高中數(shù)學選修1-1配北師版-課后習題第四章測評

1、第四章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.設f(x)=xa-ax(0a1),則f(x)在0,+)內的極大值點x0等于()A.0B.aC.1D.1-a答案C解析令f(x0)=ax0a-1-a=0(0a1),x0a-1=1.x0=1.2.若函數(shù)f(x)=x3-3x-a在區(qū)間0,3上的最大值,最小值分別是m,n,則m-n的值為()A.2B.4C.18D.20答案D解析令f(x)=3x2-3=0,x=1(x=-1舍去).f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a,f(1)f(0)f(3).m=18-a,n=-2-a.m-n=(18-

2、a)-(-2-a)=20.3.函數(shù)f(x)=x2-ln x的遞減區(qū)間是()A.0,22B.22,+C.-,-22,0,22D.-22,0,0,22答案A解析f(x)=2x-1x=2x2-1x,當00時,f(x)0,g(x)0,則x0,g(x)0B.f(x)0,g(x)0C.f(x)0D.f(x)0,g(x)0時是增加的,所以x0;g(x)為偶函數(shù)且x0時是增加的,所以x0時是減少的,g(x)0.5.對任意的xR,函數(shù)f(x)=x3+ax2+7ax不存在極值點的充要條件是()A.0a21B.a=0或a=7C.a21D.a=0或a=21答案A解析f(x)=3x2+2ax+7a,當=4a2-84a0

3、,即0a21時,f(x)0恒成立,函數(shù)不存在極值點.6.已知函數(shù)f(x)=xln x,若f(x)在x0處的函數(shù)值與導數(shù)值之和等于1,則x0的值等于()A.1B.-1C.1D.不存在答案A解析因為f(x)=xln x,所以f(x)=ln x+1,于是有x0ln x0+ln x0+1=1,解得x0=1.7.如圖,某飛行器在4千米高空水平飛行,從距著陸點A的水平距離10千米處下降,已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分,則函數(shù)的解析式為()A.y=1125x3-35xB.y=2125x3-45xC.y=3125x3-xD.y=-3125x3+15x答案A解析根據(jù)題意知,所求函數(shù)在(-5,5)上是減

4、少的.對于A,y=1125x3-35x,y=3125x2-35=3125(x2-25),x(-5,5),y0,所以函數(shù)h(x)在1,+)上是增加的,所以h(x)min=h(1)=1,由題可知ah(x)min=1,故a的取值范圍是(-,1.故選B.10.已知函數(shù)f(x)=16x3-12ax2-bx(a0,b0)的一個極值點為1,則ab的最大值為()A.1B.12C.14D.116答案D解析f(x)=16x3-12ax2-bx(a0,b0),可得f(x)=12x2-ax-b,因為函數(shù)f(x)的一個極值點為1,所以f(1)=0,即12-a-b=0,即a+b=12.所以aba+b22=116,當且僅當

5、a=b=14時等號成立,所以ab的最大值為116.故選D.11.已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x00,則a的取值范圍是()A.(2,+)B.(-,-2)C.(1,+)D.(-,-1)答案B解析當a=0時,f(x)=-3x2+1有兩個零點,不符合題意,故a0.f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),令f(x)=0,得x=0或x=2a,由題意得a0,解得a-2,選B.12.已知函數(shù)f(x)在定義域R內可導,若f(x)=f(2-x),且當x(-,1)時,(x-1)f(x)0,設a=f(0),b=f12,c=f(3),則a,b,c的大小關系為()A.abcB

6、.cabC.cbaD.bca答案B解析由f(x)=f(2-x)知函數(shù)f(x)圖像關于x=1對稱.當x1時,由(x-1)f(x)0,即x1時,f(x)是增加的.a=f(0),b=f12,c=f(3)=f(-1),-1012,ca0,所以由f(x)0,得x2a,由f(x)0,得0 x0,解得a=12.14.一批物資用13輛汽車從A地運到300 km以外的B地,若車速為v km/h,則兩車的距離不能小于v102 km時,這批物資全部從A地運到B地至少要花h.答案12解析最后一輛汽車從A地到B地所用的時間為t=300+12v102v=300v+3v25,v(0,+),則t=-300v2+325.令t=

7、0,得-300v2+325=0,v=50.又函數(shù)t=300v+3v25在(0,+)內只有一個極值點v=50,且這是極小值點,當v=50時,所花費的時間最短為12 h.15.已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖所示,則f(-3)f(1)=.答案-5解析f(x)=3ax2+2bx+c,結合圖像可得x=-1,2為導函數(shù)的零點,即f(-1)=f(2)=0,故3a-2b+c=0,12a+4b+c=0,解得a=-c6,b=c4,故f(-3)f(1)=27a-6b+c3a+2b+c=-5.16.若函數(shù)f(x)=4xx2+1在區(qū)間(m,2m+1)上是增加的,則實數(shù)m的取值范圍是.答案(-1

8、,0解析f(x)=4-4x2(x2+1)2,令f(x)0,得-1x1,即函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-1,1).又f(x)在(m,2m+1)上是增加的,所以m-1,m2m+1,2m+11,解得-1m0.三、解答題(本大題共6小題,需寫出演算過程與文字說明,共70分)17.(本小題滿分10分)求函數(shù)y=x22x的單調區(qū)間.解y=x22x,y=2x2x-x22xln2(2x)2=2x-x2ln22x,解y0,即2x-x2ln22x0,得x2ln2.函數(shù)y=x22x在0,2ln2上是增加的,在(-,0),2ln2,+上是減少的.18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=excos x-x.(1)求曲線

9、y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的最大值和最小值.解(1)因為f(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0.又因為f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程為y=1.(2)設h(x)=ex(cos x-sin x)-1,則h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.當x0,2時,h(x)0,所以h(x)在區(qū)間0,2上單調遞減.所以對任意x0,2有h(x)h(0)=0,即f(x)0,則由f(x)=0得x=ln a.當x(-,ln a)時,f

10、(x)0.故f(x)在(-,ln a)單調遞減,在(ln a,+)單調遞增.若a0,則由f(x)=0得x=ln-a2.當x-,ln-a2時,f(x)0.故f(x)在-,ln-a2單調遞減,在ln-a2,+單調遞增.(2)若a=0,則f(x)=e2x,所以f(x)0.若a0,則由(1)得,當x=ln a時,f(x)取得最小值,最小值為f(ln a)=-a2ln a.從而當且僅當-a2ln a0,即a1時,f(x)0.若a0,則由(1)得,當x=ln-a2時,f(x)取得最小值,最小值為fln-a2=a234-ln-a2.從而當且僅當a234-ln-a20,即a-2e34時f(x)0.綜上,a的取

11、值范圍是-2e34,1.20.(本小題滿分12分)設函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.(1)討論f(x)的單調性;(2)當x0時,f(x)ax+1,求a的取值范圍.解(1)f(x)=(1-2x-x2)ex.令f(x)=0得x=-1-2,x=-1+2.當x(-,-1-2)時,f(x)0;當x(-1+2,+)時,f(x)0.所以f(x)在(-,-1-2),(-1+2,+)內單調遞減,在(-1-2,-1+2)內單調遞增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.當a1時,設函數(shù)h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0),因此h(x)在0,+)內單調遞減,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)

12、=(x+1)h(x)x+1ax+1.當0a0(x0),所以g(x)在0,+)內單調遞增,而g(0)=0,故exx+1.當0 x(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=5-4a-12,則x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1.當a0時,取x0=5-12,則x0(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1.綜上,a的取值范圍是1,+).21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3+x2-x+c.(1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)有三個零點,求實數(shù)c的取值范圍.解

13、(1)因為f(x)=x3+x2-x+c,故f(x)=3x2+2x-1,由f(x)0,得x13,所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(-,-1)和13,+;(2)由(1)知,f(x)在x=-1處取得極大值1+c,在x=13處取得極小值-527+c,因為函數(shù)f(x)有三個零點,所以1+c0,-527+c0,解得-1c0時,若對于任意x10,總存在x2-2,-1,使得f(x1)g(x2),求實數(shù)m的取值范圍.解(1)f(x)=-(2mx-1)(x+1)x,所以當m0時,有f(x)0恒成立,f(x)在(0,+)上是增加的.當m0時,由f(x)0,解得x0,12m,f(x)在0,12m上是增加的;由f(x)0時,f(x)max=f12m=14m-ln 2m-1,根據(jù)題意,不等式等價于