高中數(shù)學必修5配北師版-課后習題Word版-第二章　解三角形§3　解三角形的實際應用舉例

1、3解三角形的實際應用舉例1.如圖所示,為了測量某湖泊兩側A,B間的距離,某同學首先選定了與A,B不共線的一點C,然后給出了四種測量方案:(ABC的角A,B,C所對的邊分別記為a,b,c)測量A,C,b測量a,b,C測量A,B,a測量a,b,B則一定能確定A,B間距離的所有方案的序號為()A.B.C.D.解析已知三角形的兩角及一邊,可以確定三角形,故正確;已知兩邊及夾角,可以確定三角形,故正確;已知兩邊與其中一邊的對角,滿足條件的三角形可能有一個或兩個,故錯誤.故選A.答案A2.輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港O,兩船航行方向的夾角為120,兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15

2、 n mile/h,則14時兩船之間的距離是()A.50 n mileB.70 n mileC.90 n mileD.110 n mile解析到14時,輪船A和輪船B分別走了50 n mile,30 n mile,由余弦定理得兩船之間的距離為l=502+302-25030cos120=70(n mile).答案B3.已知一艘船以4 km/h的速度與水流方向成120的方向航行,已知河水流速為2 km/h,則經(jīng)過3 h,該船實際航程為()A.215 kmB.6 kmC.221 kmD.8 km解析如圖,因為|OA|=2 km/h,|OB|=4 km/h,AOB=120,所以OAC=60,|OC|=

3、22+42-224cos60=23(km/h).經(jīng)過3 h,該船的實際航程為233=6 km.答案B4.甲船在B島的正南方10 km處,且甲船以4 km/h的速度向正北方向航行,同時乙船自B島出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60的方向行駛,當甲、乙兩船相距最近時它們航行的時間是()A.1507 minB.157 hC.21.5 minD.2.15 h解析如圖,設經(jīng)過x h后甲船處于點P處,乙船處于點Q處,兩船的距離為s,則在BPQ中,BP=(10-4x) km,BQ=6x km,PBQ=120,由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ2-2BPBQcosPBQ,即s2=(10-4x)2+(6x

4、)2-2(10-4x)6xcos 120=28x2-20 x+100.當x=-20228=514時,s最小,此時514 h=1507 min.答案A5.已知一貨輪航行到M處,測得燈塔S在貨輪的北偏東15,與燈塔S相距20海里,隨后貨輪按北偏西30的方向航行30分后,又測得燈塔在貨輪的東北方向,則貨輪的速度為()A.20(2+6)海里/時B.20(62)海里/時C.20(6+3)海里/時D.20(63)海里/時解析設貨輪航行30分后到達N處,由題意可知NMS=45,MNS=105,則MSN=180-105-45=30.而MS=20海里,在MNS中,由正弦定理得MNsin30=MSsin105,即

5、MN=20sin30sin105=10sin(60+45)=10sin60cos45+cos60sin45=106+24=10(62)(海里).故貨輪的速度為10(62)12=20(62)海里/時.答案B6.飛機沿水平方向飛行,在A處測得正前下方地面目標C的俯角為30,向前飛行10 000 m到達B處,此時測得正前下方目標C的俯角為75,這時飛機與地面目標的水平距離為()A.2 500(3-1) mB.5 0002 mC.4 000 mD.4 0002 m解析如圖,BAC=30,DBC=75,AB=10 000 m,所以ACB=45.由正弦定理,得10 000sin45=BCsin30,又co

6、s 75=BDBC,所以BD=10 000sin30sin45cos 75=2 500(3-1)(m).答案A7.臺風中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動,離臺風中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),城市B在A的正東40 km處,B城市處于危險區(qū)內(nèi)的持續(xù)時間為()A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h解析設t h后,B市處于危險區(qū)內(nèi),則由余弦定理得(20t)2+402-220t40cos 45302.化簡得4t2-82t+70,所以t1+t2=22,t1t2=74.從而|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=1.答案B8.如圖,D,C,B三點在地面同一直線上,DC=a,從C

7、,D兩點測得A點仰角分別是,(),則A點離地面的高度AB等于()A.asinsinsin(-)B.asinsincos(-)C.asincossin(-)D.acossincos(-)解析在ADC中,DAC=-.由正弦定理得asin(-)=ACsin,AC=asinsin(-),AB=ACsin =asinsinsin(-).答案A9.如圖,山頂上有一座電視塔,在塔頂B處測得地面上一點A的俯角=60,在塔底C處測得點A的俯角=45.已知塔高60 m,則山高為.解析在ABC中,BC=60 m,BAC=15,ABC=30,由正弦定理,得AC=60sin30sin15=30(6+2)(m).所以CD

8、=ACsin 45=30(3+1)(m).答案30(3+1)m10.如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從點A測得點M的仰角MAN=60,點C的仰角CAB=45及MAC=75,從點C測得MCA=60.已知山高BC=50 m,則山高MN= m.解析在RtABC中,CAB=45,BC=50 m,所以AC=502 m.在AMC中,MAC=75,MCA=60,從而AMC=45,由正弦定理得,ACsin45=AMsin60,因此AM=503 m.在RtMNA中,AM=503 m,MAN=60,由MNAM=sin 60,得MN=50332=75(m).答案7511.如圖,CM,CN

9、為某公園景觀湖畔的兩條木棧道,MCN=120.現(xiàn)擬在兩條木棧道的A,B兩處設置觀景臺,記AC=a,BC=b,AB=c(單位:百米).(1)若a,b,c成等差數(shù)列,且公差為4,求b的值;(2)已知AB=12,記ABC=,試用表示觀景路線A-C-B的長,并求觀景路線A-C-B長的最大值.解(1)因為a,b,c成等差數(shù)列,且公差為4,所以a=b-4,c=b+4.因為MCN=120,所以由余弦定理得,(b+4)2=(b-4)2+b2-2b(b-4)cos 120,解得b=10.(2)由題意,得ACsin=BCsin(60-)=12sin120,所以AC=83sin ,BC=83sin(60-),所以觀

10、景路線A-C-B的長AC+BC=83sin +83sin(60-)=83sin(60+)(03,所以此時沒有觸礁的危險.(2)方法一:要使船沒有觸礁危險,只要使d3,即5tan-tan3.因為00,所以0tan -tan 53,所以當,滿足0tan -tan 3,即0tan -tan 53時沒有觸礁危險.13.據(jù)氣象臺預報,距S島正東方向300 km的A處有一臺風中心形成,并以每小時30 km的速度向北偏西30的方向移動,在距臺風中心270 km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺風的影響,問:S島是否受其影響?若受到影響,從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時S島開始受到臺風的影響?持續(xù)時間多久?說明理由.解設臺風中心經(jīng)過t小時到達B點,由題意,SAB=90-30=60,在SAB中,SA=300,AB=30t,SAB=60,由余弦定理得SB2=SA2+AB2-2SAABcosSAB=3002+(30t)2-23003