應力張量的概念及其表達式

1、1。應力張量及其不變量應力張量的概念及其丿一、張量的概念自然界的物質的性質和規(guī)律是一種客不受描述它的方法的影響。數(shù)學方法描述時，會引入坐標系。不;標系的選擇，會使問題簡單化或復雜,希望有某些數(shù)學量在描述物理現(xiàn)象時擺脫真體坐標親的影響。L應力張量及其不變喳2O應變張量及其不變逐1。應助張量及其不變量已經(jīng)學過的數(shù)學量:標量:溫度.密度、能量等引入張量:Generalstateoi矢量：速度、加速度.位移.1。應力張量及其不變暹0階張量：3=11階張量：31=32階張量：32=93階張量：33=27應力和應變是二階張量1。應防張量及其不變量二、一點的應力狀態(tài)表示用二階張量在x，y，z坐標系表示或寫成

2、:OXX6“01。應珈張量及其不變糧仍選用直角坐標系，坐標軸寫成勺，釆用張量下標記號法：(2)必X二二dAl,b/A二=dAl.yydAv:-dAl以H分別代表法線Fl的方向余弦。S楓xxxxyyxzz必X二二dAl,b/A二=dAl.yydAv:-dAl(2)(2)=tZ+c/+tZ%yyyyzz=t/+t/+t/zxxzyyzzzJ1。應力張量及其不變喳三、應力張量的不變量設在Xpx29X3坐標系中，有一用法線單表示的斜平面，斜面上的應力表n的方向余弦用lp1131。應力張量及其不變糧若兀是主應力方向，則斜面上只有正應力等于主應力，S死與/重合。以2表示主應力的值，它在坐標軸上的;SnS”

3、2=XI2S“3=入厶.將式代入式:（?入）1、+Qp/o+63/3+(cy”一九丿人+63人0*3/+0*3。+（0*33九）1(2)（Wf）1j-1。應物張量及其不變量引入記號用張量記號表示(4)式:(4)式中方向余弦滿足:式與便.4界方程解4個夫知教：人1。應力張量及其不變量展開(8)式得到九的三次代數(shù)方程式：其中:61626263216262CJ3323361l366263丿3=Q21222361Q3263原設九為一個主應力，可以證明方程C實根，則是三個主應力，用Q1?a2,O3若用主應力表示辦J力J3:=G,1+cy7+cy3結論：三個主應力和代表主方向的三個空i完全代表一點的應力狀

4、態(tài)。一點的主應力值是和坐標選擇無關】坐標變換時，應力分量aif變化，隹力不變。和主應力一樣，JpJ2,J3不隨坐標黒變化，稱為應力張量的不變量。2O應變張量及其不變量應變的定義:(2)(2)2。應變張量及其不變總在直角坐標系Xpx2,Xy應變與位寵正應變:Awvv-hm心T0心svv=hm=(11)x3-0込-AwS=hmAz-0乙為小mdud一+dydvdv+dzd)(2)(2)切應變:dwdi+dx8:(2)應變張量：（與應力張量一樣，為二階xx2Yxy2Yxz2yx8yyliveJ應變張二階對(2)(2)主應變：可以表示為：8b叼，e3向同性材料主應力方向和主應變方應變張量的不變量:=&

5、I2_(1122一押人=+22+6111213218228233132*33Qkk=5j11C12S228236331S21匕22巧283313%22+2263+5|53丿+(匕12+匕23+51，若用主應變表示乙近，厶:/=j+g+g12=(sg+gg+gs【3=5*2*3廣義胡克定牟廣義胡克定律成立的條件:廣義胡克定律成立的條件:(2)廣義胡克定律成立的條件:廣義胡克定律成立的條件:(2)1彈性體，應力低于彈性極限。2.應變分量是應力分量的線性函數(shù)。C1213C14C15陽rGiC22232I2526OVcJ32。33C34。35C362c4.4.-1000000000000G4408QS

6、VVXV01瓦0對于均質正交異性彈性體，最一般的豐彈性系數(shù)有12卜其中9個是獨立的。Y.VZ1V21V31EE2E.VI21V32EE2E.V13V231E爲E3000000000(2)(2)對于均質各向同性彈性體，最一般的扌彈性系數(shù)有12個，其中2個是獨立的。xxyyJEVE1EVEEEVV1EEE1VV001廣義胡克定律，應變能】8各向同性材料I廣義胡克定律廣義胡克定律，應變能密度工廣義胡克定律，應變能密度工(2)1、橫向變形與泊松比廣義胡克定律，應變能密度工2、三向應曾狀態(tài)的廣義胡克定律一121=E01-G1a2=T702_E13=二03_廣義胡克定律，應變能密度工廣義胡克定律，應變能密

7、度工(2)右（6%1/(廣義胡克定律，應變能密度3、三個彈性常數(shù)之間的關=2（Wv）(2)廣M胡克定律，應變能密8應變能密度(2)(2)rj廣乂胡充主乍N感倉,1、微元應變能（StrainEneir2、dj0dzdx義胡克定律，應變能密度IdW=冒&dydz）dx）+!（6血心）2心）廣義胡克定律，應變能密度/2、應變能密度（Strain-EnergyEdVKif（恥+cr3Xdxdydz）y=么dV三2（O+C22+63(2)廣義胡克定律，應變能密度3、體積改變璽密度與形狀改變6(J(t2-(jV=Vd+%:Strain-EnergyDensityCorrestotheDistortionK

8、:Strain-EnergyDensityCorrestotheChangeofolume(2)廣義胡克定律,應變能密度(2)(2)Vd=+r2)2+心4-o-j)2+(2)(2)承受內壓薄壁容器任意點的應:(2)(2)重要應用實例4(2/.=(2)(2)(2)6=皿128(2)(2)(2)結論與討結論與討論1、關于應力和應力狀態(tài)幾點重要結論力力力應應念結論與討論(2)2、平衡方法是分析一點處應力習要、最基本的方法論證A-必然存在切j而且是非均,的；結論與討論結論與討論(2)結論與討論(2)關于A點的應力狀態(tài)有多種答案、請結論與討論(2)平衡的概念分析哪一種是正確的結論與討論(2)結論與討論3、怎樣將應力圓作為一種分析問魁手段，求解較為復雜的應力狀態(tài)問丿結論與討論4、一點處的應力狀態(tài)有不同的表亍而用主應力表示最為重要請