【2020-2021自招】長沙市南雅中學(xué)初升高自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷【4套】【含解析】

1、第一套：滿分150分2020-2021年長沙市南雅中學(xué)初升高自主招生數(shù)學(xué)模擬卷選擇題（共8小題，滿分48分）1（6分）如圖，ABC中，D、E是BC邊上的點，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC邊CM：MA=1：BM交AD，AE于上，則BH：HG：GM=（A3：2：1C25：12：52，）5：3：1D51：24：10A.0B.1C.2D.3A.B.C.4.（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O的半徑為1，則直線yx2與O的位置關(guān)系是（A相離B相切C相交D以上三種情況于D2；過S2013的大小為（)都有可能5（6分）若一直角三角形的斜邊長為c，內(nèi)切圓半徑是r，則內(nèi)切圓的面積與三角形面積之比是（A6

2、（6分）如圖，RtABC中，BC=，ACB=90，A=30，D1是斜邊AB的中點，過D1作D1E1AC于E1，連結(jié)BE1交CD1D2作D2E2AC于E2，連結(jié)BE2交CD1于D3；過D3作D3E3AC于E3，如此繼續(xù)，可以依次得到點E4、E5、E2013，分別記eqoac(,)BCE1、BCE的面積為S、S、S、22013123eqoac(,3)、BCE、S2013則A.3B.31003C.3D.63420131007671有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（）7（6分）拋物線y=ax2與直線x=1，x=2，y=1，y=2圍成的正方形Aa1BaCa1D2a2ABC2009O20098（6分）如圖，

3、矩形ABCD的面積為5，它的兩條對角線交于點O1，以AB，AO1為兩鄰邊作平行四邊ABC1O1的對角線交BD于點02，同樣以AB，AO2形ABC1O1，平行四邊形ABC2O2，依此類推，則平行四邊形為兩鄰邊作平行四邊形的面積為（B.2C.1D.3A.n填空25n2每7分，滿423n2n題：題分9（7分）方分）的解程組是10（7分）若對任意實數(shù)x不等式axb那a，b的都成立值范圍為，么取11（7分）如圖，圓錐的母線長是3，底面半徑是是底面圓周上一點，從A點出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到的最短的路線長是12（7分）有一張矩形紙片ABCD，AD=9，AB=12，將紙片折疊使A、C兩點重合，那么折痕長是13（

4、7分）設(shè)1x2，則|x2|x|+|x+2|的最大值與最小值之差為14（7分）兩個反比例函數(shù)y=，y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示點P1，P2，P3、P2007在反比例函數(shù)y=上，它們的橫坐標(biāo)分別為x1、x2、x3、x2007，縱坐標(biāo)分別是1，3，5共2007個連續(xù)奇數(shù)，過P1，P2，P3、P2007分別作y軸的平行線，的圖象交點依次為Q1與(x1，y1)、Q1(x2，y2)、Q2(x2007，y2007)，則|P2007Q2007|=三解答題：(每天12分，滿分60分)15.(12分).已知正實數(shù)x,y,z滿足：xyyzzx1,且(x21)(y21)(y21)(z21)(z21)(x21)xyy

5、zzx4.(1)求111的值.xyyzzx(2)證明:9(xy)(yz)(zx)8xyz(xyyzzx).16（12分）如圖，ABC是等腰直角三角形，CACB，點N在線段AB上（與A、B不重合），點M在射線BA上，且NCM45。求證：222MNAMBN222。17（12分）在0與21之間插入n個正整數(shù)a1，a2，an，使其滿足0a1a2Lan21。若1，2，3，21這21個正整數(shù)都可以表示為0，a1，a2，an，21這的差。求n的最小值。n2個數(shù)中某兩個數(shù)18（12分）如圖，已知BC是半圓O的直徑，BC=8，過線段BO上一動點D，作ADBC交半圓O于點A，聯(lián)結(jié)AO，過點B作BHAO，垂足為點H

6、，BH的延長線交半圓O于點F（1）求證：AH=BD；（2）設(shè)BD=x，BE?BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，若聯(lián)結(jié)FA并延長交CB的延長線于點G，當(dāng)FAE與19.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB過點A（3，0）、B（0，m）（m0），tanBAO=2（1）求直線AB的表達式；（2）反比例函數(shù)y=的圖象與直線AB交于第一象限內(nèi)的C、D兩點（BD0，解得：m1。一元二次方程x5x6m=0實數(shù)根分別為x1、x2，4故結(jié)論正確。2x1x2=5，x1x2=6m二次函數(shù)y=（xx1）（xx2）+m=x（x12x2）xx1x2m=x5x（6m）m=x5x6=（x2）（x22

7、3）。令y=0，即（x2）（x3）=0，解得：x=2或3。拋物線與x軸的交點為（2，0）或（3，0），故結(jié)論正確綜上所述，正確的結(jié)論有2個：。故選C。3.【答案】B?！痉治觥扛鶕?jù)題意，得xy=20，y=x0,y0 x故選B。4.【答案】B。20【分析】如圖，在則x=2，yx2中，令x=0，則y=2；令y=0，A（0，2），B（2，0）。OA=OB2=。AOB是等腰直角三角形。AB=2，過點O作ODAB，則OD=BD=AB=2=1。1122又O的半徑為1，圓心到直線的距離等于半徑。直線y=x-2與O相切。故選B。5.【分析】連接內(nèi)心和直角三角形的各個頂點，設(shè)直角三角形的兩條直角邊是a，b則直角三

8、角形的面積是；又直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=，則a+b=2r+c，所以直角三角形的面積是r（r+c）；因為內(nèi)切圓的面積是r2，則它們的比是【解答】解：設(shè)直角三角形的兩條直角邊是a，b，則有：S=，又r=，a+b=2r+c，將a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）又內(nèi)切圓的面積是r2，它們的比是故選B【點評】此題要熟悉直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半，能夠把直角三角形的面積分割成三部分，用內(nèi)切圓的半徑進行表示，是解題的關(guān)鍵6.解解：RtABC中，BC=，ACB=90，A=30，答：AC=BC=6，eqoac(,S)ABC=AC?BC=6，D1E1AC，D1E1BC

9、，BD1E1與CD1E1同底同高，面積相等，D1是斜邊AB的中點，D1E1=BC，CE1=AC，S1=BC?CE1=BCAC=AC?BC=SABC；在ACB中，D2為其重心，D2E1=BE1，D2E2=BC，CE2=AC，S2=AC?BC=SABC，S2013=ABCD3E3=BC，CE2=AC，S3=eqoac(,S)ABC；Sn=n；2013故選C7.【分析】此題主要考數(shù)形結(jié)合，畫出圖形找出范圍，問題就好解決【解答】解：由右圖知：A（1，2），B（2，1），8.解解：矩形ABCD的對角線互相平分，面積為5，答：平行四邊形ABC1O1的面積為，平行四邊形ABC1O1的對角線互相平分，平行四邊

10、ABCO的面積22形依此類推，平行四邊形ABC2009O2009的面積為故選B二、填空題9【分析】根據(jù)式子特點，設(shè)x+1=a，y1=b，然后利用換元法將原方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的方程組，再換元為關(guān)于x、y的方程組解答【解答】解：設(shè)x+1=a，y1=b，則原方程可變?yōu)?，由式又可變化為把式代入?13，再代入又得3=9，解得ab=27，又因為a+b=26，=26，=13，這又可以變形為（+）23所以解這個方程或于是（1）解得2），解故答案為點評】本題主要考查解無理方程的知識點，去掉根號把無理式化成有理方程是解題的關(guān)鍵，需要同學(xué)們仔細(xì)掌握10【分析】分a=0，a0兩種情況分析【解答】解：如果a0，不

11、論a大于還是小于0，對任意實數(shù)x不等式axb都成立是不可能的，a=0，則左邊式子ax=0，b0一定成立，a，b的取值范圍為a=0，b0，當(dāng)2x0時，|x2|x|+|x+2|=2當(dāng)1x0時，|x2|x|+|x+2|=2當(dāng)x=0時，取得xx+x+2=4x；x+x+x+2=4+x，最大值為4，x=2時取得最小值，最小值為3，則最大值與最小值之差為1故答案為：1【點評】本題重點考查有理數(shù)的絕對值和求代數(shù)式值解此類題的關(guān)鍵是：先利用條件判斷出絕對值符號里代數(shù)式的正負(fù)性，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)把絕對值符號去掉，把式子化簡，即可求解12【分析】要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007Py200

12、7|的值，因為縱坐標(biāo)分別是1，3，5，共2007個連續(xù)奇數(shù)，其中第2007個奇數(shù)是220071=4013，所以P2007的坐標(biāo)是（Px2007，4013），那么可根據(jù)P點都在反比例函數(shù)y=上，可求出此時Px2007的值，那么就能得出P2007的坐標(biāo)，然后將P2007的橫坐標(biāo)代入y=中即可求出Qy2007的值那么|P2007Q2007|=|Qy2007Py2007|，由此可得出結(jié)果解答】解：由題意可知：P2007的坐標(biāo)是（Px2007，4013），又P2007在y=上，Px2007=而Qx2007（即上，所以Px）在Qy=|P2007Q2007|=|Py2007Qy2007|=|4013故答案為

13、：|=點評】本題的關(guān)鍵是找出P點縱坐標(biāo)的規(guī)律，以這個規(guī)律為基礎(chǔ)求出P2007的橫坐標(biāo)，進而求出Q2007的值，從而可得出所求的結(jié)果13【分析】圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，從A點出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到A點的最短的路線即展開得到的扇形的弧所對弦，轉(zhuǎn)化為求弦的長的問題【解答】解：圖中扇形的弧長是2，根據(jù)弧長公式得到2=n=120即扇形的圓心角是120弧所對的弦長是23sin60=3點評】正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長14【分析】首先由勾股定理求出AC的長，設(shè)AC的中點為E，折線與AB交于F然后求證AEFABC求出

14、EF的長【解答】解：如圖，由勾股定理易得AC=15，設(shè)AC的中點為E，折線FG與AB交于F，（折線垂直平分對角線AC），AE=7.5AEF=B=90，EAF是公共角，AEFABC，EF=折線長=2EF=故答案為【點評】本題綜合考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似，全等等知識點三、解答題15.【解析】4xyyz1(x21)(y21)(y21)(z21)(z21)(x21)解：由等式，zx去分母得z（x2y21)x(y4xyz，1)2z2)xyzxyx(y2z2)(x，yzzx1)0，Qxyyzzx1,xyyzzx101)(1(122y(z2z(x1)(x2(xyz)xyz0,222z2x2yz2y(

15、zx)2y2)3xyz22xyz(xyyzzx)z)(x0yzzx)(xyz)xyzyyxyz(xyz)(xy，xyz(xyz)0,xyzxyz，原式=xyz1.xyz（2）證明：由（數(shù),1）得計算過程xyzxyz，又Qx,y,z為知正實9(xy)(yz)(zx)8xyz(xyyzzx)9(xy)(yz)(zx)8(xyz)(xyyzzx)22x(y2z2)y(z2x2)z(xy)6xyzx(yz)2y(zx)2z(xy)20.x)8yzyzxyz(xyzx).(xy)(yzx)x2yzx2zxzyz：yzy)(z)(9(x【注z)(2xy222xy22xyx(y2z2)x)22y(zz(x2

16、y2)z(xyz)(xyyzzx)x2yxy22xy22zyzz2zx3xyzy2)3xyz】16.答案】如圖，連結(jié)DA、MDCMAC。22222x(y2z2)y(z2x2)z(x2ABC是等腰直角三角形，CACB，且NCM45DCNDCMMCAACNDCM45BCNBCANCA90(45MCA)45MCA45DCMDCNBCN。又CDCACB，CNCN。DCNBCN。NDNB，CDNCBN45。又由MDCMAC，CDMCAM180知CAB18045135。MDNMDCNDC1354590。MDDN。又MDMA，MN22222DMDNAMBN22222。DCN另解：如圖，CBN沿CN翻折得CD

17、N，則BCN。CDCBCA，DNBN，CDNCBNNCM45，45，DCNBCN。DCMDCN45ACNMCNBCN4590ACN45ACM。又CDCA，CMCM。DCMACMMAMD，CDMCAM135，MDNCDMNDC90MNDMDN2222BN2。AM17.【解答】n2個數(shù)至多可以表示(n1)n(n1)L2(n1)(n2)21個不同的且為正數(shù)的差。依題意有，(n1)(n2)21，即(n5)(n8)0。n5。下面證明n5不符合要求。若n5符合要求，則由n5時，(n1)(n2)21知，由0，a，a，12a3，a4，a5，2121這7個數(shù)兩兩之差(大數(shù)減去小數(shù))所得的下列aa個數(shù)：1，a2，

18、a3，4，a5，21，a2a1，a4a1，a5a1，21a1，55a3a2，a4a2，a5a2，21a2，a4a3，aa3，21a3，aa4，2121a5互不相同。于是它們是1，2，3，21的一個排列a4，12，6，13218，14195，205，16215，17192，1820記這21個數(shù)的和為S，則S(a15a1)(2a24a2)(3a33a3)(4a42a4)(5a5a5)6214a12a22a44a5621?？梢奡為偶數(shù)。另一方面，S123L21231為奇數(shù)，與S為偶數(shù)矛21222盾。n5不符合要求。n6符合要求。如插入2，5，8，12，19，20。(不唯一)可以驗證：用0，2，5，8

19、，12，19，20，21這8個數(shù)中某兩個數(shù)的差可以表示1，2，3，21中任意一個數(shù)。(12120，22119385，4128，550，82871912，82092112，10122，11198，1220，215，19190，20200，21210。)可見n的最小值為618.【分析】（1）由ADBC，BHAO，利用垂直的定義得到一對直角相等，再由一對公共角，且半徑相等，利用AAS得到三角形ADO與三角形BHO全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到OH=O，D利用等式的性質(zhì)化簡即可得證；（2）連接AB，AF，如圖1所示，利用HL得到直角三角形ADB與直角三角形BHA全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到一

20、對角相等，再由公共角相等得到三角形ABE與三角形AFB相似，由相似得比例即可確定出y與x的函數(shù)解析式；（3）連接OF，如圖2所示，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AFO與三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的長即可【解答】（1）證明：ADBC，BHAO，ADO=BHO=90，在ADO與BHO中，ADOBHO（AAS），OH=O，D又OA=O，BAH=BD；（2）解：連接AB、AF，如圖1所示，AO是半徑，AO弦BF，AB=AF，ABF=AFB，在RtADB與RtBHA中，RtADBRtBHA（HL），ABF=BAD，BAD=AFB，又ABF=EBA，BEABAF，BA2=BE?BF，BE

21、?BF=y，y=BA2，=AODO，AD=ABADO=ADB=90，AD22222BD2，DO=ABBDAO2222，直徑BC=8，BD=x，AB2=8x，則y=8x（0 x4）；方法二：BE?BF=y，BF=2BH，BEDBOH，OB?BD=BE?BH，4x=y，y=8x（0 xG，當(dāng)FAEFBG時，AEF=G，BHA=ADO=90，AEF+DAO=90，AOD+DAO=90，AEF=AOD，G=AOD，AG=AO=，4AOD=AOF，G=AOF，又GFO是公共角，F(xiàn)AOFOG，AB2=8x，AB=AF，AF=2x，=解得：x=3，3+4，舍去，BD=319.【分析】（1）先通過解直角三角形

22、求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；（2）作DEOA，根據(jù)題意得出=，求得DE，即D的橫坐標(biāo)，代入AB的解析式求得縱坐標(biāo)，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求得k1；（3）根據(jù)勾股定理求得AB、OE，進一步求得BE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得EF的長，從而求得FM的長，得出F的坐標(biāo)，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求得k2【解答】解：（1）A（3，0）、B（0，m）（m0），OA=3，OB=m，tanBAO=2，m=6，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，代入A（3，0）、B（0，6）得：解得：b=6，k=2直線AB的解析式為y=2x+6；2）如圖1，AD=

23、2D，B作DEOA，=DE=OA=1，D的橫坐標(biāo)為1，代入y=2x+6得，y=4，D（1，4），k1=14=4；（3）如圖2，A（3，0），B（0，6），E（，3），AB=3，OE是RtOAB斜邊上的中線，OE=AB=，BE=，EMx軸，F(xiàn)的橫坐標(biāo)為OEFOBE，EF=，F(xiàn)M=3=3（6分）已知mn1-n0m+n+1，那么第二套：滿分150分2020-2021年長沙市南雅中學(xué)初升高自主招生數(shù)學(xué)模擬卷選擇題（每小題6分，滿分48分）ABC1（6分）如圖，在銳角eqoac(,中，)AB=6，BAC=45，DNBAC的平分線交BC于點M，分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（A.62B.

24、6C.32D.3圓珠筆2（6分）有鉛筆、練習(xí)本、三種學(xué)習(xí)用品，若購鉛筆3支，練習(xí)本7本，圓珠筆1支共需3.15元；若購鉛筆4支，練習(xí)本8本，圓珠筆2支共需4.2元，那么購鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆各1件共需（）A1.2元B1.05元C0.95元D0.9元1nn+m的大小關(guān)系是（）Am1n+1nnm11mn+mnnDmnC.n+1mn1mn11mn+n0）x7（6分已知關(guān)于的不等式組的取值范圍是（32a2x0恰有3個整數(shù)解，則aA232a3B43aC4aD4a2）x的取值范圍是。10.（7分）如圖，四邊形ABCD是矩形，A，B兩點在x軸的正半軸上，C，D兩點在拋物線yx26x上，設(shè)OA=（m0m0）個

25、單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在ABC的內(nèi)部（不包含ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）點P時直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構(gòu)成的三角形與BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果，不必寫第二套：滿分150分2020-2021年長沙市南雅中學(xué)初升高自主招生數(shù)學(xué)模擬卷答案解析一、選擇題1.解解：如圖，作BHAC，垂足為H，交AD于M點，過M點作MNAB，答：為N，則BM+MN為所求的最小值A(chǔ)D是BAC的平分線，MH=MN，BH是點B到直線AC的最短距離（垂線段最A(yù)B=4，BAC=45，BH=AB?sin45=6=3BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=3故

26、選C2.【分析】設(shè)購一支鉛筆，一本練習(xí)本，一支圓珠筆分別需要x，y，z元，建立三元一次方程組，兩個方程相減，即可求得x+y+z的值【解答】解：設(shè)購一支鉛筆，一本練習(xí)本，一支圓珠筆分別需要x，y，z元，得x+y+z=1.05（元）故選：B【點評】解答此題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組，同時還要有整體思想3解：mn1n0n+m+1，可知mn，m+n1，m0，0n|n|，|m|2，=5，n+=0.2=假設(shè)符合條件的m=4，n=0.2則1111nm420則40.25故mn+n111故選：D20mn4.解解：BMAC于點M，CNAB于點N，P為BC邊的中點，答：PMPM=P，N正確；在ABM與ACN中，A=A

27、，AMB=ANC=90，ABMACN，正確；A=60，BMAC于點M，CNAB于點N，ABM=ACN=30，在ABC中，BCN+CBM18060302=60，點P是BC的中點，BMAC，CNAB，PM=PN=PB=，PCBPN=2BCN，CPM=2CBM，BPN+CPM=(2BCN+CBM)=260=120，MPN=60，PMN是等邊三角形，正確；當(dāng)ABC=45時，CNAB于點N，BNC=90，BCN=45，BN=C，NP為BC邊的中點，PNBC，BPN為等腰直角三角形BN=PB=PC，正確故選D5.【考點】反比例函數(shù)綜合題；曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；菱形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三

28、角函數(shù)值【分析】如答圖，AC交軸于點H，則CH軸.BOC=60，CO=H30，點C的坐標(biāo)為(m,).四邊形ABOC是菱形，BOD=30BDx軸，點D的坐標(biāo)為.點D在反比例函數(shù)的圖像上，.故選D【考點】翻折變換（折疊問題）；折疊的性質(zhì)；等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理6.【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，.，.是等腰直角三角形.，.在中，根據(jù)勾股定理，得AB=5，.在中，根據(jù)勾股定理，得，.在中，根據(jù)勾股定理，得選B.故7解：由于不等式組有解，則-2ax3a，必定有整數(shù)解0，322，三個整數(shù)解不可能是1，0若三個整數(shù)解為1，0，1，則不等式組無解；若三個整數(shù)解為0，1，2，則；解得a43故選：B3

29、28.解解：如圖，連DB，GE，F(xiàn)K，則DBGEFK，答：在梯形GDBE中，SDGEeqoac(,=S)GEB（同底等高的兩三角形面積相等），同理eqoac(,S)GKEeqoac(,=S)GFES陰影=SDGEeqoac(,+S)GKE，eqoac(,=S)GEB+SGEF，=S正方形GBEF，=44=16故選D二、填空題9.【考點】矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。分析】求l與m的函數(shù)解析式就是把m當(dāng)作已知量，求l，先求AD，它的長就是D點的縱坐標(biāo)，再把D點縱坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求C點橫坐標(biāo)，C點橫坐標(biāo)與D點橫坐標(biāo)的差就是線段CD的長，用l=2（AD+AB），建立函數(shù)關(guān)系式

30、：把x=m代入拋物線yx26x中，得AD=m26m，把y=m26m代入拋物線yx26x中，得m26mx26x，解得x1=m，x2=6m。C的橫坐標(biāo)是6m。AB=6mm=62m。l矩形的周長是2（m26m）2（62m）2m28m10.【答案】0m2）x4的圖象恒有三個不同的交點，常數(shù)m的取值（x2）x所示：故要使直線ym（m為常數(shù)）與函數(shù)yx2（x2）211【分析】先解方程得到a，b的值，計算出平均數(shù)和方差后，再計算方差的算術(shù)平方根，即為標(biāo)準(zhǔn)差【解答】解：由方程x23x+2=0解方程的兩個根是1，2，即a=1，b=2故這組數(shù)據(jù)是3，1，4，2，5其平均數(shù)（3+1+4+2+5）=3=（33）+（1

31、3）+（43）+（23）方差S22222+（53）2=2故五個數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是S=故本題答案為：【點評】計算標(biāo)準(zhǔn)差需要先算出方差，計算方差的步驟是：（1）計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）計算偏差，即每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差；（3）計算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以數(shù)據(jù)個數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差即方差的算術(shù)平方根；注意標(biāo)準(zhǔn)差和方差一樣都是非負(fù)數(shù)12【分析】把含p的項合并，只有當(dāng)p的系數(shù)為0時，不管p取何值拋物線都通過定點，可求x、y的對應(yīng)值，確定定點坐標(biāo)px+4p+1可化為y=2x【解答】解：y=2x22p（x4）+1，分析可得：當(dāng)x=4時，y=33；且與p的取值無關(guān)；故不管p取何值時都通過定點（4，33）【點評】本題

32、考查二次函數(shù)圖象過定點問題，解決此類問題：首先根據(jù)題意，化簡函數(shù)式，提出未知的常數(shù)，化簡后再根13解：據(jù)具體情況判斷2，1+.+11121+12+32+23+43+34+.+(k+1)k+kk+1-+-+11111-1+.+-11=2，即11=2122334kk+13k+131=1，解得k=8故答案為：8k+1314解：解分式方程得：x=2，2-a分式方程的解為正整數(shù)，2a0，a6，PQBQ，BPC0，k=2，BC=2MBC=MCO，MBC+OBC=180，MCO+OCD=180，OBC=OCD，OB=OC=O，DOBC=OCB=OCD=ODC，在OBC和OCD中，OBCOCD，BC=CD=2

33、8a+a=9，DOG=OGB=GOB，BO=BG=，3tanHBG=，設(shè)GH=2a，HB=a，BG2=GH2+HB2，22a2=1，a0，a=1，HB=1，GH=2，OH=2，OG=2，GCDO，=，=，19.【分析】（1）把A、C兩點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求b、c的值，然后利用配方法可求得點M的坐標(biāo)；（2）先求得直線AC的解析式，然后再求得拋物線的對稱軸，設(shè)直線x=1與ABC的兩邊分別交于點E與點F，然后求得點E和點F的坐標(biāo)，然后依據(jù)平移后拋物線的頂點在BAC的內(nèi)部列不等式組求解即可；（3）先證明PCM為直角，然后分為MPCCBD、BDCMCP，兩種情況求得PC的長，然后再求得點P的坐標(biāo)

34、即可【解答】解：（1）把A、C兩點的坐標(biāo)代入得：，解得：二次函數(shù)的解析式為y=x22x4配方得：y=（x1）25點M的坐標(biāo)為（1，5）（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把點A、C的坐標(biāo)代入得：解得：，直線AC的解析式為y=x4如圖1所示，直線x=1與ABC的兩邊分別交于點E與點F，則點F的坐標(biāo)為（1，1）x=拋物線的對稱軸方程為=1將x=1代入直線y=x4得：y=3E（1，3）拋物線向上平移m個單位長度時，拋物線的頂點在BAC的內(nèi)部，35+m12m41，解得x=1或B（1，BD=1ABx軸，A（4，1），D（0，1）AD=DC=3DCA=45過點M作MEy軸，垂足為EC（0，4），M（1

35、，5）CE=ME=1ECM=45，MC=ACM=90PCM=CDB=90當(dāng)MPCCBD時，即=CF=PF=sin45?PC=P(如圖3所示：點P在點C的右側(cè)時，過點P作PFy軸，垂足為FCP=，F(xiàn)CP=45，CFP=90，CF=FP=P（，）當(dāng)BDCMCP時，=，即=，解得PC=3如圖4所示：當(dāng)點P在AC的延長線上時，過點作PEy軸，垂足為EPC=3，PCE=45，PEC=90，CE=PE=3=3P（3，7）如圖5所示：當(dāng)點P在AC上時，過點P作PEy軸，垂足為EPC=3，PCE=45，PEC=90，CE=PE=3=3P（3，1）綜上所述，點P的坐標(biāo)為（3，7）或（3，1）或（，）或（，）第三

36、套：滿分150分2020-2021年長沙市南雅中學(xué)初升高自主招生數(shù)學(xué)模擬卷一選擇題（每小題6分，滿分48分）1（6分）設(shè)關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，且x11y2y3By1y2y3y1Dy2y3y16（6分）如圖，點O為正方形ABCD的中心，BE平分DBC交DC于點E，延長BC到點F，使FC=EC，連接DF交BE延長線于點接OH交DC于點G，連接HC則以下四個結(jié)論中正確結(jié)論個數(shù)為（）OH=BF；CHF=45；GH=BC；DH2=H?EHBA.1個B.2個C.3個D.4個7.（6分）如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點，連結(jié)AC，BC，分別以AC，B

37、C為邊向外作正方形ACDE，BCFG，DE，F(xiàn)G，?AC，?BC的中點分別是M，N，P，Q.若MP+NQ=1，4AC+BC=1，8則AB的長是A.92B907C.13D.168.（6分）如圖，已知正ABC的邊長為2，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CA上的點，且AE=BF=CG，設(shè)EFG的面積為y，AE的長為x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（ABC）2差倒數(shù)，是是1，的差倒數(shù)，為是，差倒數(shù)，x，依x是的x3的x3x2xx次類推，則二.填空題（每小題7分，滿分9.（742分）分）若x是不等于1的實數(shù)，我們把1稱為x的差倒數(shù)，如1x的差倒數(shù)11的差倒數(shù)11現(xiàn)已知1，12411（1）2121x123201

38、210.（7分）如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=，6E、F、是G、H分別BC、CD、DA的中點，則+FHAB、EG22=117分）如果關(guān)于x不等式組：3x-a0，的整數(shù)解僅有1，2，2x-b0那么適合這個不等式組的整數(shù)a，b組成有序數(shù)對（a，b）共有個12.（7分）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點G，點F是CD上一點，且滿足=，連接AF并延長交O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3給出下列結(jié)論：ADFAED；FG=2；tanE=；SDEF=4其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）的平分線交于點A1A1BC的平分線與A1CD的平分線交于點2，An1BC的13.（7分）如圖，AC

39、D是ABC的外角，ABC的平分線與ACD，A平分線與An1CD的平分線交于點An設(shè)A=則：1)A1=；（2）An=114.（7分）如圖，把拋物線y=x2平移得到拋物線m，拋物線m經(jīng)過點A（6，0）和原點O（0，0），它的頂點為P，它的對稱軸與拋物線部分的面積為三.解答題（每小題12分，滿分60分）15.（12分）如圖，ABC中，P在ABC內(nèi)，且PA3，PB5，PC2，ABC的面積BAC16（12分）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，恒有；關(guān)于取值范圍x的方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于求的17（12分）北京奧運會開幕前，某體育用品商場預(yù)測某品牌運動服能夠暢銷，就用32000元購進了一批這種運動服，上市后很快脫銷

40、，商場又用68000元購進第二批這種運動服，所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的2倍，但每套進價多了10元（1）該商場兩次共購進這種運動服多少套？（2）如果這兩批運動服每套的售價相同，且全部售完后總利潤率不低于20%，那么每套售價至少是多少元？（利潤率利潤100%）18（12分）如圖，已知在RtABC中，ACB=90，AB=5，sinA=，點P是邊BC上的一點，PEAB，垂足為E，以點P為圓心，PC為半徑的圓與射線PE相交于點Q，線段CQ與邊AB交于點D（1）求AD的長；（2）設(shè)CP=x，PCQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）過點C作CFAB，垂足為F，聯(lián)結(jié)PF、QF，如果PQF

41、是以PF為腰的等腰三角形，求CP的長19（12分）如圖（1），直線y=x+n交x軸于點A，交y軸于點C（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A，交y軸于點B（0，2）點P為拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線PD，過點B作BDPD于點D，連接PB，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長；（3）如圖（2），將BDP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到BDP，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角PBP=OAC，且點P的對應(yīng)點P落在坐標(biāo)軸上時，請直接寫出點P的坐標(biāo)第三套：滿分150分2020-2021年長沙市南雅中學(xué)初升高自主招生數(shù)學(xué)模擬卷答案解析一、選擇題1.【分析】方法1、根據(jù)一元

42、二次方程的根的判別式，建立關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍又存在x11x2，即（x11）（x21）0，x1x2（x1+x2）+10，利用根與系數(shù)的關(guān)系，從而最后確定a的取值范圍方法2、由方程有兩個實數(shù)根即可得出此方程是一元二次方程，而x110，x1x2=9，【解答】解：方法1、方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a0且0，22又x11x2，x110，那么x1+x2=（x11）（x21）0，x1x2（x1+x2）+10，即9+10，故選D方法2、由題意知，a0，令y=ax2+（a+2）x+9a，解得a0時，x=1時，y0，a+（a+2）+9a0，a（不符合題意，舍去），當(dāng)a0，a+（a+2）+9a0，a

43、0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）S四邊形故錯誤；當(dāng)E、F分別為AB、AC的中點時，四邊形AEDF為正方形，此時AD與EF互相平故正確綜上所述，正確的有：，共3個故選C4.【考點】一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.【分析】根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系對各選項逐一分析，作出判斷：A、對于直線來說，由圖象可以判斷，；而當(dāng)時，對于拋物線來說，對稱軸，應(yīng)在y軸的左側(cè)，故不合題意，圖形錯誤B、對于直線來說，由圖象可以判斷，；而當(dāng)時，對于拋物線來說，圖象應(yīng)開口向下，故不合題意，圖形錯誤C、對于直線來說，由圖象可以判斷，；而當(dāng)時，對于拋物線來說，圖象開口向下

44、，對稱軸位于y軸的右側(cè)，故符合題意.D、對于直線來說，由圖象可以判斷，；而當(dāng)時，對于拋物線來說，圖象開口向下，故不合題意，圖形錯誤故選C5.【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征?！痉治觥扛鶕?jù)x1、x2、x3與對稱軸的大小關(guān)系，判斷y1、y2、y3的大小關(guān)系：1215yx7x二次函數(shù)，22此函數(shù)的對稱軸為：x=b=7=7。2a21270 x1x2x3，三點都在對稱軸右側(cè)，ay2y3。故選A。6.解解：作EJBD于J，連接EF答：BE平分DBCEC=EJ，DJEECFDE=FEHEF=45+22.5=67.5HFE=22.5EHF=18067.522.5=90DH=H，F(xiàn)OH是DBF的中位線OHBF

45、OH=BF四邊形ABCD是正方形，BE是DBC的平分線，BC=C，DBCD=DCF，EBC=22.5，CE=C，F(xiàn)RtBCERtDCF，EBC=CDF=22.5，BFH=90CDF=9022.5=67.5，OH是DBF的中位線，CDAF，OH是CD的垂直平分線，DH=C，HCDF=DCH=22.5，HCF=90DCH=9022.5=67.5，CHF=180HCFBFH=18067.567.5=45，故正確；OH是BFD的中位線，DG=CG=BC，GH=CF，CE=C，F(xiàn)CECG=BC，GHBC，故此結(jié)論不成立；DBE=45，BE是DBF的平分線，DBH=22.5，由知HBC=CDF=22.5，

46、DBH=CDF，BHD=BHD，DHEBHD，=DH=H?EHB，故成立；所以正確7.【考點】正方形的性質(zhì)；垂徑定理；梯形的中位線定理；方程思想、轉(zhuǎn)換思想和整體思想的應(yīng)用.【分析】如答圖，連接OP、OQ，DE，F(xiàn)G，的中點分別是M，N，P，Q，點O、P、M三點共線，點O、Q、N三點共線.ACDE，BCFG是正方形，AE=CD=A，CBG=CF=BC.設(shè)AB=，則.點O、M分別是AB、ED的中點，OM是梯形ABDE的中位線.，即.同理，得.兩式相加，得.MP+NQ=1，4AC+BC=1，8.故選C.8.【考點】由實際問題列函數(shù)關(guān)系式（幾何問題）；二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象.分析】根據(jù)題意，有AE=BF

47、=CG，且正三角形ABC的邊長為2，.AEG、BEF、CFG三個三角形全等在AEG中，.其圖象為開口向上的二次函數(shù).故選D.二、填空題39、【答案】。4考點】分類歸納（數(shù)字的變化類），倒數(shù)。分析】1x，1313x2=x3=3=4，x4=114312=4111413。差倒數(shù)為3個循環(huán)的數(shù)。2012=6703+2，x2012=x2=43。10、【答案】36。考點】三角形中位線定理，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理分析】如圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，EG與FH相交于點O。E、H分別是AB、DA的中點，EH是ABD的中位線。EH=BD=3。12同理可得EF=GH=AC=3，F(xiàn)G=BD=3。1122EH=

48、EF=GH=FG。=3四邊形EFGH為菱形。+OH=EHEGHF，且垂足為O。EG=2O，EFH=2O。H在RtOEH中，根據(jù)勾股定理得：OE222=9+4OH等式兩邊同時乘以4得：4OE22=94=36。+（2OH）=36，EG+FH（2OE）2222=36。11、【答案】6?？键c】一元一次不等式組的整數(shù)解分析】3x-a2x-b00，由得：xa3；由得：b。2。不等式組有解，不等式組的解集為：不等式組整數(shù)解僅有1，2，如圖所示：xb21，20ab3，解得：0a34，b6。32a=1，2，3，b=4，5。整數(shù)a，b組成的有序數(shù)對（a，b）共有32=6個12、考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定

49、理；圓周角定理分析：由AB是O的直徑，弦CDAB，根據(jù)垂徑定理可得：=，DG=CG，繼而證得ADFAED；由=，CF=2，可求得DF的長，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；由勾股定理可求得AG的長，即可求得tanADF的值，繼而求得tanE=；首先求得ADF的面積，由相似三角形面積的比等于相似比，即可求得ADE的面積，繼而求得SDEF=4解答：解：AB是O的直徑，弦CDAB，=，DG=CG，ADF=AED，F(xiàn)AD=DAE（公共角），ADFAED；故正確；=，CF=2，F(xiàn)D=6，CD=DF+CF=8，CG=DG=4，F(xiàn)G=CGCF=2；故正確；AF=3，F(xiàn)G=2，AG=，在RtAGD中，

50、tanADG=，tanE=；故錯誤；DF=DG+FG=6，AD=，SADF=DF?AG=6=3，ADFAED，SDEFeqoac(,=S)AEDSAD故正確故答案為：點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識此題綜合性較強，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用13、【答案】；。n22n【考點】三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，分類歸納（圖形的變化類）。A1BC=ABC，A1CD=ACD。【分析】（1）A1B是ABC的平分線，A2B是A1BC的平分線，11又ACD=A+ABC，A1CD=A1BC+A1，（A+ABC）=ABC+A1。A1=111A。

51、222A=，A1=。2A1=，A3=A2=，2）同理可得A2=11112=14、【答案】=。Annn272n。322222222232【考點】二次函數(shù)圖象與平移變換，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)點O與點A的坐標(biāo)求出平移后的拋物線的對稱軸，然后求出點P的坐標(biāo)，過點P作PMy軸于點M，根據(jù)拋物線的對稱性可知陰影部分的面積等于四邊形NPMO的面積，然后求解即可：過點P作PMy軸于點M，設(shè)PQ交x軸于點N，拋物線平移后經(jīng)過原點O和點A（6，0），平移后的拋物線對稱軸為x=3。（x+3）平移后的二次函數(shù)解析式為：y=12+h，2（6+3）將（6，0）代入得出：0=12+h，解得：h=9。22

52、點P的坐標(biāo)是（3，9）。2根據(jù)拋物線的對稱性可知，陰影部分的面積等于矩形NPMO的面積，三、解答題15解：如圖，作ABQ，使得QABPAC，ABQACP，則ABQACP.由于AB2AC，所以相似比為2.于是AQ2AP23，BQ2CP4QAPQABBAPPACBAPBAC60.25BQ由AQ:AP2:1知，APQ90，于是PQ3AP3所以BP22PQ2，從而BQP90PQ(APBQ)于是AB2222883.13673故SABACsin60AB2ABC228216解因為當(dāng)時，恒有，所以，即，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，即，且，解得設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得因為，所解得因此17（

53、本小題滿分8分）解：（1）設(shè)商場第一次購進x套運動服，由題意得：680003200010，2xx解這個方程，得x200經(jīng)檢驗，x200是所列方程的根2xx2200200600所以商場兩次共購進這種運動服600套（2）設(shè)每套運動服的售價為y元，由題意得：600y32000680003200068000解這個不等式，得20%，y200，所以每套運動服的售價至少是200元18.【分析】（1）易證AD=AC，只需運用三角函數(shù)和勾股定理求出AC即可；（2）過點Q作QHBC于H，如圖1，只需用x的代數(shù)式表示QH就可解決問題；（3）由于PQF是以PF為腰的等腰三角形，故需分PF=PQ和PF=FQ兩種情況討論

54、，只需將等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)相結(jié)合，就可解決問題【解答】解：（1）在RtABC中，ACB=90，AB=5，sinA=，BC=AB?sinA=5=4，AC=3PC=PQ，PCQ=PQCPEAB即QED=90，EQD+eqoac(,S)PCQ=PC?QH=x?x=x（x4）；EDQ=90ACD+PCQ=90，EDQ=ACDCDA=EDQ，ACD=CDA，AD=AC=；3（2）過點Q作QHBC于H，如圖1，PBE+BPE=90，PBE+A=90，BPE=A，sinHPQ=sinA=，sinHPQ=PQ=PC=，xQH=x，2（當(dāng)E、Q、D共線時，可得x最小值，根據(jù)=，解得x=）（3）當(dāng)PF=P

55、Q時，則有PF=PQ=x=PC過點P作PGCF于G，如圖2，則CG=CFCFAB，=eqoac(,S)ABCAC?BC=AB?CF，CF=CG=PCG=90FCA=A，當(dāng)PF=FQ時，F(xiàn)EPQ，cosBP=x=CP，綜上所述：當(dāng)PQF是以PF為腰的等腰三角形長為2或A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析2）由BDP為等腰直角三角形，判斷出BD=PD，建立m的方程計算出m，從而求出PD；（3）分點P落在x軸和y軸兩種情況計算即可【解答】解：（1）點C（0，4）在直線y=x+n上，n=4，y=x+4，令y=0，x=3，A（3，0），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A，交y軸于點B（0，2）c=2，6

56、+3b2=0，拋物線解析式為y=x2x2，2）點P的橫坐標(biāo)為m，且點P在拋物線上，P（m，m2m2），D（m，2）若BDP為等腰直角三角形，則PD=BD當(dāng)點P在直線BD上方時，PD=m2（）若點P在y軸左側(cè)，則m0，BD=mm2m=m，m+m=m，m3=0（舍去），m4=當(dāng)點P在直線BD下方時，m0，BD=m，PD=m2+m2m5=0（舍去），m6=綜上所述，m=或m=即當(dāng)BDP為等腰直角三角形時，PD的長為或（3）PBP=OAC，OA=3，OC=4，AC=5，sinPBP=，cosPBP=，當(dāng)點P落在x軸上時，過點D作DNx軸，垂足為N，交BD于點M，DBD=NDP=PBP，如圖1，ND=（

57、m2m），在RtBDM中，BD=m，sinDBD=sinPBP=，DM=m，NDMD=2，（m2m）（m）=2，m=（舍），或m=，如圖2，同的方法得，ND=（m2m），MD=mND+MD=2，（m2m）+m=2，m=，或m=（舍），P（，）或P（，），當(dāng)點P落在y軸上時，如圖3，過點D作DMx軸，交BD于M，過點P作PNy軸，交MD的延長線于點N，DBD=NDP=PBP，同的方法得，PN=（m2m），BM=m，PN=BM，（m2m）=m，m=，P（，）P(，）或P（，或P（，）第四套：滿分150分2020-2021年長沙市南雅中學(xué)初升高自主招生數(shù)學(xué)模擬卷一.選擇題（每小題6分，滿分48分）1

58、（6分）已知銳角三角形的邊長是2，3，x，那么第三邊x的取值范圍是（）A1x0）的圖象交于點A、B，與x軸、y軸分別交于D、C，tanCDO=，2AC：CD=1：2（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）聯(lián)結(jié)BO，求DBO的正切值；（3）點M在直線x=1上，點N在反比例函數(shù)圖象上，如果以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標(biāo)19（12分）如圖，線段PA=1，點D是線段PA延長線上的點，AD=a（a1），點O是線段AP延長線上的點，OA2=OP?OD，以O(shè)為圓心，OA為半徑作扇形OAB，BOA=90點C是弧AB上的點，聯(lián)結(jié)PC、DC（1）聯(lián)結(jié)BD交弧AB于E，當(dāng)a=2時，求BE的長；（

59、2）當(dāng)以PC為半徑的P和以CD為半徑的C相切時，求a的值；（3）當(dāng)直線DC經(jīng)過點B，且滿足PC?OA=BC?AOP時，求扇形OAB的半徑長第四套：滿分150分2020-2021年長沙市南雅中學(xué)初升高自主招生數(shù)學(xué)模擬卷答案解析一.選擇題1.【分析】根據(jù)勾股定理可知x的平方取值范圍在2與3的平方和與平方差之間【解答】解：首先要能組成三角形，易得1x5下面求該三角形為直角三角形的邊長情況（此為臨界情況），顯然長度為2的邊對應(yīng)的角必為銳角（23，短邊對小角）則只要考慮3或者x為斜邊的情況+x=33為斜邊時，由勾股定理，2222，得x=5作出圖形，固定2邊，旋轉(zhuǎn)3邊易知當(dāng)1x5時，該三角形是以3為最大邊的鈍角三角形；+3=xx為斜邊時，由勾股定理，2222，得x=13，同樣作圖可得當(dāng)13x5時，該三角形是以x為最大邊的鈍角三角形綜上可知，當(dāng)5xx1時，有y2y1，錯誤；答：BCEDCF，ECF=DFC=90，CD=BC=，5DFCE，ECD=CDF，EM