山大《線性代數(shù)》課件05二次型_第1頁(yè)
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二次型一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形：定義1：定義2：若線性變換的矩陣可逆，則稱(chēng)線性變換為可逆線性變換；正交，則稱(chēng)線性變換為正交變換。定義3：只含平方項(xiàng)的二次型，即形如稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）。二、二次型的矩陣表示法：二次型的矩陣表示式二次型的矩陣（顯然這是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣）定義4：設(shè)二次型則稱(chēng)對(duì)稱(chēng)矩陣 A的秩為二次型 f 的秩。三、二次型經(jīng)可逆變換后的矩陣：由上討論可得：定理1四、正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：?jiǎn)栴}1：標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣 = ？將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)際上是什么問(wèn)題？問(wèn)題3：二次型能否化為標(biāo)準(zhǔn)形？能！因?yàn)槿我鈱?shí)對(duì)稱(chēng)陣都與對(duì)角陣正交合同。問(wèn)題2：定理2將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的一般步驟：(i) 寫(xiě)出二次型的矩陣 A；用配方法化二次型為標(biāo)形的方法及慣性定理。為橢圓柱面。二次型的分類(lèi)1.定義：是一個(gè)實(shí)二次型，若對(duì)于任何非零的向量矩陣的正定與負(fù)定是怎樣定義的？2.二次型正定的判別法：判別法 I：用定義。例1：見(jiàn)教材。例2：證：判別法 II：用標(biāo)準(zhǔn)形 。定理1：實(shí)二次型 顯然。定理2：可逆線性變換不改變二次型的正定性。定理3：實(shí)二次型證：由推論2及A正定,存在正交矩陣 Q，使必須掌握這一推論的證明 。判別法 III：用特征值 。判別法 IV：用順序主子式 。定義：位于矩陣A的最左上角的1,2,n階子式，稱(chēng)為矩陣 A

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