留數(shù)的計算方法

1、 留數(shù)的計算方法摘 要：本文介紹了常見的幾類的留數(shù)的計算方法.并通過實例加以闡析.關(guān)鍵詞：留數(shù)；極點；零點The Calculation of the ResidueAbstractThis paper presents several commonly solving methods of residue. Based on examples, these solving methods are stated and analyzed.Key WordsResidue; PolesZero-point引言由留數(shù)定理得知，計算函數(shù)f(z)沿C的積分，可歸結(jié)為計算圍線C內(nèi)各孤立奇 點處的留數(shù)之和

2、.而留數(shù)又是該奇點處的羅朗級數(shù)的負(fù)一次幕的系數(shù)，因此我們只關(guān)心該奇點處羅朗級數(shù)中的負(fù)一次幕系數(shù)，也就是說，不必完全求出羅朗級數(shù)就可以完全確定該點的留數(shù).下面介紹求留數(shù)的幾種常用方法，使用時要根據(jù)具體條件，選擇一個較方便的 方法來進行.有限遠(yuǎn)點留數(shù)的計算方法留數(shù)定理把計算閉曲線上的積分值的問題轉(zhuǎn)化為計算各個孤立奇點上的留數(shù)的 問題，即計算在每一個孤立奇點處的羅朗展式中負(fù)幕一次項的系數(shù)C,.在一般情況下，求羅朗展式也是比較麻煩的，因此，根據(jù)孤立奇點的不同類型，分別建立留數(shù)計 算的一些簡便方法是十分必要的.若Z0為f (z)的可去奇點則f (z)在0 |z-Z0 R內(nèi)的羅朗展開式中不含負(fù)幕項，從而a

3、,=0,故當(dāng)z。為 f (z)的可去奇點時，Re s f (z0) = 0.(1.1)若z0為f (z)的一階極點(1)第一種情形：若z0為f (z)的一階極點，則f (z)在0 |z-z| zo(2)第二種情形:且 Q (Zo) 第0 ,則若zo為f (z) =_!(!的一階極點, Q(z)Res f (Zo)P(Zo)Q (Zo)(1.3)3若Zo為f (Z)的m階極點(Z -Zo)m f (Z)Res f (Zo) lim(1.4).如果極點的級數(shù)較(m -1)! ZTo d z 一般來講，公式(1.4)適合計算級數(shù)較低的函數(shù)的極點的留數(shù)高時，計算可能比較復(fù)雜，此時可根據(jù)具體情況改用其他

4、方法計算留數(shù)當(dāng)Z0為f (Z)的本性奇點時幾乎沒有什么簡捷方法，因此對于本性奇點處的留數(shù)，就只能利用羅朗展開式 的方法或計算積分的方法來求.有限遠(yuǎn)點留數(shù)計算典型實例，-4zeZ例 1.5.1 求 Re s I,1 ._z2 -1z解 容易知道z =1是函數(shù)的一階極點，所以z 1ZZzeze eRes f (z),1 = lim (z -1) 2= lim =-ZT z -1 ZT z +12 .本題也可用上述方法設(shè) f (Z)=巴亙，取 P(z) = zeZ , Q(z) = z2 -1 ,顯然 P(z) , Q(z)滿足方法 1.2 中 Q(z)(2)的條件，所以zeZRes 二,1ILZ

5、一1P(1) =_eQ (1)2例1.5.2求函數(shù) f (z)=(z -1)(z - 1)2在z =1處的留數(shù).解 由于z=1是分母的一級零點，且分子在z=1時不為零，因此，2=1是口)的一級極點.由公式(1.2)可以得到(z -1)(z - 1)2由于z = -1是分母的二級零點，且分子在z=1時不為零，因此，2=_1是“)的二級極點.由公式(1.4)得Re s( f (z), -1) = lim z-1 dz(z F2(z -1)(z - 1)2-1=lim 21 (z -1)例 1.5.3求函數(shù)f (z)=sin zz4 - 1在z =1處的留數(shù).解因為z4 _1以z = _1為一級零點

6、，而sin 1豐0 ,因此f ( z)以z = 1為一級極點.由Re s( f (z),1) = lim (z 1公式(1.3)得sin zRe s(f (z),1)：(z -1)sin z4z31 sin 14例 1.5.4求函數(shù)f (z) =ez z在z =0處的留數(shù).解 z =0是f (z)的本性奇點，因為f (z) ue2!(n -1)!)，(0 :： z :二二)1 .所以相乘后級數(shù)1的系數(shù)C為z1 C,=1 .1十2!2!3!(n - 1)! n!于是Re s( f (z),0)111+2!2!3!(n - 1)! n!2.無限遠(yuǎn)點處的留數(shù)計算方法無窮遠(yuǎn)點留數(shù)定義或留數(shù)和定理依內(nèi)解

7、析，則定義2.1.13設(shè)七點為函數(shù)f(z)的一個孤立奇點，即f(z)在RR ,C的方向是順時針的.設(shè)f(z)在R z(收內(nèi)的洛朗展式為 TOC o 1-5 h z 11nf(z)=- Cg 7 C C0 Ciz Cnz zz上式兩端同乘二,沿c逐項積分，并根據(jù)定義1,有 2 二 i1-1 二 nRe s( f (z),二)二;f (z)dz = % Cn z dz = C.(2.1)2 二i C 12-i n ： C即f(z)在力點的留數(shù)等于它在黨領(lǐng)域的洛朗展式中負(fù)一次幕的系數(shù)的相反數(shù).這里需要指出的是，當(dāng)z。為f(z)的有限可去奇點時，必然有Res(f(z),z0)=0 ;但是，如果8是f

8、(z)的可去奇點時，則不一定有Re s( f (z),m)=0 .1如 f (z) =1 + , z = g 在是 f (z)的可去奇點；但 Re s( f (z)產(chǎn))=1 00 . zz例2.1.1求函數(shù)f(z)=: 在z =8點處的留數(shù).z - 1z解函數(shù)f(z)=Ve以z =1及z = _1為一階極點，而z =8為本性奇點又z 1eR e sf ( 1)2所以1,R e-s =(1e2_L e 一 eRes f (二：)=2關(guān)于函數(shù)在有限孤立奇點和無窮遠(yuǎn)點留數(shù)之間的關(guān)系，有如下定理.定理 2.1.1 若 lim f (z) =0 ,則z，-證明由條件，故可設(shè)f(z)在zg的去心鄰域的洛朗

9、級數(shù)(2.2)Res f (二)=-lim_ z f (z)c nc 1f (z)二.告.一 .0 . 0 上0 工一 zz因此Ref ;(J - z Jizmf z ()公式(2.2)在計算留數(shù)時是非常有用的.如果已知函數(shù)在所有有限孤立奇點的留數(shù) 之和，由式(2.2)即可知道函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點留數(shù)；反之如果知道了函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù) 則函數(shù)在所有有限孤立奇點的留數(shù)之和便可以求出.當(dāng)函數(shù)的有限孤立奇點較多時，其留數(shù)之和計算比較復(fù)雜時，通過求函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)來求其在所有有限孤立奇點 的歷史之和是非常方便的.另外，我們還可以先計算出比較容易計算的函數(shù)的部分孤立奇點的留數(shù)，然后用公式(2.2)求出比較難計算的另一部分孤立奇點的留數(shù)之和.結(jié)束語留數(shù)定理的應(yīng)用為一部分積分的計算提供了便利，特別是對某些復(fù)雜的積分， 它大大縮短求解過程.因此，利用留數(shù)計算定積分對理解留數(shù)理論和掌握一些特殊