山大理論力學(xué)典型錯(cuò)解選評(píng)

1、理論力學(xué)典型錯(cuò)解選評(píng)第1篇靜力學(xué)題11結(jié)構(gòu)的尺寸及荷載如圖所示。自重不計(jì)，試求支座反力。圖 1-1錯(cuò)誤解答：因?yàn)橥夂奢d為豎向力，根據(jù)平面平行力系的平衡條件，支座A、B、E處的約束反力也應(yīng)為豎直方向，其整體的受力圖如圖11(b)所示。由平面任意力系平衡方程，有 (1) (2) (3) 由式(1),有 (4)由式(3),有 (5)將式(4)、(5)代入式(2)，有 解出 將之值代入式(5),得將之值代入式(4),得計(jì)算無(wú)誤。錯(cuò)誤分析：圖11(b)所示受力圖是錯(cuò)誤的。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)自重不計(jì)，故桿AB、BG均為二力桿，A處約束反力沿桿方向而非鉛直。另外，E處為鉸支座，它的約束反力還應(yīng)有水平分力。正確解答：因

2、結(jié)構(gòu)自重不計(jì)，故桿AB、BG均為二力桿。以BCDE結(jié)構(gòu)部分為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-1(d)所示。B處為復(fù)鉸，在該受力圖中，B處含有銷釘B，分別為銷釘B與桿AB、BG之間的反作用力。由平面任意力系平衡方程，有 (1)所以 (2)所以 (3)以CDE部分為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-1(e)所示。由平面任意力系平衡方程，有 (4)所以 由式(3),有由圖1-1(c)，有所以 題1-2 組合結(jié)構(gòu)的尺寸及荷載如圖所示，自重不計(jì)。試求桿1、2所受的力。圖 12錯(cuò)誤解答：取整體為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-2(a)所示。由平面任意力系平衡方程，有所以 2. 取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象。其受力圖如圖1-2(b)所示

3、。由平面匯交力系平衡方程，有所以 3. 取節(jié)點(diǎn)E為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-2(c)所示。由平面匯交力系平衡方程，有所以 所以 錯(cuò)因分析：以節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象圖1-2(b)所示的受力圖是錯(cuò)誤的。因?yàn)榱築C不是二力桿，不能將其在G處切斷，并將BG部分視為二力桿。如若以銷釘B為研究對(duì)象，則梁BC的B端與銷釘B之間有2個(gè)正交的未知力、，再加上桿3與銷釘B之間的作用力也是未知的，共3個(gè)未知量，而平衡方程只有2個(gè)，不能求解。正確解答：1. 取整體為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-2(a)所示。由平面任意力系平衡方程，有所以 2. 取ADC部分為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-2(d)所示。由平面任意力系平衡方程，有所

4、以 3. 取節(jié)點(diǎn)E為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-2(c)所示。由平面匯交力系平衡方程，有所以 題1-3 桿AB的A端固定，在B處用鉸鏈與折桿BCD連接。圓輪半徑r=1m,吊重P=6kN。試求A處的反力。錯(cuò)誤解答：錯(cuò)解一：1. 取折桿BCD和滑輪為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-3(b)所示。由平面任意力系平衡方程，有，所以 2. 取桿AB為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-3(c)所示。由平衡方程，則有所以 所以 圖 13錯(cuò)解二：1. 以折桿BCD為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-3(d)所示。由平衡方程，有所以 所以 2. 以桿AB為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-3(e)所示。由平衡平程，有所以 所以 所以 錯(cuò)因分析

5、：1. 圖1-3(b)所示受力圖是錯(cuò)誤的，在鉸鏈B處應(yīng)以兩個(gè)正交分量表示其約束反力。2. 圖1-3(d)所示受力圖是錯(cuò)誤的，在鉸鏈E處應(yīng)以兩個(gè)正交分力表示其約束反力。正確解答：以折桿BCD和滑輪為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-3(f)所示。由平衡方程，有所以 2以整體為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-3(g)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 題1-4 構(gòu)架的尺寸及荷載如圖所示。固定在桿BD上的銷釘穿在桿AC的光滑槽內(nèi)。試求各支座的反力。錯(cuò)誤解答：1. 以桿BD為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-4(b)所示。由平衡方程，有所以 2. 以桿AC為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-4(c)所示。由平衡方程，有所以 圖

6、143. 以整體為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-4(a)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 錯(cuò)因分析：由圖1-4(b)、(c)所示的受力圖是錯(cuò)誤的。因銷釘D穿在光滑槽中，故E處的約束反力應(yīng)沿光滑槽的法線方向，即與AC桿垂直的方向。正確解答：1. 以BD為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-4(d)所示。由平衡方程，有所以 2. 以AC為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-4(e)所示。由平衡方程，有所以 3. 以整體為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-4(a)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 題1-5 圖示構(gòu)架的尺寸如圖所示，桿重不計(jì)。固定在桿CE上的銷釘E穿在桿AD的光滑槽中。若已知F=10kN,P=20kN，CG=

7、GE。試求A、B處的約束反力。錯(cuò)誤解答：以桿BC為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-5(b)所示。由平衡方程，有所以 2. 以BCE為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-5(c)所示。由平衡方程，有所以 圖 15所以 所以 3. 以AD為研究對(duì)象,其受力圖如圖1-5(d)所示。由平衡方程，有所以 所以 錯(cuò)因分析：圖1-5(c)所示的受力圖中，銷釘E處的約束反力應(yīng)垂直桿AD，即水平方向。因?yàn)殇N釘E與滑槽之間為光滑固定面約束，其約束反力應(yīng)沿公法線方向，E處的公法線方向?yàn)榇怪庇贏D方向。正確解答：1. 以BC為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-5(b)所示，由上解得2. 以BCE為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-5(e)所示。由平

8、衡方程，有所以 所以所以 3. 以AD為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-5(f)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 題1-6 組合結(jié)構(gòu)如圖所示，若桿重不計(jì)，試求A、D處的約束反力及桿1、2、3、4所受的力。圖 16錯(cuò)誤解答：錯(cuò)解一：1. 取ACB為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-6(b)所示。由平衡方程，有所以 所以 2. 取DGH為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-6(c)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 3. 取節(jié)點(diǎn)H為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-6(d)所示。由平面匯交力系平衡方程，有所以 所以 錯(cuò)解二：1. 取BC為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-6(e)所示。由平衡方程，有所以 所以 2取AC為研究對(duì)象，

9、其受力圖如圖1-6(f)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 3取EG為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-6(g)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 4. 取節(jié)點(diǎn)H為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-6(h)所示。由平面匯交力系平衡方程，有所以 所以 5. 取DE為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-6(i)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 錯(cuò)因分析：1. 受力圖(b)、(c)錯(cuò)誤。A、D處均為固定端約束，還應(yīng)有約束反力偶。2. 受力圖(f)中C點(diǎn)約束反力方向畫(huà)錯(cuò)，應(yīng)與圖(e)的C處有作用與反作力大小相等、方向相反、沿同一直線的關(guān)系.3. 在受力圖(g)、(i)中，將作用于鉸E處的集中力F各畫(huà)是錯(cuò)誤的。因?yàn)榧辛?/p>

10、F是作用在連接DE和EG的銷子上的。既非作用在桿DE的E端，也非作用在桿EG的E端，更非在兩桿E端各作用一半。在這種情況下，處理的方法有三：（1）將銷子合并在桿DE的E端，（2）將銷子合并在桿DG的E端，（3）單獨(dú)取出銷子作為研究對(duì)象。請(qǐng)讀者思考，圖(g)、(i)中的和，和是一對(duì)作用力與反作用力嗎？正確解答：1. 取BC為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-6(e)所示。由平衡方程，有所以 2. 取ACB為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-6(j)所示。由平衡方程，有所以 所以 3. 取EG為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-6(k)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 4. 取節(jié)點(diǎn)H為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-6(h

11、)所示。由平面匯交力系平衡方程，有所以 所以 5. 取DE為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-6(l)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 綜上，有 題1-7 構(gòu)架的尺寸如圖所示。固定在桿AD上的銷釘C插入桿BC的光滑槽內(nèi)。若已知P=4kN，M=2kNm。試求A、B處的約束反力。錯(cuò)誤解答：1. 以BCD部分為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-7(b) 所示。由平衡方程，有 (1)所以 (2)所以 (3)所以 圖17錯(cuò)誤解答：圖172. 以ACD部分為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-7(c) 所示。由平衡方程，有 (4)所以 (5)所以 (6)所以 錯(cuò)因分析：1. 在圖1-7(b)所示的受力圖中，漏畫(huà)了銷子D與桿AD

12、在D端的約束反作用力。當(dāng)然，如果在D處加畫(huà)了上述的約束反作用力，則本受力圖中將有5個(gè)未知數(shù)，就不能以此研究對(duì)象求解了。2. 由式(1)求得，當(dāng)將其代入式(2)、(3)時(shí)，應(yīng)連同負(fù)號(hào)一同帶入。上解沒(méi)有連同負(fù)號(hào)一起代入，顯然是錯(cuò)誤的。3. 圖1-7(c)所示的受力圖中，在銷子D處漏畫(huà)了繩索的張力。圖為滑輪與桿組合在一起時(shí)，肯定有銷子D存在，而繩索的端點(diǎn)是系在銷子上的。另外，銷釘C處的約束反力應(yīng)與圖1-7(b)中的等值、反向。盡管計(jì)算得，也不要在圖1-7(c)改變的方向。4. 如果因?yàn)榍蟮脼樨?fù)值而在圖1-7(c)中改變了的方向，那么，當(dāng)在式(4)、(5)、(6)的計(jì)算中代入的數(shù)值時(shí)，就不必連同負(fù)號(hào)一

13、同帶入了。上述錯(cuò)解中，又改變了的方向，又連負(fù)號(hào)一同代入計(jì)算，就錯(cuò)了。正確解答：1. 以輪D為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-7(d)所示。由平衡方程，有所以 所以 2. 以BC桿為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-7(e)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 3. 以AD桿為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-7(f)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 題1-8 固定在桿CD上的銷釘E插入桿AB的導(dǎo)槽內(nèi)，已知兩者之間的摩擦角。在桿AB和CD上分別作用有力偶，其矩分別為和，如圖所示。若不計(jì)桿重，鉸A、C光滑，試求平衡時(shí)之值的范圍。圖 18錯(cuò)誤解答：在力偶、共同作用下，兩桿的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)為：（1）分別繞A、C軸有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

14、的趨勢(shì)，銷子E有沿導(dǎo)槽自A向B滑動(dòng)的趨勢(shì)；（2）分別有繞A、C軸反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)，銷子E有沿導(dǎo)槽自B向A滑動(dòng)的趨勢(shì)。現(xiàn)分別討論以上所述的兩種情況。1. 設(shè)銷子E沿導(dǎo)槽處于自B向A滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)取桿AB為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-8(b)所示。由平衡方程，有 (1)所以 以桿CD為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-8(c)所示。由平衡方程，有 (2)所以 即 2. 設(shè)銷子E沿導(dǎo)槽處于自A向B滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)此時(shí)，只需將圖1-8(b)、(c)所示受力圖中改變摩擦力的方向即可，平衡方程（1）、（2）中均與無(wú)關(guān)，故所得結(jié)果仍為所以，平衡時(shí)有錯(cuò)因分析：1. 因1-8(b)中摩擦力的指向畫(huà)錯(cuò)。銷子E的運(yùn)動(dòng)趨

15、勢(shì)是沿導(dǎo)槽AB有自A向B或自B向A滑動(dòng)的趨勢(shì)，而摩擦力的指向應(yīng)與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反。當(dāng)銷子E沿導(dǎo)槽AB有自B向A的滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，作用在銷子E上的摩擦力應(yīng)與其運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反，即自A向B，而作用在導(dǎo)槽上的摩擦力則應(yīng)與作用在銷子上的摩擦力大小相等、方向相反，即自B向A，而不應(yīng)如圖1-8(b)所示的自A向B。故圖1-8(b)中的指向是錯(cuò)誤的。2. 在圖1-8(c)所示的受力圖中，摩擦力的方位、指向均畫(huà)錯(cuò)了。因?yàn)殇N子E有沿導(dǎo)槽滑動(dòng)的趨勢(shì)，故摩擦力應(yīng)沿導(dǎo)槽而不應(yīng)沿CD桿。又因?yàn)殇N子E有自B向A滑動(dòng)的趨勢(shì)，故作用在銷子E上的摩擦力應(yīng)沿導(dǎo)槽自A向B。正確解答：1設(shè)銷子E沿導(dǎo)槽處于自B向A滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)以桿AB為研究

16、對(duì)象，其受力圖如圖1-8(d)所示。由平衡方程，有 (1)所以 再以桿CD為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-8(e)所示。由平衡方程，有 (2)由摩擦定律，有 (3)由式（2）、（3），解得2設(shè)銷子E沿導(dǎo)槽處于自A向B滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)此時(shí)，只需將圖1-8(d)、(e)所示受力圖中，將的指向改為相反方向，同時(shí)將式(2)中前的負(fù)號(hào)改為正號(hào)，則于是，系統(tǒng)平衡時(shí)應(yīng)滿足的范圍為題1-9 桿AB懸吊如圖所示。重為P=10kN的物塊E置于傾角為的斜面上，用繩繞過(guò)定滑輪與桿AB連接。已知物塊E與斜面間的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)為。試求系統(tǒng)平衡時(shí)，均布荷載q的分布范圍。圖 19錯(cuò)誤解答：1. 取物塊E為研究對(duì)象。設(shè)物塊E處于

17、不下滑的臨界平衡狀態(tài)，其受力圖如圖1-9(b)所示。由平衡方程，有 (1) (2)由摩擦定律，有 (3)由式(1)、(2)、(3)解得2. 取桿AB為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-9(c)所示。由平衡方程，有 (4)所以 即系統(tǒng)平衡時(shí)錯(cuò)因分析：因?yàn)殡S著q的分布長(zhǎng)度的取值不同，系統(tǒng)平衡時(shí)，物塊E有不上滑與不下滑的兩種運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。如果過(guò)大，將使物塊E上滑，如果過(guò)小，則物塊E將下滑。也即有一個(gè)取值范圍。上解中，只回答了問(wèn)題的一半，即物塊E不下滑的臨界平衡狀態(tài)，所得值應(yīng)為最小值，尚有物塊E不上滑的臨界平衡狀態(tài)未作考慮。正確解答：1. 以物塊E為研究對(duì)象。設(shè)其處于不下滑的臨界平衡狀態(tài)，其受力圖如圖1-9(b)

18、所示。其平衡方程和摩擦定律同上解式(1)、(2)、(3)。并由式(1)、(2)、(3)解得2. 以桿AB為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-9(c)所示。其平衡方程同上解式(4)，并由式(4)解得3. 以物塊E為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-9(d)所示。設(shè)其處于不上滑的臨界平衡狀態(tài)。由平衡方程，有 (5) (6)由摩擦定律，有 (7)由式(5)、(6)、(7)解得 由式(4)此處 于是，系統(tǒng)平衡時(shí)均布荷載q的分布范圍為 題1-10 重量分別為、的物塊A、B，由無(wú)重直桿AC、BC連接后放置如圖所示。已知A、B處的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為。欲使兩物塊均不滑動(dòng)，試求作用在鉸鏈C處豎向力F的最小值。圖 110 錯(cuò)誤解

19、答：1. 取物塊A為研究對(duì)象。由于在桿力作用下物塊A有向右滑的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，設(shè)其處于臨界平衡狀態(tài)，故最大摩擦力向左。其受力圖如圖1-10(b)所示。由平衡方程，有 (1) (2)由摩擦定律。有 (3) 由幾何關(guān)系，有由式(1)、(2)、(3)解得2. 取物塊B為研究對(duì)象，由于BC桿拉動(dòng)物塊B有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)，且處于上滑的臨界平衡狀態(tài)，故其受力圖如圖1-10(c)所示。由平衡方程，有 (4) (5)由摩擦定律，有 (6) 由幾何關(guān)系，有由式(4)、(5)、(6)解得取節(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-10(d)所示。由平衡方程，有于是，得最小F力為 錯(cuò)因分析：1. 上解錯(cuò)誤之一是認(rèn)為在鉸鏈C處作用的

20、豎向力F的最小值，可使物塊A、B同時(shí)達(dá)到臨界平衡狀態(tài)。對(duì)于一個(gè)由若干物體組成的平衡系統(tǒng)中，若多處粗糙面均有摩擦力存在，其中哪處的摩擦力先達(dá)到最大值，是由物體所處的位置、摩擦系數(shù)、受力狀態(tài)、平衡方程等諸多因素決定的，一般不會(huì)幾處的摩擦力同時(shí)達(dá)到最大值。上解，根據(jù) A、B兩物塊同時(shí)達(dá)到臨界平衡狀態(tài)，雖然算出了最小F力的值，但對(duì)圖1-10(d)所示的受力圖寫(xiě)時(shí)，不能成立，即可見(jiàn)，根據(jù)物塊A、B均處于臨界平衡狀態(tài)所得的不能使節(jié)點(diǎn)C平衡，也就說(shuō)明，物塊A、B不同時(shí)處于臨界平衡狀態(tài)。但是，A、B兩者誰(shuí)先達(dá)到臨界平衡狀態(tài)，通常是事先不知道的，所以，通常的分析方法是，假定一處先達(dá)到臨界平衡狀態(tài)，根據(jù)平衡方程計(jì)

21、算另一處摩擦力的值，并將由平衡方程計(jì)算出來(lái)的摩擦力與最大摩擦力比較，若滿足,則假定正確，所得計(jì)算結(jié)果有用，若出現(xiàn)這種不可能的情況，說(shuō)明假定不正確，再設(shè)另一處先達(dá)到臨界平衡狀態(tài)，重新計(jì)算，便可得到正確的結(jié)果。 有時(shí)，雖然系統(tǒng)中有多處摩擦存在，但這些摩擦力都發(fā)生在一個(gè)剛體上，則各處的摩擦力將同時(shí)達(dá)到臨界平衡狀態(tài)。例如，一個(gè)圓柱置于粗糙的V形槽面內(nèi)，如果圓柱有轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)，則兩處的摩擦力將處于相同的狀態(tài)，即要達(dá)到臨界平衡狀態(tài)，必同時(shí)達(dá)到。2. 上解錯(cuò)誤之二是認(rèn)為物塊B只有沿鉛垂面向上滑動(dòng)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，且處于臨界平衡狀態(tài)。實(shí)際上，根據(jù)物塊B的受力情況，可能有向上滑的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，也可能有向下滑的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。這取決

22、于作用在節(jié)點(diǎn)C上F力的大小。當(dāng)F力很大時(shí)，物塊B有向上滑的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，當(dāng)F力很小時(shí)，物塊B有向下滑的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。本題欲求兩物塊均不滑動(dòng)的F力的最小值，故應(yīng)考慮向下滑的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。正確解答：1. 取物塊B為研究對(duì)象，并假設(shè)其處于向下滑的臨界平衡狀態(tài)。其最大摩擦力向上，其受力圖如圖1-10(e)所示。由平衡方程，有 (1) (2)由摩擦定律，有 (3)上式中 于是，由式(1)、(2)、(3)解得2. 取節(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-10(d)所示。由平衡方程，有 (4) (5)式中 由式(4)，解得由式(5)，解得3. 取物塊A為研究對(duì)象，其受力圖如圖1-10(f)所示。由平衡方程，有 (6)所以

23、(7)所以 由摩擦定律，有因有，故假定正確。 即當(dāng)時(shí)，兩物塊均不會(huì)滑動(dòng)。理論力學(xué)典型錯(cuò)解選評(píng)第2篇 運(yùn)動(dòng)學(xué)題2-1 桿AC沿槽以勻速向上運(yùn)動(dòng)，并帶動(dòng)桿AB及滑塊B。若AB，且初瞬時(shí).求當(dāng)時(shí)，滑塊B沿滑槽滑動(dòng)的速度。錯(cuò)誤解答之一：取坐標(biāo)系如圖2-1所示。由幾何關(guān)系有 （1）將上式的時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，有 （2）所以 因?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以有負(fù)號(hào)表示的方向與軸方向相反。 圖2-1 錯(cuò)誤解答之二：取坐標(biāo)系如圖-1所示，則由幾何關(guān)系有物塊B的運(yùn)動(dòng)方程為 (3)鉸鏈A的運(yùn)動(dòng)方程為 (4)將式（3）、（4）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，有 (5) (6)由式（6），有 (7)式（7）代入式（5），得代入，得錯(cuò)因分析：1.錯(cuò)誤解答之一

24、的錯(cuò)誤在于，所選取的坐標(biāo)系原點(diǎn)與滑塊B固結(jié)，故而該坐標(biāo)系是移動(dòng)的。題目要求滑塊B沿滑槽滑動(dòng)的速度，也即相對(duì)于地球表面的速度，滑槽即地球表面，故應(yīng)選取與地球表面固結(jié)的參考坐標(biāo)系。式（1）中的只是AC桿上一點(diǎn)O坐標(biāo)系相對(duì)位置，既然不是與地面固結(jié)的參考系，它對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)就不是滑塊B相對(duì)滑槽的速度，而是相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系的相對(duì)速度。2. 錯(cuò)誤解答之二的錯(cuò)誤原因在于，在所選的坐標(biāo)系中，以式（3）作為滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程是錯(cuò)誤的。因?yàn)樵谧鴺?biāo)系中，B點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)取負(fù)值，即 (8)正確解答：將式（8）對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，有在坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為代入上式，得代入，則有滑塊B的速度為其方向沿軸正向。題2-2 從水面上方高

25、20m的岸上一點(diǎn)A，用長(zhǎng)為40m的繩系住一船B。今在A處以的均速拉繩，使船靠岸，求5s末船的速度是多少？在5s內(nèi)船移動(dòng)了多少距離。 圖 圖2-2錯(cuò)誤解答：以船為研究對(duì)象。用繩拉船時(shí)，繩的速度為，故船的速度為圖2-2（b） (1)因 (2)故有 當(dāng)時(shí)，有在內(nèi)，不改變方向，時(shí)，故此時(shí)間內(nèi)船移動(dòng)的距離為錯(cuò)因分析：確定船移動(dòng)速度的式（1）是錯(cuò)誤的，因?yàn)椋m然在A處以勻速拉繩，但系在船上的繩B端的速度方向隨時(shí)改變，已不再是常矢量了。式（1）中將其作為常矢量在水平方向投影，并以此方法求得的船的速度是錯(cuò)誤的。為了說(shuō)明式（1）的錯(cuò)誤原因，設(shè)船在時(shí)間內(nèi)位移為，同時(shí)繩索減短，如圖2-2（c）所示，近似地認(rèn)為，則當(dāng)

26、時(shí)對(duì)上式求極限，則有而，所以而不是式（1）的正確答案：取坐標(biāo)系如圖2-2所示，則船的坐標(biāo)為上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得船的速度為當(dāng)時(shí)船的速度為負(fù)號(hào)表示速度方向與軸正方向相反。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，之內(nèi)船不改變速度方向，故在此時(shí)間內(nèi)船移動(dòng)的距離為題2-3 在圖示機(jī)構(gòu)中，曲柄OA轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，角加速度為，且有。試求D點(diǎn)的速度、加速度和軌跡。錯(cuò)誤解答：因曲柄、均作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且彼此平行，故它們的角速度、角加速度均相同。又因三角板CDE繞轉(zhuǎn)動(dòng)，故D點(diǎn)的速度和加速度分別為D點(diǎn)的軌跡為以為半徑、以為圓心的圓。錯(cuò)因分析：上解錯(cuò)誤之處在于沒(méi)有認(rèn)出桿AB、三角板CDE均作平動(dòng)，而誤認(rèn)為三角板CDE繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，誤認(rèn)為D點(diǎn)的軌跡為以r為

27、半徑、以為圓心的圓。正確解答：因,故桿AB作平動(dòng)，于是有又因做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且給知，故有因故三角板CDE作平動(dòng)，于是D點(diǎn)的速度和加速度分別為因?yàn)閯傮w上各點(diǎn)軌跡相同，故D點(diǎn)的軌跡與C點(diǎn)的軌跡相同，同為半徑為的圓，但圓心位置各不相同，C點(diǎn)軌跡以為圓心，而D點(diǎn)軌跡則是為半徑，圓心在D點(diǎn)正下方距D點(diǎn)處。題2-4 桿AB在鉛垂方向以勻速沿滑槽向下運(yùn)動(dòng)，并由B端的小輪帶動(dòng)半徑為R的圓弧桿OC繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2-4所示。設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，試求此后任意瞬時(shí)t，圓弧桿OC的角速度和C點(diǎn)的速度。錯(cuò)誤解答取坐標(biāo)軸如圖2-4所示。因?yàn)闂UAB的速度向下，故知圓弧桿OC繞O軸反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為。B點(diǎn)的坐標(biāo)為上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，

28、有其中為圓弧桿OC的角速度，故有所以而C點(diǎn)的速度則為 由幾何關(guān)系，有于是，C點(diǎn)的速度為錯(cuò)因分析：上解中認(rèn)為是錯(cuò)誤的。因?yàn)轭}設(shè)的正轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針，而當(dāng)桿AB向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓弧桿的角速度為反時(shí)針轉(zhuǎn)向，故應(yīng)為正確解答：將上解中，以代人，即得正確結(jié)果的方向與轉(zhuǎn)向一致。題2-5 在圖示機(jī)構(gòu)中，齒輪1固結(jié)在桿AC上，。齒輪1和半徑為的齒輪2相嚙合，齒輪2可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且和曲柄沒(méi)有聯(lián)系。若，試確定時(shí)，輪2的角速度和角加速度。錯(cuò)誤解答：因?yàn)?，所以兩桿角速度、角加速度相同，即又因?yàn)椋訟、B兩點(diǎn)的速度及加速度相同，即 因作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以，D點(diǎn)的速度和加速度分別為 （1）于是，有 （2） （3）輪2的角速度、角加速度

29、分別為 （4） （5）當(dāng)時(shí)，則有 （6） （7）錯(cuò)因分析： 上解中沒(méi)有認(rèn)出桿AC和輪1均作平動(dòng)。因?yàn)锳C與輪1固結(jié)一起，且有,，故桿和輪1固結(jié)的剛體ABC作平動(dòng)。同時(shí)，上解中由式(1)、(2)、(3)所計(jì)算的D點(diǎn)的速度及切向加速度，是曲柄上在處的速度及切向加速度，并非齒輪1、2嚙合點(diǎn)D的速度和切向加速度。但在計(jì)算輪2的角速度和角加速度時(shí)，卻把曲柄上在處的D點(diǎn)，當(dāng)成齒輪1、2的嚙合點(diǎn)，顯然是錯(cuò)誤的。 正確解答： 因?yàn)闂UAC與輪l固結(jié)一起，且有,，故桿AC與輪1固結(jié)一起的剛體ABC作平動(dòng)。平動(dòng)剛體在同一時(shí)刻各點(diǎn)的速度及加速度均相同，故齒輪1、2嚙合點(diǎn)D的速度、切向加速度與A、B兩點(diǎn)的相同，即求得了

30、輪2的切向速度和切向加速度，便可求得輪2的角速度和角加速度，即當(dāng)時(shí)，有的轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針。題2-6 半徑為R的半圓形凸輪D，已知其運(yùn)動(dòng)的速度為、加速度為，方向如圖2-6（a）所示。凸輪推動(dòng)桿AB沿鉛直方向運(yùn)動(dòng)。試求當(dāng)時(shí)，桿AB移動(dòng)的速度和加速度以及A相對(duì)凸輪的速度。錯(cuò)誤解答：（1）求速度錯(cuò)誤答案：（1）求速度取桿AB上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，凸輪D為動(dòng)系，地面為定系。動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度、牽連速度如圖2-6(a)所示。由幾何關(guān)系，有所以，桿AB移動(dòng)的速度為由速度的投影，有所以，桿AB相對(duì)于凸輪D的速度為（2）求加速度動(dòng)點(diǎn)A的加速度矢量圖如圖2-6（b）所示：取投影軸，則加速度在軸上的投影分別為由式（2）

31、，有由式（1），有錯(cuò)因分析：1.上解中，圖2-6（a）的速度矢量圖畫(huà)錯(cuò)，不符合速度合成定理的關(guān)系，是合矢量，應(yīng)為速度四邊形的對(duì)角線。2.因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)的相對(duì)軌跡為凸輪D的輪廓線，即半徑為R的圓曲線，故相對(duì)加速度應(yīng)有切向分量、法向分量?jī)蓚€(gè)分量。圖2-6（b）中漏畫(huà)了相對(duì)加速度的法向分量。3.速度、加速度的投影，應(yīng)按照合矢量投影定理進(jìn)行，上解中式（1）、（2）在切向、法向方向的投影，是按，計(jì)算的，這顯然是不符合加速度合成定理，不符合合矢量投影定理。正確答案：取桿AB上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系為凸輪D，定系為地面。動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為鉛垂線，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為凸輪的輪廓線，即半徑為R的圓曲線、牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)。（1）

32、求速度動(dòng)點(diǎn)A的速度矢量圖如圖2-6（c）所示。根據(jù)速度合成定理，有 （1）取投影軸如圖2-6（c）所示。將式（1）分別在軸上投影，則有 （2） （3）于是，桿AB移動(dòng)的速度也即動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)速度為桿AB相對(duì)于凸輪的相對(duì)速度為（2）求加速度加速度矢量圖如圖2-6（d）所示。由動(dòng)系作平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理，有 （4）取投影軸如圖2-6（d）所示。將式（4）分別在軸方向投影，有上式中，由式（6），有所以 由式（5），有于是桿AB移動(dòng)的加速度也即動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)加速度為AB相對(duì)于凸輪的加速度為題2-7 在圖示的平底頂桿凸輪機(jī)構(gòu)中，頂桿AB可沿鉛直槽上、下運(yùn)動(dòng)，半徑為R的凸輪以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。工作時(shí)頂桿與

33、凸輪保持接觸。偏心距OC=e，試求當(dāng)OC水平時(shí)，頂桿AB的速度和加速度。錯(cuò)誤解答：1.求速度：取凸輪與頂桿的接觸點(diǎn)D為動(dòng)點(diǎn)，頂桿AB為動(dòng)系，地面為定系，則動(dòng)點(diǎn)D的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為以O(shè)為圓心、以O(shè)D為半徑的圓周，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為水平直線，牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)D的速度矢量圖如圖2-7（b）所示。其中絕對(duì)速度的大小為由幾何關(guān)系，有于是，頂桿AB移動(dòng)的速度為2.求加速度動(dòng)點(diǎn)D的加速度矢量圖如圖2-7（c）所示。由幾何關(guān)系，有于是，頂桿AB移動(dòng)的加速度為錯(cuò)因分析:1.若取凸輪與頂桿AB的接觸點(diǎn)D為動(dòng)點(diǎn)，頂桿AB為動(dòng)系，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡不是一條水平直線，因?yàn)椋绻敆UAB不動(dòng)，僅凸輪運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)D相對(duì)于頂桿AB

34、作圓周運(yùn)動(dòng)。又若凸輪不動(dòng)，僅頂桿運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)D相對(duì)于頂桿AB為鉛直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)兩者都運(yùn)動(dòng)時(shí)，就不再是簡(jiǎn)單的直線或圓了，而是兩種運(yùn)動(dòng)的合成，其合成結(jié)果將是某一平面曲線，該曲線在D點(diǎn)處與頂桿AB的水平底面相切，因此，相對(duì)速度應(yīng)沿水平方向，故圖2-7(b)所示的速度矢量圖是正確的。2.由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡是其切點(diǎn)在D點(diǎn)的某一平面曲線，故相對(duì)加速度應(yīng)有切向分量法向分量。圖2-7(c)中漏掉了。又由于該平面曲線的方程未知,故無(wú)法求得該曲線在D點(diǎn)的曲率半徑，也就無(wú)法得知。于是，在加速度合成定理中均為未知，上式只有兩個(gè)投影式，只能求解2個(gè)未知數(shù)，故不能求解?？梢?jiàn)，上述動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系的取法是無(wú)法求得全部解答的。正確解答

35、：取凸輪中心C為動(dòng)點(diǎn)，頂桿AB為動(dòng)系，地面為定系。動(dòng)點(diǎn)C的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為過(guò)C點(diǎn)的水平直線，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為以O(shè)為圓心，以e為半徑的圓，牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)。求速度動(dòng)點(diǎn)C的速度矢量圖如圖2-7（d）所示，即將上式在軸投影，有 于是,頂桿AB移動(dòng)的速度為 2.求加速度動(dòng)點(diǎn)C的加速度矢量圖如圖2-7(e)所示,即 將上式分別沿x,y軸投影,有所以 所以 于是，頂桿移動(dòng)的加速度為題2-8 長(zhǎng)為r的曲柄OA以勻角速度繞O軸反時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng), 從而推動(dòng)滑桿BCD沿鉛直方向上升，如圖2-8(a)所示。試求當(dāng)曲柄與水平線夾角時(shí)，滑BCD的速度和加速度。錯(cuò)誤解答：取滑桿BCD上與曲柄OA端點(diǎn)A重合點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，OA為動(dòng)系，地

36、面為定系。動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是隨同滑桿的鉛垂向上的直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)是水平直線運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)是曲柄OA的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)的速度矢量圖、加速度矢量圖分別如圖2-8(a)、(b)所示。由速度矢量圖，有 （1） （2）由加速度矢量圖，有上式中，科氏加速度，牽連法向加速度，將之值代入式（3），得因滑桿BCD作平動(dòng)，故滑桿的速度為，加速度為，其方向如圖8-3（a）、（b）所示。錯(cuò)因分析：1當(dāng)以滑桿BCD上與曲柄OA端點(diǎn)A重合點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)、曲柄OA為動(dòng)系時(shí)，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡并非水平直線。所謂相對(duì)運(yùn)動(dòng)，是指站在動(dòng)系上觀察到的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。顯然，當(dāng)曲柄OA轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，站在OA上觀察點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡不可能只是一條水平直線。因

37、為，倘若曲柄OA不轉(zhuǎn)動(dòng)，僅滑桿BCD運(yùn)動(dòng)，則顯然點(diǎn)相對(duì)于曲柄OA作鉛直線運(yùn)動(dòng)，倘若滑桿BCD不動(dòng)，僅曲柄OA轉(zhuǎn)動(dòng)，則顯然點(diǎn)相對(duì)于曲柄OA作順時(shí)針轉(zhuǎn)向的圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)兩桿同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系OA的運(yùn)動(dòng)應(yīng)是上述兩種運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。顯然，合成運(yùn)動(dòng)不再是水平直線或圓，而是某一條平面曲線，且在圖示位置該平面曲線應(yīng)與滑桿BCD的水平邊相切。2既然相對(duì)軌跡是與BCD水平邊相切的平面曲線，相對(duì)速度應(yīng)沿相對(duì)軌跡在該點(diǎn)的切線方向，所以，相對(duì)速度應(yīng)沿水平方向，但圖2-8(a)中把相對(duì)速度指向畫(huà)錯(cuò)了。根據(jù)速度合成定理，其中的指向均已確定，而速度四邊形應(yīng)為對(duì)角線方向，故不應(yīng)指向左而應(yīng)指向右。3由于圖2-8(a)中的

38、指向畫(huà)錯(cuò)了，那么，圖2-8(b)中的科氏加速度指向也錯(cuò)了。應(yīng)該向上而不應(yīng)該向下。4既然相對(duì)軌跡應(yīng)為某一平面曲線，動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)加速度就應(yīng)該有切向、法向兩個(gè)分量，而相對(duì)軌跡在點(diǎn)的曲率半徑，由于相對(duì)軌跡方程未知，故無(wú)法求得相對(duì)法向加速度。5計(jì)算有錯(cuò)。對(duì)于速度未知量的計(jì)算，應(yīng)根據(jù)正確畫(huà)出的速度平行四邊形，用幾何法或用解析法求解。幾何法只需根據(jù)正確的速度四邊形，由幾何關(guān)系算出某矢量，解析法則需根據(jù)合矢量投影定理求解，即：合矢量在某軸上的投影，等于諸分矢量在同軸上投影的代數(shù)和。而上解中的式(2)按“未知矢量的投影已知矢量的投影”來(lái)計(jì)算未知量，顯然不符合合矢量投影定理，因此是錯(cuò)誤的。6在加速度計(jì)算中，上解的公

39、式(3)是按所有加速度在Oy軸上的投影的代數(shù)和等于零，即來(lái)計(jì)算的，這顯然不符合合矢量投影定理，是錯(cuò)誤的。正確解答：取曲柄OA的端點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，滑桿BCD為動(dòng)系，地面為定系。動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)軌跡為以O(shè)為圓心，以r為半徑的圓，相對(duì)軌跡為水平直線，牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)。于是，動(dòng)點(diǎn)A的速度與加速度矢量圖分別為圖2-8(c)、(d)所示。由幾何關(guān)系可知，動(dòng)點(diǎn)A的牽連速度和牽連加速度(即為滑桿BCD的速度和加速度)分別為題2-9 在圖示系統(tǒng)中，輪O在水平面上作純滾動(dòng)，并與桿AB鉸接于A點(diǎn)。在圖示位置時(shí)，OA水平，輪心的速度為。試求桿AB中點(diǎn)M的速度。錯(cuò)誤解答：因?yàn)闂UAB作平動(dòng)，故有，如圖2-9（a）所示。錯(cuò)因分析：桿

40、AB作平面運(yùn)動(dòng)而非平動(dòng)。正確解答：系統(tǒng)中的輪O、桿AB均作平面運(yùn)動(dòng)。由于輪O作純滾動(dòng)，故與地面的接觸點(diǎn)C為它的瞬心，于是A點(diǎn)的速度方向應(yīng)垂直于AC連線。桿AB兩端速度方向已知，分別作A、B兩點(diǎn)速度的垂線，其交點(diǎn)P即為桿AB的速度瞬心，如圖2-9（b）所示。 輪O的角加速度為A點(diǎn)的速度則為桿AB的角速度為桿AB中點(diǎn)M的速度為其中 故 題2-10 平面機(jī)構(gòu)如圖2-10（a）所示。長(zhǎng)為r的曲柄OA以勻角速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，ABAD=l,BC=r。試求圖示瞬時(shí)滑塊C、D的速度及桿BC的角速度。錯(cuò)誤解答：曲柄OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊D沿水平滑槽滑動(dòng)，故BD桿上A、D兩點(diǎn)的速度方向已知，由速度投影定理，有又因?yàn)闂U

41、BDBC，故B點(diǎn)的速度方向垂直于BC，且有。因已知BC桿上B、C兩點(diǎn)的速度方向，作速度方向的垂線，其交點(diǎn)C即為桿BC的速度瞬心。于是，有錯(cuò)因分析：1上解中B點(diǎn)的速度方向錯(cuò)誤。因桿BD作平面運(yùn)動(dòng)，它的速度瞬心在P，故可知B點(diǎn)的速度方向應(yīng)垂直于PB連線。2由于B點(diǎn)的速度方向錯(cuò)誤，導(dǎo)致BC桿的速度瞬心位置錯(cuò)誤，即BC桿的瞬心不在C點(diǎn)而應(yīng)在，如圖2-10（b）所示。正確解答：曲柄OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊D、C沿水平滑槽滑動(dòng)，故可知A、C、D點(diǎn)的速度方向。桿BD，DC作平面運(yùn)動(dòng)。由速度投影定理，有所以 BD桿的速度瞬心在P，由幾何關(guān)系知，為等邊三角形，即PD=BD=PB=2l,桿BD的角速度為而B(niǎo)點(diǎn)速度為因

42、為桿BC在B、C兩點(diǎn)的速度方向已知，故其速度瞬心在，如圖2-10(b)所示。因，所以，于是，桿BC的角速度為滑塊C點(diǎn)的速度為題2-11 在圖示機(jī)構(gòu)中，固定齒輪O與運(yùn)動(dòng)齒輪A半徑均為r。曲柄OA以勻角速度繞O軸反復(fù)擺動(dòng)。其尺寸為r0.1m,BC=0.6m,=0.2m。圖示瞬時(shí)OA水平，A、B、C在同一鉛垂線上，。試求該瞬時(shí)桿BC、桿、齒輪A的角速度。錯(cuò)誤解答：曲柄OA、桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故A、C點(diǎn)的速度方向已知。齒輪A作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心在嚙合點(diǎn)P。于是，有齒輪A的角速度為B點(diǎn)的速度為 桿BC作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心在，且有 所以，桿BC的角速度為 C點(diǎn)的速度為桿的角速度為 錯(cuò)因分析： 上解中對(duì)運(yùn)動(dòng)

43、的分析、瞬心位置P、均正確無(wú)誤。其錯(cuò)處在于，在計(jì)算桿BC速度瞬心位置時(shí)，將視為直角三角形了，這就導(dǎo)致了桿BC的角速度、C點(diǎn)速度、桿的速度計(jì)算的錯(cuò)誤。正確解答：曲柄OA、桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故A、C點(diǎn)的速度方向已知，動(dòng)齒輪A、桿BC作平面運(yùn)動(dòng)，齒輪O、A的嚙合點(diǎn)P為動(dòng)齒輪A的速度瞬心，A、B、C三點(diǎn)的速度方向如圖2-11(b)所示。 因，所以，B點(diǎn)的速度為 桿BC在B、C兩點(diǎn)的速度方向已知，由速度投影定理，有 所以 桿的角速度為 為求桿BC的角速度，以B為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的速度為 其速度矢量圖如圖2-11(b)所示。取投影軸x，并將上式在x方向投影，有 所以 桿BC的角速度為 題2-12 長(zhǎng)度均為l的兩桿

44、AC與BC鉸接于C，其端點(diǎn)A與B分別沿兩直線運(yùn)動(dòng)，如圖2-12（a）所示。設(shè)ABCD構(gòu)成一平行四邊形時(shí)，。試求該瞬時(shí)C點(diǎn)的速度和兩桿的角速度。錯(cuò)誤解答：桿AC、BC均作平面運(yùn)動(dòng)。以A為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的速度為 (1)其速度矢量圖如圖2-1(a)所示。再以B為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的速度 (2)因?yàn)?，所以，?(3)取投影軸x、y，并將各速度沿x軸投影，有 (4)將之值代人上式，得 由式(1)并將代入得 方向水平向右。將各速度沿y軸方向投影，有 (5)因已求得，所以 錯(cuò)因分析 1圖2-12(a)速度矢量圖中，指向有誤。在題設(shè)情況下，桿AC的角速度應(yīng)為反時(shí)針轉(zhuǎn)向，桿BC的角速度應(yīng)為順時(shí)針轉(zhuǎn)向。圖-12(a)中按

45、BC桿反時(shí)針轉(zhuǎn)畫(huà)出了C點(diǎn)相對(duì)于B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，這在運(yùn)動(dòng)學(xué)上是不可能實(shí)現(xiàn)的。2將式(3)分別在x,y軸投影時(shí)，應(yīng)按等號(hào)兩邊分別投影的原則計(jì)算，而不能像寫(xiě)靜力學(xué)平衡方程那樣寫(xiě)。正確解答：桿AB、BC均作平面運(yùn)動(dòng)。以A為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的速度為 (1)式(1)中的大小、方向均為未知，的大小未知，共計(jì)3個(gè)未知量，暫不能求解。為此，再以B為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的速度為 (2)用兩個(gè)基點(diǎn)求得應(yīng)相同，即 (3)故有 其速度矢量圖如圖2-12(b)所示。取投影軸x、y，并將式(3)在x軸方向投影，有 即 而桿AC的角速度為 將式（3）沿y軸投影，有即 而桿BC的角速度為 將式（1）沿x，y軸投影，有 C點(diǎn)的速度大小為 C

46、點(diǎn)的速度方向 理論力學(xué)典型錯(cuò)解選評(píng)第3篇 動(dòng)力學(xué)題4-1 質(zhì)量為m的物塊放在質(zhì)量為的光滑均質(zhì)桿的中點(diǎn)上，桿系3根繩子保持在圖4-1（a）所示的位置。已知，不計(jì)物塊尺寸。試求當(dāng)繩突然剪斷時(shí)，繩的角加速度及繩中的張力。 錯(cuò)誤解答：當(dāng)剪斷繩后，桿作轉(zhuǎn)動(dòng)。繩的角加速度為，點(diǎn)加速度。虛加的慣性力系向桿質(zhì)心簡(jiǎn)化，其受力圖如圖4-1（b）所示。由達(dá)朗伯原理，取，軸如圖所示，則有圖4-1，所以 ，所以 ，所以 錯(cuò)因分析：將繩剪斷瞬時(shí)，桿與物塊的速度均為零，但桿光滑，物塊與桿之間將有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。物塊在桿上只是瞬時(shí)靜止，相對(duì)滑動(dòng)的速度為零，但相對(duì)滑動(dòng)的加速度卻不為零。上解中誤認(rèn)為物塊在桿上靜止不動(dòng)，沒(méi)考慮相對(duì)滑動(dòng)的

47、加速度。（2）桿作平動(dòng)而非轉(zhuǎn)動(dòng)，其角加速度為零，顯然慣性力向其質(zhì)心簡(jiǎn)化的主矩應(yīng)為零。上解中虛加了慣性力系主矩是錯(cuò)誤的。 正確解答： 當(dāng)剪斷繩后，桿作平動(dòng)，該瞬時(shí)繩的角速度為零，桿及物塊的速度為零。桿平動(dòng)的加速度為，物塊相對(duì)于桿有加速度。若以物塊為動(dòng)點(diǎn)，桿為動(dòng)系，則動(dòng)系平動(dòng)。根據(jù)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理，有 以物塊G為研究對(duì)象，其受力圖如圖4-1（c）所示。由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程，有 所以 以整體系統(tǒng)為研究對(duì)象，其主動(dòng)力，約束反力和虛加的慣性力如圖4-1（d）所示。由平衡方程，有 ，即 得 于是，繩的角加速度為 ， ，所以 題4-2 質(zhì)量為、長(zhǎng)為的均質(zhì)桿，其端裝有不計(jì)質(zhì)量的小輪，小輪可沿光

48、滑斜面下滑。設(shè)初瞬時(shí)桿靜止于鉛垂位置，求開(kāi)始下滑時(shí)A點(diǎn)的加速度及斜面的約束反力。錯(cuò)誤解答：圖4-2因?yàn)槌跛矔r(shí)桿鉛垂，故開(kāi)始下滑時(shí)，桿作平動(dòng)。設(shè)開(kāi)始下滑時(shí)點(diǎn)的加速度為，方向?yàn)檠匦泵嫦蛳?。由于桿作平動(dòng)，故將慣性力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化，慣性力系的合力為，作用在質(zhì)心。其受力圖如圖4-2（a）所示。由平衡方程，有 ， （1）所以 ， （2）所以 錯(cuò)因分析：桿從靜止的鉛垂位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后將作何種運(yùn)動(dòng)要加以論證。對(duì)于圖4-2（a）來(lái)說(shuō)，若對(duì)桿應(yīng)用相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，可知，即，因?yàn)?、均不為零。故桿不作平動(dòng)而作平面運(yùn)動(dòng)。不加論證就斷言桿作平動(dòng)是錯(cuò)誤的。正確解答：當(dāng)桿從靜止的鉛垂位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，桿將作何種運(yùn)動(dòng)？為了解答

49、這一問(wèn)題，對(duì)桿應(yīng)用相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理圖4-2（a），有 （1）因?yàn)?、均不為零。再由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 （2）由于、均不為零，故，由式（1）可見(jiàn)，即運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)桿的角加速度，故桿作平面運(yùn)動(dòng)。因初瞬時(shí)系統(tǒng)靜止，故桿的初角速度，以為基點(diǎn)，質(zhì)心的加速度為將慣性力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化，其主矢、主矩以及主動(dòng)力、約束反力如圖圖4-2（b）所示。由平衡方程，有 ， （3）式中，故有 （4），即 解得 由式（4），有， （5）所以 題4-3 質(zhì)量為、長(zhǎng)為的均質(zhì)桿放在光滑墻棱上，在桿與鉛垂墻之間夾角為且時(shí)無(wú)初速釋放。試求初瞬時(shí)質(zhì)心的加速度和處的約束反力。錯(cuò)誤解答：圖4-3在無(wú)初速釋放瞬時(shí)，桿的角速度為零，但角加速度不為零，設(shè)其

50、沿順時(shí)針轉(zhuǎn)向。主動(dòng)力，約束反力和向質(zhì)心簡(jiǎn)化的慣性力系主矢、主矩如圖4-3（a）所示。由平衡方程，有， （1）式中，故有 （2）而質(zhì)心的加速度為 （3） ， （4）所以 錯(cuò)因分析：當(dāng)桿在位置無(wú)初速釋放時(shí)，由于棱角光滑，雖然桿相對(duì)棱角滑動(dòng)速度為零，但滑動(dòng)加速度不為零。桿上點(diǎn)相對(duì)于棱角有滑動(dòng)加速度，沿桿方向。上解中認(rèn)為點(diǎn)不但速度為零，而且加速度也為零，這實(shí)際上是把點(diǎn)當(dāng)成定軸了，顯然是不正確的。正確解答：當(dāng)桿在位置無(wú)初速釋放時(shí)，桿的角速度為零，但角加速度不為零。桿相對(duì)于棱角滑動(dòng)的速度為零，但桿上點(diǎn)相對(duì)于棱角點(diǎn)滑動(dòng)加速度不為零，因?yàn)橛少|(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 可知，質(zhì)心有沿桿方向的加速度，因此，桿上點(diǎn)有相對(duì)于棱角滑

51、動(dòng)的加速度，以為基點(diǎn)，則點(diǎn)的加速度為， （1）以桿為研究對(duì)象，設(shè)其角加速度沿順時(shí)針?lè)较?，主?dòng)力、約束反力以及慣性力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化的主矢和主矩如圖4-3（b）所示。由平衡方程，有 ， （2）所以 ， （3）式中，故有 于是 而質(zhì)心的加速度為 ， （4）所以 題4-4不等高曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄，其上作用一力偶，連桿長(zhǎng)，滑塊上作用一力。各處摩擦不計(jì)。試求平衡時(shí)與的關(guān)系。錯(cuò)誤解答：系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，取廣義坐標(biāo)為，給曲柄虛位移，則、兩點(diǎn)的虛位移如圖4-4所示。由虛位移原理，有 （1）曲柄可作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故點(diǎn)的虛位移，而與之間，有關(guān)系 （2）由幾何關(guān)系知 （3）故有 即 （4）將式（4）代入（1），得 （5

52、）所以 （6）錯(cuò)因分析：上解中式（3）是錯(cuò)誤的。根據(jù)幾何關(guān)系，應(yīng)有而不是。由此導(dǎo)致式（4）、（5）、（6）都是錯(cuò)的。正確解答：系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，取廣義坐標(biāo)為，曲柄可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其虛位移為，點(diǎn)的虛位移?；瑝K受水平滑道約束，故其虛位移沿滑道如圖4-4所示。由虛位移原理，有 （1）連桿可作平面運(yùn)動(dòng)，故、兩點(diǎn)的虛位移在連線上投影相等，即 其中，由幾何關(guān)系可知，故有 即 （2）將式（2）代入式（1），得圖4-4 因，所以，有 另解：用求解。取坐標(biāo)如圖4-4所示，則力的投影，于是，有 （3）點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， （4）因、之間的高差為常數(shù)，故有 求變分，有 所以 （5）將式（4）、（5）代入式（3），有得 題4

53、-5 在圖示的鉸接四邊形機(jī)構(gòu)中，。在重為的均質(zhì)桿上有一與桿鉸接的套筒。桿的端連接一剛度系數(shù)為的彈簧，并知當(dāng)時(shí)彈簧為原長(zhǎng)。在桿上作用一力偶。試求平衡時(shí)的大小。錯(cuò)誤解答：圖4-5給桿虛位移，則點(diǎn)的虛位移，套筒的也即桿的虛位移為 而 ，彈簧的彈性力 （1）由虛位移原理，有 （2） 即 或 （3） ，故得 錯(cuò)因分析：上解中將桿的重力的虛功漏掉了。彈性力的計(jì)算式1是錯(cuò)誤的。在系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，彈簧已發(fā)生了實(shí)際的變形，虛位移只是一種為約束所容許的、一切可能的無(wú)窮小位移，它不是真實(shí)發(fā)生的實(shí)位移，因此，在計(jì)算彈性力時(shí)，不能把虛位移也計(jì)算在內(nèi)。正確解答：系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，廣義坐標(biāo)取為。彈簧為非理想約束，故應(yīng)

54、將其解除，代以約束反力，并將其視為主動(dòng)力。彈性力為 （1）桿可作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它的虛位移為，而點(diǎn)的虛位移則為。由于該結(jié)構(gòu)為鉸接平行四邊形機(jī)構(gòu)，故桿可作平動(dòng)。套筒相對(duì)于桿可滑動(dòng)。若以套筒為動(dòng)點(diǎn)，桿為動(dòng)系，則套筒的絕對(duì)、相對(duì)、牽連虛位移之間的關(guān)系為 （2）其中 。將式（2）在豎直方向投影，有。由虛位移原理，有即 將式（1）代入，并因，故有題4-6 平行四邊形機(jī)構(gòu)如圖，其中。在鉸、之間所連彈簧的剛度為，原長(zhǎng)為。在桿上作用一力偶，在點(diǎn)作用一豎向力。各桿重不計(jì)，各處光滑，試求平衡時(shí)力偶的值。錯(cuò)誤解答：圖4-6系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，廣義坐標(biāo)取為。彈簧為非理想約束，應(yīng)將其解除，代以約束反力，并將其視為主動(dòng)力。彈性

55、力為 （1）取坐標(biāo)軸如圖4-6所示。各力在軸上的投影分別為 ，各力作用點(diǎn)的坐標(biāo)及其變分分別為，由虛位移原理，有 （2）即 ，將式（1）代入上式，所以有 （3）錯(cuò)因分析：功的分析表達(dá)式是在慣性參考系中導(dǎo)出的，只在慣性參考系中適用，也就是說(shuō)，式中的坐標(biāo)、都是對(duì)于慣性參考系的。虛位移原理的分析表達(dá)式應(yīng)同樣只在慣性參考系中適用，也即，式中的坐標(biāo)、都應(yīng)是對(duì)于定坐標(biāo)系寫(xiě)出的。故而在應(yīng)用虛位移原理的分析表達(dá)式時(shí)，必須先建立坐標(biāo)系而且必須是固定不動(dòng)的坐標(biāo)系。上解中所取坐標(biāo)系中，軸是可動(dòng)的而非固定的，因此是錯(cuò)誤的，由此導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的錯(cuò)誤。正確解答：系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，取廣義坐標(biāo)為。解除屬于非理想約束的彈簧，代

56、以約束反力并視其為主動(dòng)力。彈性力為 （1）取坐標(biāo)軸如圖，各力在坐標(biāo)軸上的投影分別為，各力作用點(diǎn)的坐標(biāo)及其變分分別為，由虛位移原理的分析表達(dá)式，有 （2）即 ，所以有將式（1）代入上式，得題4-7 在圖示平面機(jī)構(gòu)中，。在圖示位置水平，且、在同水平線上。在上作用一力偶，在滑塊上作用一力。試求平衡時(shí)，力偶與力的關(guān)系。錯(cuò)誤解答：桿、可作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿可作瞬時(shí)平動(dòng)，桿、可作平面運(yùn)動(dòng)。給桿虛位移，則、兩點(diǎn)的虛位移相等，因桿的瞬心與桿的轉(zhuǎn)軸重合，且，故，于是，點(diǎn)虛位移為 （1）由虛位移原理，有 即 （2）因，所以有 （3）錯(cuò)因分析：上解中式（1）是錯(cuò)誤的。因?yàn)閯傮w作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度投影定理講的是，平面運(yùn)動(dòng)剛體

57、上任何兩點(diǎn)的速度在兩點(diǎn)連線上投影相等。對(duì)于可作平面運(yùn)動(dòng)剛體上兩點(diǎn)虛位移的投影，也應(yīng)按此定理計(jì)算。式（1）是將、兩點(diǎn)的虛位移在水平方向投影相等而得到兩點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系，顯然是錯(cuò)誤的。正確解答：圖4-7系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，、點(diǎn)的虛位移如圖4-7所示。因?yàn)橹挥幸粋€(gè)虛位移是獨(dú)立的，故必須建立各虛位移之間的關(guān)系。桿可作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，給虛位移，則點(diǎn)的虛位移為。桿可作瞬時(shí)平動(dòng)，故其上任一點(diǎn)的虛位移均相等，即 桿可作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心恰與桿的轉(zhuǎn)軸重合。設(shè)桿繞瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)的虛位移為，則有 但 桿可作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)其繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的虛位移為，則有 由此可見(jiàn)，而點(diǎn)虛位移為 桿可作平面運(yùn)動(dòng)，其上、兩點(diǎn)的虛位移在、兩點(diǎn)連線上投影相等

58、，即，由虛位移原理，有即 ，題4-8 圖示滑輪系統(tǒng)懸吊質(zhì)量均為的、三個(gè)物塊，且滑輪與繩的質(zhì)量不計(jì)，試求各物塊的加速度。錯(cuò)誤解答：圖4-8設(shè)物塊、的加速度、向下，由幾何關(guān)系可知塊的加速度為 （1）方向向上。、三點(diǎn)的虛位移為、，因系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，故只能有2個(gè)獨(dú)立虛位移，設(shè)為、，則點(diǎn)的虛位移為 （2）如圖4-8所示。由動(dòng)力學(xué)普遍方程，有即 或 （3） 因?yàn)?、彼此獨(dú)立，故欲使式（3）成立，必有 、前面的系數(shù)為零，于是，有 （4） （5）由式（5），有，代入式（4），得因，所以因，所以 錯(cuò)因分析：上解中物塊的加速度式（1）和虛位移式（2）都是錯(cuò)誤的。由此便導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的錯(cuò)誤。因?yàn)槔K長(zhǎng)為常量，由圖

59、4-8所示坐標(biāo)可知，其約束方程為 （6） 上式對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)，得 將式（6）求變分，得 由此可見(jiàn)，上解中式（1）、（2）是錯(cuò)誤的。正確解答：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，廣義坐標(biāo)取為、。因?yàn)槔K長(zhǎng)為常量，故有約束方程 上式對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)，得或 即 或?qū)⑸鲜黾s束方程求變分，得 慣性力、主動(dòng)力如圖4-8所示。由動(dòng)力學(xué)普遍方程，有 或 因?yàn)?、是彼此獨(dú)立的，且均不等于零，故欲使上式得以滿足，只有 、前面的系數(shù)同時(shí)為零，于是，有 （7） （8）由式（7），得由式（8），有 （9）但的大小為，所以，有代入式（9），得，所以 題4-9 質(zhì)量為、半徑為的均質(zhì)圓盤，其邊緣上的點(diǎn)處系一長(zhǎng)為的繩，繩端懸吊一質(zhì)量也為的小球

60、（不計(jì)尺寸），試寫(xiě)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。錯(cuò)誤解答：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，廣義坐標(biāo)為、。因?yàn)樽鞴Φ牧橛袆?shì)力，故系統(tǒng)是保守的。系統(tǒng)的動(dòng)能為 其中 （1）圖4-9如圖4-9所示。故有 （2）取點(diǎn)為勢(shì)能的零位，故系統(tǒng)的勢(shì)能為 拉格朗日函數(shù)為 由拉格朗日方程，有 （3） （4）代入拉格朗日方程之中，有即 （5）由拉格朗日方程，有 （6） （7）代入拉格朗日方程，有 （8）錯(cuò)因分析：1計(jì)算動(dòng)能時(shí)，點(diǎn)速度計(jì)算是錯(cuò)誤的。因?yàn)辄c(diǎn)的速度應(yīng)以廣義速度、來(lái)表示，而廣義坐標(biāo)、的正向已取定，故、應(yīng)與、正向一致，上解中式（1）將的正向取反了，故式（1）是錯(cuò)誤的，由此導(dǎo)致了一系列的錯(cuò)誤。2上解中式（3）計(jì)算有誤。因?yàn)閷?duì)時(shí)間