人教版高中數(shù)學高考一輪復習-　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

1、課標要求1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件.2.能利用導數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值.3.體會導數(shù)與函數(shù)的單調性、極值、最大(小)值的關系.備考指導函數(shù)的極值和最值是高考必考內容,一般以函數(shù)的單調性為工具,進一步探究函數(shù)的極值或最值.涉及取值范圍、最值,恒成立或存在性問題、證明問題,大多可轉化為函數(shù)的最值或極值問題來解決.主要考查數(shù)學運算和邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng).內容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】 1.函數(shù)的極值(1)定義溫馨提示1.函數(shù)的

2、極值是一個局部概念,是某個點的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值相比較是最大的或是最小的,因而端點不是函數(shù)的極值點.2.函數(shù)在定義域的某個區(qū)間內極大值或極小值不一定唯一,也可能不存在,并且函數(shù)的極大值與極小值之間無確定的大小關系.3.函數(shù)的極值點處的導數(shù)為0,但導數(shù)為零的點可能不是函數(shù)的極值點.4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內有極值,則f(x)在區(qū)間(a,b)內一定不是單調函數(shù),即在區(qū)間上單調的函數(shù)沒有極值.(2)求可導函數(shù)極值的步驟如下:確定函數(shù)f(x)的定義域,并求f(x);求方程 f(x)=0 的根;檢查方程 f(x)=0 的根是否在定義域內,若在,則看根附近的左右兩側導數(shù)值的符號.如果左正右負

3、,那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)在這個根處取得極小值.2.函數(shù)的最值(1)一般地,如果在區(qū)間a,b上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.(2)一般地,求函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值與最小值的步驟如下:求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;將函數(shù)f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.問題思考函數(shù)有極值是否一定有最值?有最值是否一定有極值?極值只能在定義域內取得(不包括端點),最值卻可以在端點處取得,有極值的不一定有最值,有最值

4、的也未必有極值;極值有可能成為最值,非常數(shù)可導函數(shù)最值只要不在端點處取得,則必定在極值處取得.若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內只有一個極值點,則相應的極值一定是函數(shù)的最值.【知識鞏固】 1.下列說法正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)對可導函數(shù)f(x),f(x0)=0是x0為極值點的充要條件.()(2)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內的極大值是唯一的.()(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.()(4)函數(shù)的最大值不一定是極大值,函數(shù)的最小值也不一定是極小值.()2.若函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的極小值點的個數(shù)為.1由題意知,只在x=-1處f(-1)=0,且其左右兩側導數(shù)符號

5、為左負右正.4.函數(shù)f(x)=2x3-2x2在區(qū)間-1,2上的最大值是. 8第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成能力形成點1求函數(shù)的極值例1已知函數(shù)f(x)=x-aln x(aR).(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在點A(1,f(1)處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值.可知f(1)=1,f(1)=-1,故曲線y=f(x)在點A(1,f(1)處的切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.當a0時,f(x)0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)內是增函數(shù),函數(shù)f(x)無極值;當a0時,由f(x)=0,解得x=a.又當x(0,a)時,f(x)0,從而函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=

6、a-aln a,無極大值.綜上,當a0時,函數(shù)f(x)無極值;當a0時,函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-aln a,無極大值.解題心得利用導數(shù)研究函數(shù)極值的一般流程: 對點訓練1若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,則f(x)的極小值為()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1A由題意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因為x=-2是函數(shù)f(x)的極值點,所以f(-2)=0,得a=-1.即f(x)=(x2-x-1)ex-1,f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1

7、.當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:即當x=1時,f(x)有極小值,并且極小值為f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故選A.能力形成點2求與函數(shù)極值有關的參數(shù)范圍命題角度1 由極值的存在性求參數(shù)的取值范圍C(2)若函數(shù)f(x)=x3-2cx2+x有極值點,則實數(shù)c的取值范圍為.f(x)=3x2-4cx+1.由題意知f(x)=0有兩個不同的實數(shù)根,可得=(-4c)2-120,命題角度2 由極值的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍例3已知函數(shù) ,若x=2是函數(shù)f(x)唯一的極值點,則實數(shù)k的取值范圍為()A.(-,eB.0,eC.(-,e)D.0,e)A解題心得1.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a

8、,b)內有極值,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內不是單調函數(shù),可轉化為f(x)=0根的個數(shù)問題求解;若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上是單調函數(shù),則函數(shù)y=f(x)在此區(qū)間內沒有極值.2.已知函數(shù)極值點的個數(shù)求參數(shù),解決此類問題可轉化為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內變號零點的個數(shù)問題求解.對點訓練2已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-1,2)B.(-,-3)(6,+)C.(-3,6)D.(-,-1)(2,+)Bf(x)=3x2+2ax+(a+6),由已知可得f(x)=0有兩個不相等的實根,即=4a2-43(a+6)0,即a2-3a-180.得a6或a0,所以f(