高中數(shù)學選修1-1配人教A版-課后習題第三章測評

1、第三章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知函數(shù)f(x)=ax-x,且f(4)=12,則a的值等于()A.14B.52C.1D.34解析由已知得f(x)=a-12x,因此有f(4)=a-124=12,解得a=34.答案D2.曲線y=xx-2在點(1,-1)處的切線方程為()A.2x+y-1=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x+y-3=0解析由于y=-2(x-2)2,所以切線斜率k=-2(1-2)2=-2,于是切線方程為y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.答案A3.曲線f(x)=x3+x-2在P0處的切線平行于直

2、線y=4x-1,則P0點的坐標為()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(-1,-4)D.(2,8)和(-1,-4)解析依題意令f(x)=3x2+1=4,解得x=1,f(1)=0,f(-1)=-4,故P0點的坐標為(1,0),(-1,-4),故選C.答案C4.函數(shù)f(x)=2ln x-x-3x的單調遞增區(qū)間是()A.(-1,3)B.(0,3)C.(3,+)D.(3,+)和(-,-1)解析f(x)=2x-1+3x2=-x2+2x+3x2,令f(x)0,解得-1x3,結合定義域知0 x0,g(x)=6x2-2x+1中=-200恒成立,故f(x)0恒成立,即f(x)在定義域內單調遞增,無極值

3、點.答案A6.已知函數(shù)y=f(x),其導函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)()A.在(-,0)內為減函數(shù)B.在x=0處取極小值C.在(4,+)內為減函數(shù)D.在x=2處取極大值解析在(-,0)內,f(x)0,故f(x)在(-,0)內為增函數(shù),A錯;在x=0處,導數(shù)由正變負,f(x)由增變減,故在x=0處取極大值,B錯;在(4,+)內,f(x)0,b0)的一個極值點為1,則ab的最大值為()A.1B.12C.14D.116解析f(x)=16x3-12ax2-bx(a0,b0),可得f(x)=12x2-ax-b,因為函數(shù)f(x)的一個極值點為1,所以f(1)=0,即12-a-b=0,即a

4、+b=12.所以aba+b22=116,當且僅當a=b=14時等號成立,所以ab的最大值為116.故選D.答案D8.已知曲線y=aex+xln x在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1解析y=aex+ln x+1,k=y|x=1=ae+1=2,ae=1,a=e-1.將點(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.答案D9.若不等式2xln x-x2+ax對x1,+)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-,0)B.(-,1C.(0,+)D.1,+)解析由2xln x-x2+ax,x1,+),

5、可知a2ln x+x.設h(x)=2ln x+x,x1,+),則h(x)=2x+10,所以函數(shù)h(x)在1,+)內單調遞增,所以h(x)min=h(1)=1,由題可知ah(x)min=1,故a的取值范圍是(-,1.故選B.答案B10.已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+)內的函數(shù),其導數(shù)為f(x),且滿足f(x)-f(x)=-exx2,又f(1)=e,則函數(shù)f(x)在定義域(0,+)內()A.有極大值B.有極小值C.單調遞增D.單調遞減解析由f(x)-f(x)=-exx2可得f(x)-f(x)ex=-1x2,即f(x)ex=-1x2,于是f(x)ex=1x+c,其中c為常數(shù).又因為f(1)=e,所

6、以ee=1+c,故c=0,從而f(x)=exx.于是f(x)=ex(x-1)x2,令f(x)=0得x=1,且當0 x1時,f(x)1時,f(x)0,故函數(shù)f(x)在定義域(0,+)內有極小值.答案B11.若函數(shù)f(x)=x3-3x-1對于區(qū)間-3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|t,則實數(shù)t的最小值是()A.20B.18C.3D.0解析f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f(x)=0,得x=1,所以-1,1為函數(shù)f(x)的極值點.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在區(qū)間-3,2上,f(x)max=1,f(x)min=-19.

7、由題設,知在區(qū)間-3,2上,f(x)max-f(x)mint,從而t20,所以t的最小值是20.故選A.答案A12.定義在(0,+)內的函數(shù)f(x)滿足xf(x)=1+x,且f(1)=2,不等式f(x)(a+1)x+1有解,則正實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,eB.(0,e)C.0,1eD.0,1e解析因為f(x)=1+1x,故設f(x)=x+ln x+C,因為f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+ln x+1.不等式f(x)(a+1)x+1有解可化為x+ln x+1(a+1)x+1,即lnxxa在(0,+)內有解.令g(x)=lnxx,則g(x)=1-lnxx2,當x(0,e)時,g(x

8、)0,g(x)在(0,e)內為增函數(shù);當x(e,+)時,g(x)0,g(x)在(e,+)內為減函數(shù);故g(x)max=g(e)=1e,所以00,所以由f(x)0,得x2a,由f(x)0,得0 x0,解得a=12.答案1214.已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則f(-3)f(1)=.解析f(x)=3ax2+2bx+c,結合圖象可得x=-1,2為導函數(shù)的零點,即f(-1)=f(2)=0,故3a-2b+c=0,12a+4b+c=0,解得a=-c6,b=c4,故f(-3)f(1)=27a-6b+c3a+2b+c=-5.答案-515.某產品的銷售收入y1(單位:萬元)是產量

9、x(單位:千臺)的函數(shù)y1=17x2,生產成本y2(單位:萬元)是產量x(單位:千臺)的函數(shù)y2=2x3-x2,已知x0,為使利潤最大,應生產千臺.解析由題意,利潤y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x0).y=36x-6x2,由y=36x-6x2=6x(6-x)=0,解得x=6或x=0(舍去),當x(0,6)時,y0,當x(6,+)時,y0.所以函數(shù)在(0,6)內為增函數(shù),在(6,+)內為減函數(shù).則當x=6時,y有最大值,即生產6千臺時,利潤最大.答案616.設函數(shù)f(x)=2ln x-12mx2-nx,若x=2是f(x)的極大值點,則m的取值范圍為.解析函數(shù)定義域

10、為(0,+).f(x)=2x-mx-n,依題意有f(2)=1-2m-n=0,即n=1-2m.于是f(x)=2x-mx+2m-1=-(x-2)(mx+1)x,若m0,顯然x=2是f(x)的極大值點,滿足題意;若m2,解得m-12.綜上,m的取值范圍為-12,+.答案-12,+三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+ax-1,且f(1)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)求曲線f(x)在x=-1處的切線方程.解(1)因為f(x)=x3-2x2+ax-1,所以f(x)=3x2-4x+a.因為f(1)=1,所以312-41+a=1,解得a=2.

11、故f(x)=x3-2x2+2x-1.(2)由(1)知f(x)=3x2-4x+2,所以曲線f(x)在x=-1處的切線斜率k=f(-1)=9,又f(-1)=-6,因此切線方程為y+6=9(x+1),即9x-y+3=0.18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ex-x2-ax的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b.(1)求實數(shù)a,b的值;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-1x,求g(x)在(0,+)內的極值.解(1)因為f(x)=ex-2x-a,所以f(0)=1-a.于是由題知1-a=2,解得a=-1.因此f(x)=ex-x2+x,f(0)=1,于是1=20+b,解得b=1.(2)由(1)得g(

12、x)=f(x)-1x=ex-2xx=exx-2,所以g(x)=ex(x-1)x2,令g(x)=0得x=1,當x變化時,g(x),g(x)的變化情況如下:x(0,1)1(1,+)g(x)-0+g(x)單調遞減極小值單調遞增所以g(x)在x=1取得極小值g(1)=e-2,無極大值.19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3+x2-x+c.(1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)有三個零點,求實數(shù)c的取值范圍.解(1)因為f(x)=x3+x2-x+c,故f(x)=3x2+2x-1,由f(x)0,得x13,所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(-,-1)和13,+;(2)由(1)知,

13、f(x)在x=-1處取得極大值1+c,在x=13處取得極小值-527+c,因為函數(shù)f(x)有三個零點,所以1+c0,-527+c0,解得-1c0),f(x)=-lnxx2,當0 x0;當x1時,f(x)x2e2,則|f(x1)-f(x2)|k1x1-1x2等價于f(x1)-f(x2)k1x1-1x2,f(x2)-kx2f(x1)-kx1,即函數(shù)F(x)=f(x)-kx在e2,+)內單調遞減.又F(x)=f(x)-kx=1+lnxxkx,F(x)=k-lnxx20在e2,+)內恒成立,kln x在e2,+)內恒成立,令y=ln x,當x=e2時,y取最小值,即ln e2=2,故k的取值范圍為(-

14、,2.21.(本小題滿分12分)如圖,從一個面積為15的半圓形鐵皮上截取兩個高度均為x的矩形,并將截得的兩塊矩形鐵皮分別以AB,A1B1為母線卷成兩個高均為x的圓柱(無底面,連接部分材料損失忽略不計).記這兩個圓柱的體積之和為V.(1)將V表示成x的函數(shù)關系,并寫出x的取值范圍;(2)求兩個圓柱體積之和V的最大值.解(1)設半圓形鐵皮的半徑為r,自下而上兩個矩形卷成的圓柱的底面半徑分別為r1,r2.因為半圓形鐵皮的面積為15,所以12r2=15,即r2=30.因為2r1=2r2-x2,所以r1=130-x2,同理2r2=2r2-(2x)2,即r2=130-4x2.所以卷成的兩個圓柱的體積之和V=f(x)=(r12+r22)x=1(60 x-5x3).因為02x0;當x2,302時,f(x)0.(1)當a=-34時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)對任意x1e2,+均有f(x)x2a,求a的取值范圍.解(1)當a=-34時,f(x)=-34ln x+1