機械工程控制基礎(chǔ)-系統(tǒng)的時間響應(yīng)分析

1、 第3章 系統(tǒng)的時間響應(yīng)分析 在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（包括微分方程與傳遞函數(shù)）之后，就可以采用不同的方法，通過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來分析系統(tǒng)的特性。時間響應(yīng)分析是重要的方法之一。2.典型的輸入信號;及一階、二階系統(tǒng)的典型時間響應(yīng)。 典型輸入信號便于進行時間響應(yīng)分析；任何高階系統(tǒng)均可化為零階、一階、二階系統(tǒng)等的組合；任何輸入產(chǎn)生的時間響應(yīng)均可由典型輸入信號產(chǎn)生的典型時間響應(yīng)而求得；1.概括地討論系統(tǒng)的時間響應(yīng)及其組成。 因為這是正確進行時間響應(yīng)分析的基礎(chǔ)；所謂系統(tǒng)的時間響應(yīng)及其組成就是指描述系統(tǒng)的微分方程的解與其組成，它們完全反映系統(tǒng)本身的固有特性與系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)歷程；本章主要內(nèi)容 首先來分析最

2、簡單的振動系統(tǒng)，即無阻尼的單自由度系統(tǒng)。如圖3.1.1所示， 質(zhì)量為m與彈簧剛度為k的單自由度系統(tǒng)在外力Fcost的作用下，系統(tǒng)的動力學(xué)方程為3.1.1:圖3.1.1 單自由度的m-k系統(tǒng)（3.1.1）3.1 時間響應(yīng)及其組成這一非齊次常微分方程的完全解由兩部分組成：式中， 是齊次微分方程的通解； 是其一個特解。由理論力學(xué)與微分方程中解的理論知： 式中， ，為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。 將式（3.1.4）代入式(3.1.1)，有 化簡得， 式中 于是，式（3.1.1）的完全解為（3.1.2）（3.1.3） （3.1.4） （3.1.5）（3.1.6） 求解常數(shù)A與B：將上式對t求導(dǎo)，有 設(shè) 時，

3、，代入式（3.1.6）與（3.1.7），聯(lián)立解得： 代入式（3.1.6），整理得通解： 第一、二項:初始條件（初始狀態(tài)）引起自由響應(yīng)，第三項:作用力引起的自由響應(yīng)，其振動頻率均為 ，幅值受到F的影響。第四項:作用力引起的強迫響應(yīng)，其振動頻率為作用力頻率 . （3.1.7） （3.1.8） 自由響應(yīng)強迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)（ “初態(tài)”引起的自由響應(yīng)）是輸入信號為零，僅由系統(tǒng)的起始狀態(tài)作用所引起的響應(yīng) .為齊次方程零狀態(tài)響應(yīng)（僅由輸入引起的響應(yīng)）是系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，即系統(tǒng)的起始貯能為零時，僅由激勵信號作用所引起的響應(yīng). 為非齊次方程控制工程主要研究:零狀態(tài)響。系統(tǒng)的時間響應(yīng)分類:振

4、動性質(zhì)分類:自由響應(yīng) 強迫響應(yīng)振動來源分類:零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)一般的情況，設(shè)系統(tǒng)的動力學(xué)方程為： 方程的解（時間響應(yīng)）為通解 （即自由響應(yīng)）與特解 （即強迫響應(yīng)）所組成， 若式（3.1.9）的齊次方程的特征根 各相同，則 而 又分為兩部分，即 第一項:初態(tài)引起的自由響應(yīng)；第二項:輸入x(t)引起的自由響應(yīng)，（3.1.9） （3.1.10） （3.1.11） 全解: 其中:n和si只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。當(dāng)輸入函數(shù)有導(dǎo)數(shù)項:方程為：利用線性原理:利用方程(3.1.9)的解(3.1.12),可分別求出 作用時的響應(yīng)函數(shù)，然后疊加，就可以求得方程（3.1.13）的解，即系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。傳遞函數(shù)

5、(初態(tài)為零)求解:Laplace逆變換就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。（3.1.12） （3.1.13） 自由響應(yīng)強迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 若所有的 ，自由響應(yīng)隨著時間逐漸衰減, 當(dāng) 時自由響應(yīng)則趨于零, 系統(tǒng)穩(wěn)定, 自由響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng). 反之，只要有一個 ，即傳遞函數(shù)的相應(yīng)極點 在復(fù)數(shù)s平面右半平面，自由響應(yīng)隨著時間逐漸增大，當(dāng) 時，自由響應(yīng)也趨于無限大,系統(tǒng)不穩(wěn)定，自由響應(yīng)就不是瞬態(tài)響應(yīng)。 瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng):指強迫響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 穩(wěn)定性、響應(yīng)快速性、響應(yīng)準確性:與自由響應(yīng)密切相關(guān)的。 的正負:決定自由響應(yīng)是衰減與發(fā)散，系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定； 為負時, 其絕對值的大小:決定自由響應(yīng)衰減速度，及系統(tǒng)響

6、應(yīng)趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的速度； :決定自由響應(yīng)的振蕩情況，決定系統(tǒng)的響應(yīng)在規(guī)定時間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況，影響響應(yīng)的準確性。系統(tǒng)穩(wěn)定性、響應(yīng)快速性、響應(yīng)準確性 確定性信號：變量和自變量之間的關(guān)系能夠用一確定性函數(shù)描述。非確定性信號則反之，變量與自變量之間的關(guān)系是隨機的，只服從某些統(tǒng)計規(guī)律。 分析和設(shè)計系統(tǒng):采用典型輸入信號，比較其時間響應(yīng)。 任意輸入信號的時間響應(yīng):利用系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng)，由關(guān)系式 或 （*表卷積），就能求出。3.2 典型輸入信號確定性信號和非確定性信號:輸入信號：正常工作輸入信號；外加測試信號;單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、單位拋物線函數(shù)、正弦函數(shù)和某些隨機函數(shù)。 a

7、單位脈沖函數(shù) b單位階躍函數(shù) c單位斜坡函數(shù) d單位拋物線函數(shù) e正弦函數(shù) f隨機函數(shù) 圖3.2.1 典型輸入信號單位階躍函數(shù):其導(dǎo)數(shù)為零，對控制系統(tǒng)只給出了位置，故稱位置輸入信號；單位斜坡函數(shù):其導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，一般稱為恒速輸入信號或速度輸入信號；單位拋物線函數(shù):其二次導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，稱為加速度輸入信號。 下面分析一階與二階系統(tǒng)對單位脈沖與單位階躍函數(shù)的時間響應(yīng) 一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)，其微分方程和傳遞函數(shù)的一般形式為： T 稱為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)，它表達了一階系統(tǒng)本身的與外界作用無關(guān)的固有特性，亦稱一階系統(tǒng)的特征參數(shù)。3.3 一階系統(tǒng) 輸入信號 是理想的單位脈沖函數(shù) 時，系統(tǒng)輸出 稱為

8、單位脈沖響應(yīng)函數(shù)或簡稱為單位脈沖響應(yīng)，記為而所以單位脈沖響應(yīng)函數(shù):系統(tǒng)傳遞函數(shù)的Laplace逆變換，即 所以（3.3.1） 3.3.1 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)w(t)只有瞬態(tài)項，而B(t)為零。由式(3.3.1)可得表3.3.1 t 0 T 2T 4T 0 0表3.3.1 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)是一個單調(diào)下降的指數(shù)曲線。過渡過程：將指數(shù)曲衰減到初值的2%之前的過程定義為過渡過程，相應(yīng)的時間為4T。稱此時間為過渡過程時間或調(diào)整時間，記為ts。 系統(tǒng)的時間常數(shù)T愈小, 愈短, 系統(tǒng)的慣性愈小，反應(yīng)的快速性能愈好。 脈沖響應(yīng)形式類似與零輸入響應(yīng)。 實際脈沖信號: 具有一定的脈沖寬度和有限的幅度

9、的來代替理想的脈沖信號, 脈沖寬度與系統(tǒng)的時間常數(shù)T比，一般為:輸入信號為單位階躍函數(shù)時，即響應(yīng)函數(shù)的Laplace變換式為：其時間響應(yīng)函數(shù)記為 為：由式（3.3.2）和式（3.1.12）可知， 中 是瞬態(tài)項，1是穩(wěn)態(tài)項B(t)（3.3.2） 3.3.2 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) t 0 0 T 0.632 2T 0.865 4T 0.982 1 0由式（3.3.2）可得表3.3.2和圖3.3.2 表3.3.2 如圖3.3.2所示，式（3.3.2）表示的一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條單調(diào)上升指數(shù)曲線，穩(wěn)態(tài)值為 。曲線有兩個重要的特征點。 A點：其對應(yīng)的時間t=T時，系統(tǒng)的響應(yīng) 達到了穩(wěn)態(tài)值的63.

10、2%； 零點：其對應(yīng)的t=0時， 的切線斜率（響應(yīng)速度）等于1/T。 指數(shù)曲線的斜率，即速率 是隨時間t的增大而單調(diào)減小的，當(dāng)t為 時，其響應(yīng)速度為零； 當(dāng) 時，響應(yīng)已達到穩(wěn)態(tài)值的98%以上，過渡過程時間 時間常數(shù)T 反映了固有特性，其值愈小，系統(tǒng)的慣性就愈小，系統(tǒng)的響應(yīng)也就愈快。輸入單位階躍信號，并測出它的響應(yīng)曲線，及穩(wěn)態(tài)值 ；從響應(yīng)曲線上找出0.632 （即特征點A）所對應(yīng)的時間t, 或t=0點的切線斜率;參考式（3.3.1）求出 ，或者，由單位階躍響應(yīng) ，根據(jù)關(guān)系 ；求得 ；由 求得 。實驗法求一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1234式中， 為無阻尼固有頻率；為阻尼比。顯然 與 是二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，

11、表明了二階系統(tǒng)本身與外界無關(guān)的特性。由式（3.4.2）可見，隨著阻尼比取值的不同，二階系統(tǒng)的特征根也不同。（3.4.1）（3.4.2）3.4 二階系統(tǒng)二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)：二階系統(tǒng)的特征方程：由此得兩個特征根為（1）當(dāng)01時，特征方程有兩個不等的負實根 系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)。過阻尼二階系統(tǒng)：傳遞函數(shù)可分解為兩個一階慣性環(huán)節(jié)相加或相乘,因此可視為兩個一階環(huán)節(jié)的并聯(lián)，也可視為兩個一階環(huán)節(jié)的串聯(lián)。臨界阻尼的二階系統(tǒng)： 傳遞函數(shù)可分解為兩個相同的一階慣性環(huán)節(jié)相乘,但考慮負載效應(yīng),是不能等價為兩個相同的一階慣性環(huán)節(jié)串、并聯(lián)。特殊情況下，有可能等價為兩個不同的一階慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。輸入信號是理想的單

12、位脈沖函數(shù) 時，系統(tǒng)的輸出 稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，特別記為 。對于二階系統(tǒng)，因為 而 所以 同樣有： 記 ，稱 為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率。(3.4.3)3.4.1 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) （1）當(dāng)01，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)時，由式（3.4.3）可得 由式（3.4.7）可知，過阻尼系統(tǒng)w(t)可視為兩個并聯(lián)的一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的疊加。 當(dāng) 取不同值時，二階欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖3.4.2所示。(3.4.7) 欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線:減幅的正弦振蕩曲線。愈小，衰減愈慢，振蕩頻率愈大。故欠阻尼系統(tǒng)又稱為二階振蕩系統(tǒng)，其幅值衰減的快慢取決于 稱為時間衰減函數(shù)，記為。3.4.2 二階系

13、統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 若系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)，即 則二階系統(tǒng)的階躍路應(yīng)函數(shù)的Laplace變換式為： （1）當(dāng)01 ，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)時，由式（3.4.8）有 式中， (3.4.13) 計算表明，當(dāng)1.5時，在式（3.4.13）的兩個衰減的指數(shù)項中， 的衰減比 的要快得多，因此，過渡過程的變化以 項其主要作用。從S平面看，愈靠近虛軸的根，衰減越慢，對過渡過程影響愈大，起主導(dǎo)作用。 式（3.4.10）式（3.4.13）所描述的單位階躍響應(yīng)函數(shù)如圖3.4.3所示。二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)過渡過程特性 01時:單調(diào)上升。過渡過程的持續(xù)時間：無振蕩單調(diào)上升的曲線： =1時的時間t最短；在欠阻尼系

14、統(tǒng)中，當(dāng) =0.40.8時，時間比=1時的更短，而且振蕩不太嚴重。設(shè)計：二階系統(tǒng)一般工作在=0.40.8的欠阻尼狀態(tài)。保證振蕩適度、持續(xù)時間較短。特征參數(shù) 與值 決定 瞬態(tài)響應(yīng) 決定 過渡過程。 在根據(jù)給定的性能指標設(shè)計系統(tǒng)時，將一階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)相比，通常選擇二階系統(tǒng)，這是因為二階系統(tǒng)容易得到較短的過渡過程時間，并且也能同時滿足對振蕩性能的要求。 3.4.3 二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標考慮： 產(chǎn)生階躍輸入比較容易，而且從單位階躍響應(yīng)也較容易求得任何其它輸入的響應(yīng)；在實際中，許多輸入與階躍輸入相似，而且階躍輸入又往往是實際中最不利的輸入情況。因此: 性能指標以系統(tǒng)對單位階躍輸入的時域響應(yīng)量值給出。

15、因為：無振蕩的單調(diào)過程的過渡時間太長，故除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常都允許系統(tǒng)有適度的振蕩，以獲得較短的過渡過程時間。所以：在設(shè)計二階系統(tǒng)時，常使系統(tǒng)在欠阻尼（通常取 ）狀態(tài)下工作。 有關(guān)二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標的定義及計算公式除特別說明者外，都是針對欠阻尼二階系統(tǒng)而言的；更確切地說，是針對欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的過渡過程而言的。 欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階響應(yīng)的過渡過程的特性，通常采用下列性能指標（見圖3.4.4）描述:（1）上升時間（2）峰值時間（3）最大超調(diào)量（4）調(diào)整時間（5）振蕩次數(shù)N 響應(yīng)曲線從原工作狀態(tài)出發(fā)，第一次達到輸出穩(wěn)態(tài)值所需的時間定義為上升時間（對于過阻尼系統(tǒng)，一

16、般將響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間稱為上升時間）。 欠阻尼二階系統(tǒng)（ ），階躍響應(yīng)為： 根據(jù)定義， 時， 由式（3.4.9），得 考慮 故有 令 得(3.4.9)1.上升時間 tr 因為上升時間 是 第一次到達輸出穩(wěn)態(tài)值的時間，故取 即 由關(guān)系式 ，當(dāng) 增大， 就增大。(3.4.14)2.峰值時間 tp 響應(yīng)曲線達到第一個峰值所需的時間定義為峰值時間，將式（3.4.9）對時間t求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，便可求得峰值時間即由整理得因此(3.4.15)由定義取 因此因為最大超調(diào)量發(fā)生在峰值時間， 時，故將式（3.4.9）與 代入式（3.4.16），可求得： 可見峰值時間是有阻尼振蕩周期

17、的一半，另外，由關(guān)系式 及式（3.4.15）可知:當(dāng)一定時， 增大， 就減小;當(dāng) 一定時， 增大， 就增大，此情況與 的相同。3.最大超調(diào)量 Mp最大超調(diào)量定義，即(3.4.16)式中， 為指定微小量，一般取 。式(3.4.18)表明, 在 之后，系統(tǒng)的輸出不會超過下述允許范圍： 超調(diào)量 只與阻尼比有關(guān)，而與無阻尼固有頻率 無關(guān)。所以， 的大小說明系統(tǒng)的阻尼特性。當(dāng)系統(tǒng)阻尼比確定后,即可求得與其相對的超調(diào)量 ；反之,如果給出了系統(tǒng)所要求的 ，也可由此確定相應(yīng)的阻尼比. 當(dāng) =0.40.8時, 相應(yīng)的超調(diào)量 。4. 調(diào)整時間 ts 在過渡過程中， 取的值滿足下面不等式時所需的時間，定義為調(diào)整時間

18、 。不等式為(3.4.18)由于 所表示的曲線是式（3.4.20）所描述的減幅正弦曲線的包絡(luò)線，因此，可將由式（3.4.20）所表達的條件改為： 解得將式（3.4.10）代入式（3.4.19），得又因此時因此 (3.4.19)(3.4.20)(3.4.21) 若取 得 若取 得 當(dāng) 時，可分別將式（3.4.22）和式（3.4.23）近似取為： 與之間的精確關(guān)系，可由式（3.4.20）求得， 為最??；當(dāng) 為最小，在設(shè)計二階系統(tǒng)時,一般取 作為最佳阻尼比。此時不僅 小，而且起調(diào)量 也不大，取 的另一理由將在4.2節(jié)中說明。 （3.4.22）（3.4.23） 具體設(shè)計：根據(jù)最大超調(diào)量 的要求，確定阻

19、尼，所以調(diào)整時間 主要是根據(jù)系統(tǒng)的 來確定的。由此可見，二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 決定系統(tǒng)的調(diào)整時間 和最大超調(diào)量 ；反過來，根據(jù)對 的要求，也能確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 。 在過渡過程時間 內(nèi)， 穿越其穩(wěn)態(tài)值 的次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)，從式（3.4.10）可知，系統(tǒng)的振蕩周期是 所以其振蕩次數(shù)為： 因此，當(dāng) 時，由 與 ，得當(dāng) 時，由 與 ，得 從式（3.4.25）和式（3.4.26）可以看出，振蕩次數(shù)N隨著的增大而 減小，它的大小直接反映了系統(tǒng)的阻尼特性。（3.4.24） （3.4.25）4. 振蕩次數(shù)N（3.4.26） （1）要使二階系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能指標，必須選擇合適的阻尼比和無阻尼固有

20、頻率 。提高 ，可以提高二階系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減少上升時間 、峰值時間 和調(diào)整時間 ；增大，可以減弱系統(tǒng)的振蕩性能，降低 ，減小N，但增加上升時間 和峰值時間 。 一般情況下，系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài) 下工作，通常根據(jù)允許的超調(diào)量來選擇阻尼比. （2）系統(tǒng)的響應(yīng)速度與振蕩性能（穩(wěn)定性）之間是存在矛盾的。要兼顧系統(tǒng)的振蕩性能和響應(yīng)速度，就要選取合適的和 值。 由以上討論，可得如下結(jié)論： 【例1】設(shè)系統(tǒng)的方框圖為圖3.4.5，其中 ， 。當(dāng)有一單位階躍信號作用于系統(tǒng)時，求其性能指標 和 。3.4.4 二階系統(tǒng)計算舉例解 （1）求 。故由式（3.4.15），得（2）求 。由式（3.4.17）得（3）求 。由式

21、（3.4.22）與式（3.4.23）的近似式，得圖3.4.5 例1框圖解 由圖3.4.6(a)可知， 是階躍力輸入， 8.9N， 是輸出位移。由圖3.4.6(b)可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 0.03m， 0.0029m， ，此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)顯然為：【例2】如圖3.4.6 (a) 所示的機械系統(tǒng),在質(zhì)量為m的質(zhì)塊上施加 的階躍力后，質(zhì)塊的時間響應(yīng) 如圖3.4.6 (b)所示，試求系統(tǒng)的m、k和c值。 式中：（1）求k 。由Laplace變換的終值定理可知：而 0.03m，因此k297N/m.。 其實，根據(jù)Hooker定律很容易直接計算k。因為 即為靜變形， 即可視為靜載荷，從而有即得（3）求c 。 由

22、，求得（2）求m。 由式（3.4.16）得又由式（3.4.17）求得 。將 代入 中，得 。再由 求得m77.3kg。 【例3】有一位置隨動系統(tǒng)，其方框圖為圖3.4.7(a)。當(dāng)系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)時， 。（1）校核該系統(tǒng)的各參數(shù)是否滿足要求；（2）在原系統(tǒng)中增加一微分負反饋，如圖3.4.7(b)所示，求微分反饋的時間常數(shù) 。解 (1) 將系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)寫成如式（3.4.1）所示的標準型式：對照式（3.4.1），可知此二階系統(tǒng)的 和 。將值代入式（3.4.17）得 但 ，故不能滿足本題要求。(2) 圖3.4.7（b）所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 為了滿足條件： ，由式（3.4.17）算得 。

23、現(xiàn)因 ，而 ，從而求得 。 從此題可以看出，如第二章所講，當(dāng)系統(tǒng)加入微分負反饋時，相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的阻尼比，改善了系統(tǒng)振蕩性能，即減小了 ，但并沒有改變無阻尼固有頻率 。 實際上，大量的系統(tǒng)，特別是機械系統(tǒng)，都可以用高階微分方程來描述。這種系統(tǒng)叫做高階系統(tǒng)。 對高階系統(tǒng)的研究和分析，一般是比較復(fù)雜的。在分析高階系統(tǒng)時，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使問題簡化為零階、一階與二階環(huán)節(jié)等的組合，而且也可包含延時環(huán)節(jié)，而一般所關(guān)注的，往往是高階系統(tǒng)中的二階振蕩環(huán)節(jié)的特性。 因此，本節(jié)將著重闡明高階系統(tǒng)過渡過程的閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念，并利用這一概念，將高階系統(tǒng)簡化為二階振蕩系統(tǒng)。3.5 高階系統(tǒng)高階系統(tǒng)傳

24、遞函數(shù)的普遍形式可表示為：（3.5.1）系統(tǒng)的特征方程式為：特征有n個特征根，設(shè)其中n1個為實數(shù)根，n2對為共軛虛根，應(yīng)有n=n1+2n2，由此，特征方程可以分解為n1個一次因式及n2個二次因式的乘積。也就是說，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有n1個實極點-pj及n2對共軛復(fù)數(shù)極點 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的m個零點為-zi（i=1,2，m），那么系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可寫為 在單位階躍輸入Xi(s)=1/s的作用下，輸出為對上式按部分分式展開，得（3.5.2）（3.5.3）（3.5.4） 由以上分析可知，在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點中，如果距虛軸最近的一對共軛復(fù)數(shù)極點的附近沒有零點，而其他的極點距虛軸的距離都在這對極點距虛距離的五

25、倍數(shù)上時，則系統(tǒng)的過渡過程的形式及其性能指標主要取決于距虛軸最近的這對共軛復(fù)數(shù)極點。這種距虛軸最近的極點稱為“主導(dǎo)極點”，它們經(jīng)常以共軛復(fù)數(shù)的形式成對出現(xiàn)。 應(yīng)用主導(dǎo)極點分析 高階系統(tǒng)的過渡過程，實質(zhì)上就是把高階系統(tǒng)近似作為二創(chuàng)振蕩系統(tǒng)來處理，這樣就大大簡化了系統(tǒng)的分析和綜合工作，但在應(yīng)用這種方法時一定要注意條件，同時還要注意，在精確分析中，其他極點與零點對系統(tǒng)過渡的影響不能忽視。 “準確”是對控制系統(tǒng)提出的一個重要性能要求 。實際系統(tǒng)：輸出量不能絕對精確地達到所期望的數(shù)值，期望的數(shù)值與實際輸出的差就是所謂的誤差。1.存在隨機干擾作用時，可能帶來隨機誤差；2.元件的性能不完善、變質(zhì)或者存在諸如

26、干摩擦、間隙、死區(qū)等非線性時，也可能帶來誤差。 本節(jié)討論在沒有隨機干擾作用，元件也是理想的線性元件的情況下，系統(tǒng)的誤差。 3.6 系統(tǒng)誤差分析與計算穩(wěn)定的自動控制系統(tǒng)，在某一典型輸入作用下，系統(tǒng)的運動大致可以分為兩個階段：過渡過程或瞬態(tài)；某種新的平衡狀態(tài)或穩(wěn)態(tài)。系統(tǒng)的輸出量:瞬態(tài)分量(或自由響應(yīng));穩(wěn)態(tài)分量(或強迫響應(yīng))系統(tǒng)的誤差:瞬態(tài)誤差;穩(wěn)態(tài)誤差瞬態(tài)誤差隨過渡過程逐漸衰減，穩(wěn)態(tài)誤差最后成為誤差的主要部分。這一誤差與系統(tǒng)的輸入、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。 對不穩(wěn)定系統(tǒng)根本談不上誤差問題。 3.6.1 系統(tǒng)的誤差與偏差控制系統(tǒng)的誤差：以系統(tǒng)輸出端為基準來定義的。設(shè) 是控制系統(tǒng)所希望的輸出， 是其實

27、際的輸出，則誤差定義為：其Laplace變換記為 （為避免與偏差E(s)混淆，用下標1區(qū)別），控制系統(tǒng)的偏差：以系統(tǒng)的輸入端為基準來定義的,記為：其Laplace變換為 ：式中，H(s)為反饋回路的傳遞函數(shù)；(3.6.1)(3.6.2)偏差 之間存在關(guān)系：閉環(huán)控制系統(tǒng)之所以能對輸出Xo(s)起自動控制作用，就在于運用偏差 進行控制。當(dāng) 時，由于E(s)0， 就起控制作用，力圖將Xo(s)值調(diào)節(jié)到Xor(s)值;反之 時，應(yīng)有E(s)0, 而使 不再對Xo(s)進行調(diào)節(jié)。 當(dāng) 時: 故 或 (3.6.3) 由式(3.6.1)、式(3.6.2)和式(3.6.3)可求得一般情況下系統(tǒng)的誤差與偏差之間

28、的關(guān)系為： 或偏差：在實際系統(tǒng)中是可以測量的,因而具有一定的物理意義；誤差：在實際系統(tǒng)中無法測量，因而一般只具有數(shù)學(xué)意義，在性能指標中經(jīng)常使用。在后面敘述中，均采用偏差進行計算與分析。如果需要計算誤差，求出偏差后依據(jù)(3.6.4)式可求出。對單位反饋系統(tǒng)來說來說 ，故偏差 與誤差e(t)相同。上述關(guān)系如圖3.6.1所示。(3.6.4)3.6.2 誤差的一般計算 一般情況下分析、計算系統(tǒng)的誤差e(t)：設(shè)輸入 與干擾N(s)同時作用于系統(tǒng)，如圖3.6.2所示. 現(xiàn)可求得在圖示情況下的Xo(s)，即式中， 為輸入與輸出之間的傳遞函數(shù) 為干擾與輸出之間的傳遞函數(shù) 將式（3.6.3）、式（3.6.5）

29、代入式（3.6.1）得：（3.6.5） 式中， 為無干擾n(t)時誤差e(t)對于輸入xi(t)的傳遞函數(shù)， 為無輸入xi(t)時誤差e(t)對于干擾n(t)的傳遞函數(shù)。 與 總稱為誤差傳遞函數(shù)，反映了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)對誤差的影響。（3.6.6）3.6.3 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)定的系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后的誤差,因此, 穩(wěn)態(tài)誤差的定義為： 為了計算穩(wěn)態(tài)誤差，可先求出系統(tǒng)的誤差信號的Laplace變換式，再用終值定理求解 同理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差（3.6.7）（3.6.8）（3.6.9）3.6.4 與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差現(xiàn)分析如圖3.6.3所示的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。由圖3.6.3可知 故 （3

30、.6.10） （3.6.11） 由終值定理得穩(wěn)態(tài)偏差為 即穩(wěn)態(tài)偏差不僅與系統(tǒng)特性（結(jié)構(gòu)與參數(shù)）有關(guān)，而且與輸入信號特性 有關(guān)。 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)為式中，n, m分別為GK(s)的分母，分子階數(shù)，k是系統(tǒng)的開環(huán)增益, v為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，或稱系統(tǒng)的無差度，它表征了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征。（3.6.12） 若記 顯然 則將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表達為（3.6.13） v=0,1,2時 分別稱為0型,I 型和II 型系統(tǒng)。v 愈高,穩(wěn)態(tài)精度愈高,但穩(wěn) 定性愈差,因此,一般系統(tǒng)不超過III型。工程上一般規(guī)定：（1）當(dāng)輸入為階躍信號（位置輸入信號） 時，系 統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為式中，稱 為位置無偏系數(shù)。

31、 表示單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)偏差，稱穩(wěn)態(tài)位置偏差 對于 0型系統(tǒng)， ， ，為有差系統(tǒng)，且K愈大 愈小。 對于I 、II 型系統(tǒng)， ， ，為位置無差系統(tǒng)。（3.6.14） （3.6.15） 可見，當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)存在時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值將是無差的。而沒有積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)是有差的。為了減少誤差，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)提高放大倍數(shù)。但過大的K值，將影響系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。（2）當(dāng)輸入為單位斜坡信號（速度輸入）時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱 為速度無偏系數(shù)， 對于0型系統(tǒng)， 對于I型系統(tǒng)， 對于II型系統(tǒng)， 表示單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)偏差，稱穩(wěn)態(tài)速度偏差。單位斜坡信號式中（3.6.16） （3.6.17） 上述分

32、析說明，0型系統(tǒng)不能適應(yīng)斜坡輸入，因為其穩(wěn)態(tài)偏差為；I型系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入，但存在穩(wěn)態(tài)偏差，同樣可以增大K值來減少偏差；對于II型或高于II型的系統(tǒng)，對斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)是無差的。用三角波模擬I型系統(tǒng)斜坡輸入時的輸出波形如圖3.6.4所示。（3）當(dāng)輸入為加速度信號（拋物線信號）輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差式中稱 為加速度無偏系數(shù)。對于 0、I型系統(tǒng)，對于II 型系統(tǒng)，加速度信號（3.6.18） （3.6.19） 可見，當(dāng)輸入為加速度信號時，0、 I型系統(tǒng)不能跟隨，型為有差，要無差則應(yīng)采用型或高于型的系統(tǒng)。型系統(tǒng)加速度信號輸入時，輸入輸出波形如圖3.6.5所示。上述討論的穩(wěn)態(tài)偏差根據(jù)式(3.6.4)可

33、以換算為穩(wěn)態(tài)誤差。 綜上所述，在不同輸入時不同類型系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)偏差可以列成表3.6.1。 單位階躍輸入單位恒速輸入單位恒加速度輸入 0型系統(tǒng) I型系統(tǒng) 0 II型系統(tǒng) 0 0系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的開環(huán) (1)無偏系數(shù)的物理意義：穩(wěn)態(tài)偏差與輸入信號的形式有關(guān)，在隨動系統(tǒng)中一般稱階躍信號為位置信號，斜坡信號為速度信號，拋物線信號為加速度信號。 由輸入“某種”信號而引起的穩(wěn)態(tài)偏差用一個系數(shù)來表示，就叫“某種”無偏系數(shù)，如位置無偏系數(shù)，它表示了穩(wěn)態(tài)的精度?！澳撤N”無偏系數(shù)愈大，精度愈高；當(dāng)無偏系數(shù)為零時即穩(wěn)態(tài)偏差 ，表示不能跟隨輸出；無偏系數(shù)為 ，則穩(wěn)態(tài)無差。根據(jù)上面的討論，可歸納出如下幾點： (2)增加系

34、統(tǒng)的型別時，系統(tǒng)的準確度將提高，然而當(dāng)系統(tǒng)采用增加開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目的辦法來增高系統(tǒng)的型別時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將變差， 開環(huán)傳遞函數(shù)中包含兩個以上積分環(huán)節(jié)時，要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性是比較困難的，因此型或更高型的系統(tǒng)實現(xiàn)起來是不容易的，實際上也是極少采用的。 增大K也可以有效地提高系統(tǒng)的準確度，然而也會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。因此，穩(wěn)定與準確是有矛盾的，需要統(tǒng)籌兼顧。為了減小誤差，是增大系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K還是提高系統(tǒng)的型別也需要根據(jù)具體情況作全面的考慮。 (3)根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可知當(dāng)輸入控制信號是上述典型信號的線性組合時，即 輸出量的穩(wěn)態(tài)偏差應(yīng)是它們分別作用時穩(wěn)態(tài)偏差之和，即 (4)對于

35、單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)偏差等于穩(wěn)態(tài)誤差。對于非單位反饋系統(tǒng)，可由式(3.6.4)將穩(wěn)態(tài)偏差換算為穩(wěn)態(tài)誤差。必須注意，不能將系統(tǒng)化為單位反饋系統(tǒng)，再由計算偏差得到誤差，因為兩者計算出的偏差和誤差是不同的。3.6.5 與干擾有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差 對系統(tǒng)除應(yīng)考慮控制的輸入作用外，還應(yīng)考慮各種擾動的輸入作用。系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)偏差反映了系統(tǒng)的抗干擾能力，對如圖3.6.2所示系統(tǒng), 在考慮干擾的影響時, 可以不考慮輸入，即令 ，此時，由干擾引起的誤差，即為干擾所引起的輸出。由干擾引起的穩(wěn)態(tài)偏差可由下式算出（3.6.20） （3.6.21） （3.6.22） （3.6.23） 類似給定輸入作用偏差的分析，把G1

36、(s)寫成K1G10(s)/sv1，把G2(s)寫成K2G20(s)/sv2，當(dāng)s0時，G10(s)及G20(s)均趨于1.不失一般性, 考慮單位反饋系統(tǒng)H(s)=1并考慮階躍干擾的形式, N(s)=1/s。（1）當(dāng)G1(s)及G2(s)都不含積分環(huán)節(jié)時，即v1=v2=0，有（3.6.24） 可見，放大系數(shù)K1、K2對穩(wěn)態(tài)偏差的影響是相反的，增加K1，則偏差減小，而增加K2，則偏差更大。但是當(dāng)K1比較大時，K2對穩(wěn)態(tài)偏差的影響是不太顯著的，這時可以寫成下列近似的式子：（2）當(dāng)G1(s)中有一積分環(huán)節(jié)，而G2(s)中無積分環(huán)節(jié)時，即v1=1，v2=0，有（3.6.25） （3）當(dāng)G1(s)中無積

37、分環(huán)節(jié)，而G2(s)中有一積分環(huán)節(jié)時，即v1=0，v2=1，有（3.6.26） 即此時的穩(wěn)態(tài)偏差與K1成反比，而不是像式(3.6.25)那樣為零值。 綜上所述，為了提高系統(tǒng)的準確度，增加系統(tǒng)的抗干擾能力，必須增大干擾作用點之前的回路的放大倍數(shù)K1以及增加這一段回路中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。而增加干擾作用點之后到輸出量之間的這一段回路的放大系數(shù)K2或增多這一段回路中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目，對減少干擾引起的誤差是沒有好處的。3.7 函數(shù)在時間響應(yīng)中的作用 單位脈沖函數(shù) 及單位脈沖響應(yīng)函數(shù) 十分重要，有必要較深入討論 與 的含義、物理背景及作用。 單位脈沖函數(shù) 的定義如下：而 是 在 時的特例。 如圖3.7.1所示，在工程上常用長度等于1的有向線段來表示 在 區(qū)間的積分面積，線段的長度稱為脈沖強度。(3.7.1) 圖3.7.1 單位脈沖信號 若對系統(tǒng)輸入一單位脈沖函數(shù) ,則系統(tǒng)的單位脈沖的響應(yīng)函數(shù)為 ： 因此， 根據(jù)式（3.7.2），得可見，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的Laplace逆變換是系統(tǒng)輸入單位脈沖函數(shù)時的零初態(tài)響應(yīng)或單位脈沖響應(yīng)。（3.7.2） 由于系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函