等邊三角形的判定與性質(zhì)難題

1、等邊三角形的判定與性質(zhì)難題一、選擇題（共1小題）（2006?）如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，將BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，貝U/A等于（）A.25B.30C.45D.60二、填空題（共1小題）（除非特別說明，請?zhí)顪?zhǔn)確值）一個六邊形的六個角都是120度，連續(xù)四邊的長為1,3,4,2,則該六邊形的周長是.三、解答題（共6小題）（選答題，不自動判卷）23.如圖，P是等邊ABC部一點，PC=3,PA=4,PB=5.求AC.如圖（1）,ABC是等邊三角形，DE是中位線，F(xiàn)是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE,EF.（1）求證：BE=EF;）若將DE從中位線的位置向上平

2、移，使點D,E分別在線段AB,AC上（點E與點A不重合），其他條件不變,如圖（2）,則（1）題中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.（2008?區(qū)二模）已知：在等邊ABC中，點D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點，點G為直線BC上一動點，當(dāng)點G在CB延長線上時，有結(jié)論在直線EF上存在一點H，使得DGH是等邊三角形”成立（如圖），且當(dāng)點G與點B、E、C重合時，該結(jié)論也一定成立.問題：當(dāng)點G在直線BC的其它位置時，該結(jié)論是否仍然成立？請你在下面的備用圖中，畫出相應(yīng)圖形并證明相關(guān)結(jié)如圖，P是等邊三角形ABC的一點，連接PA、PB、PC,以BP為邊作等邊三角形BPM，連接CM.（

3、1）觀察并猜想AP與CM之間的大小關(guān)系，并說明你的結(jié)論；（2）若PA=PB=PC，則PMC是三角形；（3）若PA:PB:PC=1:,試判斷PMC的形狀，并說明理由.（2006?）如圖1,ABC為等邊三角形，面積為S.D1、E1、F1分別是ABC三邊上的點，且AD1=BE1=CF1=AB,連接D1E1、E1F1、F1D1，可得D1E1F1是等邊三角形，此時AD1F1的面積S仁S,D1E1F1的面積S仁S.（1）當(dāng)D2、E2、F2分別是等邊ABC三邊上的點，且AD2=BE2=CF2=AB時如圖2,求證：D2E2F2是等邊三角形；若用S表示AD2F2的面積S2,則S2=_一；若用S表示D2E2F2的

4、面積S2,則S2=_.（2）按照上述思路探索下去，并填空：Sn，則Sn=當(dāng)Dn、En、Fn分別是等邊ABC三邊上的點，ADn=BEn=CFn=AB時，（n為正整數(shù)）DnEnFn是角形；若用S表示ADnFn的面積Sn,則Sn=；若用S表示DnEnFn的面積C8（2009?）已知：等邊ABC的邊長為a.探究（1）:如圖1,過等邊ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成MNG，求證：MNG是等邊三角形且MN=a;探究（2）:在等邊ABC取一點O,過點O分別作OD丄AB、OE丄BC、OF丄CA，垂足分別為點D、E、F.如圖2,若點O是厶ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性

5、質(zhì)得到兩個正確結(jié)論（不必證明）:結(jié)論1.OD+OE+OF=a;結(jié)論2.AD+BE+CF=a;如圖3,若點O是等邊ABC任意一點，則上述結(jié)論1,2是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由.【考點訓(xùn)練】等邊三角形的判定與性質(zhì)-1參考答案與試題解析一、選擇題（共1小題）（2006?）如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，將BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，貝U/A等于（）A.25B.30C.45D.60考點：等邊三角形的判定與性質(zhì).分析：先根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)得出BC-CE,再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出CE-AE-BE,進(jìn)而可判斷出BEC是等邊三角形，由

6、等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形兩銳角互補的性質(zhì)即可得出結(jié)論.解答：解：ABC沿CD折疊B與E重合，貝UBC-CE,E為AB中點，ABC是直角三角形，CE-BE-AE,BEC是等邊三角形./B-60,/A-30故選：B.點評：考查直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及圖形折疊等知識的綜合應(yīng)用能力及推理能力.二、填空題（共1小題）（除非特別說明，請?zhí)顪?zhǔn)確值）一個六邊形的六個角都是120度，連續(xù)四邊的長為1,3,4,2,則該六邊形的周長是_XL考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)；多邊形角與外角.專題：計算題.分析：先延長其中三邊構(gòu)造等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)解題即可.解答：解：如圖所示，六個角都是120

7、三角形的每個角都是60即厶CDE,BFG,AHI,ABC都為等邊三角形，CE-2,BF-3,BC-2+4+3-9,AH-AB-GH-BG-9-1-3-5,DI-AC-AI-CD-9-5-2-2,HI-AH-5,該六邊形的周長是：1+3+4+2+2+5-17.故答案為17.點評：主要考查了正多邊形的相關(guān)性質(zhì).邊相等，角相等.三、解答題（共6小題）（選答題，不自動判卷）23.如圖，P是等邊ABC部一點，PC=3,PA=4,PB=5.求AC.考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的逆定理.分析：首先將BCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得厶ACQ,連接PQ.再過A作CP的延長線的垂線AD,垂足為D,易證得PC

8、Q是等邊三角形，APQ是直角三角形，則可求得/APC的度數(shù)，然后可求得/APD的度數(shù),在RtAPD中，即可求得AD與CD的長，繼而求得AC2.解答：解：將BCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得厶ACQ，連接PQ.再過A作CP的延長線的垂線AD，垂足為D,AQ=PB=5,CQ=PC,/PCQ=60PCQ是等邊三角形，PQ=PC=3,/QPC=60在厶PAQ中，/PA=4,AQ=5,PQ=3,222AQ2=PA2+PQ2，/APQ=90/APC=/APQ+/QPC=150,/APD=30在RtAPD中，AD=PA=2,PD=AP?cos302,則CD=PC+PD=3+2，在RtACD中，AC2=AD2+CD

9、2=4+(3+2)2=25+12.點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性質(zhì).此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.如圖（1）,ABC是等邊三角形，DE是中位線，F(xiàn)是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE,EF.（1）求證：BE=EF；（2）若將DE從中位線的位置向上平移，使點D,E分別在線段AB,AC上（點E與點A不重合），其他條件不變,如圖（2），則（1）題中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)以及三線合一證

10、明得出結(jié)論；（2）由中位線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)證明.解答：(1)證明：ABC是等邊三角形，/ABC=/ACB=60AB=BC=CA,DE是中位線，E是AC的中點，BE平分/ABC,AE=EC,/EBC=/ABC=30AE=CF，CE=CF，/CEF=/F./CEF+/F=ZACB=60/F=30/EBC=/FBE=EF；(2)結(jié)論任然成立.DE是由中位線平移所得，DE/BC,/ADE=/ABC=60/AED=/ACB=60ADE是等邊三角形.DE=AD=AE，AB=AC，BD=CE,/AE=CF,DE=DF,/BDE=180-/ADE=120/FCE

11、=180-/ACB=120,/FCE=/EDB,BDEECF,BE=EF.點評：此題考查等邊三角形以及三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點.(2008?區(qū)二模)已知：在等邊ABC中，點D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點，點G為直線BC上一動點，當(dāng)點G在CB延長線上時，有結(jié)論在直線EF上存在一點H，使得DGH是等邊三角形”成立(如圖)，且當(dāng)點G與點B、E、C重合時，該結(jié)論也一定成立.問題：當(dāng)點G在直線BC的其它位置時，該結(jié)論是否仍然成立？請你在下面的備用圖中，畫出相應(yīng)圖形并證明相關(guān)結(jié)考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：連接DE、EF、DF.(1)當(dāng)點G在線段

12、BE上時，如圖，在EF上截取EH使EH=BG由D、E、F是等邊厶ABC三邊中點，可得DEF、DBE也是等邊三角形且DE=AB=BD，可證明DBGDEH，然后即可證明；當(dāng)點G在射線EC上時，如圖，在EF上截取EH使EH=BG.由(1)可證DBGDEH.可得DG=DH,/BDG=/EDH.由/BDE=/BDG-/EDG=60可得/GDH=/EDH-/EDG=60即可證明.當(dāng)點G在BC延長線上時，如圖，與(2)同理可證，結(jié)論成立.解答：證明：連接DE、EF、DF.當(dāng)點G在線段BE上時，如圖，在EF上截取EH使EH=BG./D、E、F是等邊ABC三邊中點，DEF、DBE也是等邊三角形且DE=AB=BD

13、.在厶DBG和DEH中，DBGDEH(SAS),DG=DH./BDG=/EDH./BDE=/GDE+/BDG=60/GDH=/GDE+/EDH=60在直線EF上存在點H使得DGH是等邊三角形.當(dāng)點G在射線EC上時，如圖，在EF上截取EH使EH=BG.由(1)可證DBGDEH.DG=DH,/BDG=/EDH./BDE=/BDG-/EDG=60/GDH=/EDH-/EDG=60在直線EF上存在點H使得DGH是等邊三角形.當(dāng)點G在BC延長線上時，如圖，與(2)同理可證，結(jié)論成立.綜上所述，點G在直線BC上的任意位置時，該結(jié)論成立.點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，難度較

14、大，關(guān)鍵是巧妙地作出輔助線進(jìn)行解題.如圖，P是等邊三角形ABC的一點，連接PA、PB、PC,以BP為邊作等邊三角形BPM，連接CM.觀察并猜想AP與CM之間的大小關(guān)系，并說明你的結(jié)論；若PA=PB=PC，則PMC是等邊三角形;若PA:PB:PC=1:,試判斷PMC的形狀，并說明理由.考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的逆定理.專題：探究型.分析：(1)通過觀察應(yīng)該是相等關(guān)系，可通過證三角形APB和BMC全等來實現(xiàn)，這兩個三角形中已知的條件有：AB=BC,BP=BM，只要再得出這兩組對應(yīng)邊的夾角相等即可得出全等的結(jié)論，我們發(fā)現(xiàn)/ABP和/MBC都是60。-/PBC，因

15、此這兩個角相等，也就湊成了三角形全等的所有條件.因此可得兩三角形全等，也就證明了AP=CM;根據(jù)(1)的結(jié)論AP=CM，又有三角形BPM是等邊三角形，因此PA=PB=PC可寫成PM=PC=CM,也就是說三角形PMC是等邊三角形.根據(jù)AP=CM,BP=PM，我們可將題中給出的比例關(guān)系式寫成CM:PM:PC=1:.我們發(fā)現(xiàn)這三邊正好符合勾股定理的要求.因此三角形PMC是直角三角形.解答：解：(1)AP=CM./ABC、BPM都是等邊三角形，AB=BC,BP=BM,/ABC=/PBM=60/ABP+/PBC=/CBM+/PBC=60/ABP=/CBM.ABPCBM.AP=CM.等邊三角形.PMC是直

16、角三角形./AP=CM,BP=PM,PA:PB:PC=1:,CM:PM:PC=1:.設(shè)CM=k，貝UPM=k,PC=k,222CM+PM=PCPMC是直角三角形，/PMC=90點評：本題主要考查了全等三角形的判定，等邊三角形的判定以及直角三角形的判定.通過全等三角形得出線段相等是本題的解題關(guān)鍵.(2006?)如圖1,ABC為等邊三角形，面積為S.D1、E1、F1分別是ABC三邊上的點，且AD1=BE1=CF1=AB,連接D1E1、E1F1、F1D1，可得D1E1F1是等邊三角形，此時AD1F1的面積S1=S,D1E1F1的面積S1=S.（1）當(dāng)D2、E2、F2分別是等邊ABC三邊上的點，且AD

17、2=BE2=CF2=AB時如圖2,求證：D2E2F2是等邊三角形；若用S表示AD2F2的面積S2,貝yS2=S;若用S表示D2E2F2的面積S2；貝yS2=S.（2）按照上述思路探索下去，并填空：當(dāng)Dn、En、Fn分別是等邊ABC三邊上的點，ADn=BEn=CFn=AB時，（n為正整數(shù)）DnEnFn是等邊三角形;若用S表示ADnFn的面積Sn,則Sn=；若用S表示DnEnFn的面積Sn,貝Sn=.考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：探究型.分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件可證AD2F2也BE2D2BACF2E2,得D2E2=E2F2=F2D2所以D2E2F2為等

18、邊三角形.（2）（3）由等邊三角形的性質(zhì)和面積公式可求.解答：解：（1）/ABC為等邊三角形，AB=BC=AC,/A=/B=60（1分）由已知得AD2=AB,BE2=BC,AF2=AC,BD2=ABAD2=BE2,AF2=BD2（2分）AD2F2BABE2D2（3分）D2E2=F2D2同理可證AD2F2BACF2E2F2D2=E2F2（4分）D2E2=E2F2=F2D2D2E2F2為等邊三角形；（5分）；（6分）S2=S-S3=S（7分）（2）由（1）可知：DnEnFn等邊三角形；（8分）由（1）的方法可知：，S3=S,；（9分）S2=s,S3=.（10分）點評：本題考查了等邊三角形等性質(zhì)，和

19、等邊三角形等判斷，以及接等邊三角形的面積規(guī)律.&（2009?）已知：等邊ABC的邊長為a.探究（1）:如圖1,過等邊ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成MNG，求證：MNG是等邊三角形且MN=a；探究（2）:在等邊ABC取一點O,過點O分別作OD丄AB、OE丄BC、OF丄CA，垂足分別為點D、E、F.如圖2,若點O是厶ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個正確結(jié)論（不必證明）：結(jié)論1.OD+OE+OF=a;結(jié)論2.AD+BE+CF=a；如圖3,若點O是等邊ABC任意一點，則上述結(jié)論1,2是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由.RABEC(圏3)A(ffl4)考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形.專題：綜合題；壓軸題.分析：(1)本題中ABC為等邊三角形，AB=BC=a，/ABC=60求出/N,/G的值，在直角AMB、CNB中，可以先用a表示出MB,NB然后再表示出MN，這樣就能證得MN=a;(2)判定是否成立可通過構(gòu)建直角三角形，把所求的線段都轉(zhuǎn)化到直角三角形中進(jìn)行求解；判斷是否成立，也要通過構(gòu)建直角三角形，可根據(jù)勾股定理，把所求的線段都表示出來，然后經(jīng)過化簡得出結(jié)論是否正確.解答：(1)證明：如圖1,/ABC為等邊三角形，/ABC