gè)例子，把2a = b , y 0 = 2x 0 , x = 0這些條件都代入到上面給出的等式當(dāng)中，可以得到 y= V2 x-這意味著在乙軍徹底消滅他的勁敵一一精銳的甲軍以后， 自身兵力的損失還不到一半。 如此事實(shí)無(wú)疑會(huì)讓以精銳聞名的甲軍感到壓力山大，因?yàn)樗麄內(nèi)绻胍谌藬?shù)不變的情況下和乙軍對(duì)敵而不敗的話，至少要讓自己的每個(gè)士兵的單兵作戰(zhàn)能力達(dá)到乙軍的四倍才行！上面的例子讓我們看到，蘭徹斯特平方率直觀地反映了對(duì)戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)斗力對(duì)比。金庸迷們一定記得笑傲江湖中東方不敗獨(dú)戰(zhàn)令狐沖、任我行、向左使、任盈盈的精彩片段，雙方實(shí) 際上打成平手。由此根據(jù)蘭徹斯特平方率能推算出，東方不敗

7、的戰(zhàn)斗力是其余四人戰(zhàn)斗力平均值的16倍！也就是說(shuō)，如果令狐沖、任我行、向左使、任盈盈戰(zhàn)斗力分別是100、80、60、40的話（平均戰(zhàn)斗力 70）,東方不敗的戰(zhàn)斗力就是70 X 16 = 1120 。Ta的“天下第一”還真不是浪得虛名。薩爾滸之戰(zhàn)以少勝多的原因從蘭徹斯特到將近百年后的今天，歷史開(kāi)始顯得久遠(yuǎn)。但這并不妨礙我們做一回“事后諸葛亮”，意行沙場(chǎng)，也來(lái)紙上談兵，用激揚(yáng)文字再指點(diǎn)當(dāng)年戰(zhàn)場(chǎng)。而這一回，我們就從數(shù)學(xué)角度來(lái)講述那場(chǎng)經(jīng)典的以少勝多一一薩爾滸之戰(zhàn)。這是發(fā)生在萬(wàn)歷四十七年（公元1619年），中國(guó)遼東的一場(chǎng)規(guī)模浩大且影響深遠(yuǎn)的大戰(zhàn)。在這場(chǎng)戰(zhàn)役中，當(dāng)時(shí)僅擁有約六萬(wàn)八旗子弟的后金軍首領(lǐng)愛(ài)新覺(jué)羅

8、？努爾哈赤，憑借著他老到的戰(zhàn)略眼光，竟將兵力二倍于他、洶洶而來(lái)的大明王師打得慘敗而歸。 此戰(zhàn)明廷喪師近五 萬(wàn)，將官戰(zhàn)死者亦有三百余人， 其中還包括山海關(guān)總兵杜松這樣的高級(jí)將領(lǐng)， 可謂精銳盡失。若說(shuō)當(dāng)年李成梁對(duì)待努爾哈赤的態(tài)度是“為虺弗摧”的話，經(jīng)此一役的后金對(duì)明廷來(lái)說(shuō)，已然是“為蛇若何” 了。然而在此戰(zhàn)之前，并非人人都把后金當(dāng)回事， 至少此次戰(zhàn)役中明軍方面最高統(tǒng)帥、 遼東經(jīng)略 楊鎬大人就是如此。據(jù)說(shuō)在薩爾滸戰(zhàn)役之前，楊鎬曾與努爾哈赤修書(shū)一封，稱大明王朝集結(jié) 了四十七萬(wàn)大軍將襲，并將出兵日期如實(shí)相告，似乎想以天朝神威威嚇后金，好“不戰(zhàn)而屈人之兵”。由此可見(jiàn)，在當(dāng)時(shí)的楊鎬看來(lái)，“消滅賊酋”不過(guò)是手

9、到擒來(lái)的事情，根本沒(méi)有想到會(huì)有戰(zhàn)敗的可能。但是事實(shí)上，如果楊鎬大人了解蘭徹斯特模型，也許他就會(huì)發(fā)現(xiàn)，雖然他的兵力是對(duì)方的兩倍，但他的慘敗卻早在出師之日就已注定。何出此言呢？不妨讓我們用蘭徹斯特戰(zhàn)斗方程來(lái)分析薩爾滸之戰(zhàn)。當(dāng)時(shí)努爾哈赤麾下的八旗子弟都是久經(jīng)沙場(chǎng)的精銳，軍隊(duì)素質(zhì)自然不可小覷。 但明軍亦有先進(jìn)的武器和裝備可與之抗衡，再加上常年和叛軍作戰(zhàn)的川軍，以及由當(dāng)年一代名將戚繼光精心打造的浙軍，軍隊(duì)的兵員能力也不在后金軍之下。所以雙方的殺傷率系數(shù)不妨看做是相等的。那么兵力情況又是怎么樣呢？我們?cè)谇懊婢鸵颜f(shuō)過(guò)，后金軍的兵力約六萬(wàn)人，而明朝方面的數(shù)據(jù)則是十二萬(wàn)。恰如前面的例子一般，后者的兵力是前者的兩

10、倍。換言之，如果楊鎬的大軍就這么殺過(guò)來(lái)的話，似乎努爾哈赤唯一的方法，就是在對(duì)方到來(lái)之前，把自己手下兵士的 作戰(zhàn)能力提高到原來(lái)的四倍。但是一個(gè)很有趣的事實(shí)是，在薩爾滸之戰(zhàn)的交戰(zhàn)過(guò)程中，始終占據(jù)兵力優(yōu)勢(shì)的卻是后金。原來(lái)?xiàng)铈€在進(jìn)攻的時(shí)候竟把自己的軍隊(duì)分成了四路，而這四路軍隊(duì)不但沒(méi)有統(tǒng)一的調(diào)度，相互之間的通信也甚不靈便 （實(shí)際戰(zhàn)爭(zhēng)中，有兩路軍隊(duì)已經(jīng)被努爾哈赤消滅了，第三路軍竟還毫不知情）。這就使得本來(lái)兵力薄弱的努爾哈赤反倒擁有了以眾擊寡、各個(gè)擊破的局部戰(zhàn)略優(yōu)勢(shì)。雖然后金的兵力只有明朝的一半，但是后金每次戰(zhàn)斗中面對(duì)的兵力，卻都只有自己的一半。讓我們來(lái)為這種戰(zhàn)略局面算一筆帳。假設(shè)后金軍和明軍的殺傷率系數(shù)都

11、是1,戰(zhàn)斗力以萬(wàn)人為單位，那么后金軍的軍事實(shí)力是：假設(shè)明朝的四路軍隊(duì)中兵力平均分配，也就是每路有3萬(wàn)人（實(shí)際兵力部署與此相去不遠(yuǎn)）那么明朝的軍事實(shí)力則是：我們發(fā)現(xiàn)，擁有巨大人數(shù)優(yōu)勢(shì)的明軍的軍事實(shí)力和后金軍其實(shí)是相當(dāng)?shù)?！?dāng)然，這里的計(jì)算有一個(gè)問(wèn)題。我們給出的這種明軍兵力分配方案，恰巧是使得它的軍事實(shí)力總和最小，根據(jù)均值不等式可以知道，只要在實(shí)際分配的時(shí)候哪怕采用3.01 , 2.99 , 3,3這樣的方案，明軍不就能夠打敗后金了嗎？在這個(gè)模型下的確如此。 但這要求當(dāng)時(shí)的明軍能如同岳飛所夢(mèng)想的那樣“文臣不愛(ài)錢(qián)，武臣不惜死”，軍隊(duì)在損失慘重的情況下依然堅(jiān)持戰(zhàn)斗到最后一人。那樣的話，努爾哈赤老兄真的是

12、要操心下自己腦袋的去處了。 可惜實(shí)際情況并非如此。 古代戰(zhàn)爭(zhēng)的一個(gè)事實(shí)是， 當(dāng)某方的損失超過(guò)一定數(shù)量以后（這個(gè)數(shù)量通常還并不高），往往會(huì)因?yàn)槭繗獾吐涠鴿⑸?，在接下?lái)就變成“追亡逐北”的場(chǎng)面了。這種情況下戰(zhàn)斗變?yōu)橥罋?，潰散軍?duì)的殺傷率約等于0。所以戰(zhàn)爭(zhēng)的勝負(fù)絕大多數(shù)都不是因?yàn)橐环桨蚜硪环酵耆珰灉?，而是因?yàn)橐环降氖繗庖呀?jīng)無(wú)法維系。所以不妨讓我們假設(shè)雙方都會(huì)在自身兵力損失達(dá)到一半的時(shí)候潰敗。同時(shí)再把明軍四路兵力的實(shí)際部署情況稍加調(diào)整，用4, 3, 3, 2作為它的部署策略，此時(shí)的軍事實(shí)力總值為38,高于后金軍。第一場(chǎng)戰(zhàn)斗后，后金的殘余兵力x 1滿足如下方程：解之得x i =2/6-4.90 。也就是

13、第一場(chǎng)戰(zhàn)斗結(jié)束后后金軍的剩余兵力約4.9萬(wàn)人。我們繼續(xù)通過(guò)下面的方程求解X 2 , X 3 , X 4。解之得計(jì)算結(jié)果表明，四場(chǎng)戰(zhàn)斗中每一場(chǎng)都是后金軍的兵力占優(yōu)，導(dǎo)致每一場(chǎng)戰(zhàn)斗的勝者都是后金，所以最后的勝者也是后金一一盡管總的軍事實(shí)力明軍更高。要說(shuō)明的是，這里對(duì)明軍并沒(méi)有任何的不公平。事實(shí)上這個(gè)模型還有些偏袒明軍，因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)的歷史條件下，明軍士氣的水平其實(shí)很難達(dá)到傷亡人數(shù)約一半時(shí)才潰散。如果按照竊明中所說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)一一“除了處于死地外，最優(yōu)秀的封建軍隊(duì)也不過(guò)能忍受一、兩成的傷亡而不崩潰”來(lái)計(jì)算，當(dāng)后金軍取得勝利的時(shí)候，它所損失的兵力也不過(guò)1.28萬(wàn)人，還遠(yuǎn)不到其初始兵力的三分之一。借助數(shù)學(xué)工具，數(shù)

14、百年后的我們可以輕松地計(jì)算出努爾哈赤必將取得大勝的結(jié)果?？上У氖钱?dāng)時(shí)背負(fù)十?dāng)?shù)萬(wàn)將士性命的統(tǒng)帥楊鎬并沒(méi)有這樣的覺(jué)悟，即使當(dāng)開(kāi)原總兵馬林根據(jù)自身的經(jīng)驗(yàn)向他提出“王師當(dāng)出萬(wàn)全，宜并兵一路，鼓行而前，執(zhí)取罪人，傾其巢穴”這一清醒建議的時(shí)候，他也只是傲慢地堅(jiān)持故我。如此無(wú)能的統(tǒng)帥最終葬送了大明的精銳之師。結(jié)語(yǔ)后來(lái)的事情是：萬(wàn)歷四十七年二月二十五日，大明王師正式出征； 三月初一，西路軍遭努爾哈赤攻擊，寡不敵眾，全軍覆沒(méi)，總兵杜松戰(zhàn)死；三月初三，北路軍遭受攻擊，寡不敵眾， 全軍覆沒(méi)，總兵馬林狼狽逃回；三月初五，東路軍被后金軍偷襲，猝不及防，全軍覆沒(méi)，總 兵劉鋌戰(zhàn)死；三月初六， 南路軍接到三路大軍戰(zhàn)敗的消息后匆忙撤兵，后金軍趁勢(shì)追擊，損傷慘重。結(jié)果正如我們這群事后諸葛亮所分析的一樣，可惜我們的分析也正如開(kāi)原總兵