2021年中考數(shù)學(xué) 培優(yōu)專題四邊形壓軸專練

1、中考數(shù)學(xué)培優(yōu)專題：四邊形壓軸專練1如圖，在平行四邊形ABCD中，BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG（1）證明平行四邊形ECFG是菱形；（2）若ABC120，連結(jié)BG、CG、DG，求證：DGCBGE；求BDG的度數(shù)；（3）若ABC90，AB8，AD14，M是EF的中點(diǎn)，求DM的長(zhǎng)2如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)A作AGBD交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G（1）求證：DEBF（2）若G90求證：四邊形DEBF是菱形；當(dāng)AG4，BG3時(shí)，求四邊形DEBF的面積3如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，連接

2、AP交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，BPBE作線段AP的中垂線MN分別交線段DC，DB，AP，AB于點(diǎn)M，G，F(xiàn)，N（1）求證：BAPBGN；（2）若AB6，BC8，求；（3）如圖2，在（2）的條件下，連接CF，求tanCFM的值4如圖所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，連接DG，BE（1）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖所示線段DG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是；直線DG與直線BE之間的位置關(guān)系是；（2）探究：如圖所示，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD2AB，AG2AE時(shí)，上述結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由（3）應(yīng)用：在（2）的情況下，連接BG、DE，若AE1，AB2，求BG2+DE2的值

3、（直接寫出結(jié)果）5在四邊形ABCD中，E為BC邊中點(diǎn)（）已知：如圖1，若AE平分BAD，AED90，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，AFAB求證：（1）ABEAFE；（2）ADAB+CD；（）已知：如圖2，若AE平分BAD，DE平分ADC，AED120，點(diǎn)F，G均為AD上的點(diǎn)，AFAB，GDCD求證：（1）GEF為等邊三角形；（2）ADAB+BC+CD6如圖將正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度（090）得到正方形ABCD（1）如圖1，BC與AC交于點(diǎn)M，CD與AD所在直線交于點(diǎn)N，若MNBD，求；（2）如圖2，CB與CD交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)CB與BC交于點(diǎn)P，當(dāng)30時(shí)求DAQ的度數(shù)；若AB6，求PQ的長(zhǎng)度7如圖，

4、在梯形ABCD中，ADBC，C90，AD2，BC5，DC3，點(diǎn)E在邊BC上，tanAEC3，點(diǎn)M是射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D、C重合），聯(lián)結(jié)BM交射線AE于點(diǎn)N，設(shè)DMx，ANy（1）求BE的長(zhǎng)；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在線段DC上時(shí)，試求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線BM與直線AE的夾角等于45，請(qǐng)直接寫出這時(shí)線段DM的長(zhǎng)8在正方形ABCD中，AB6，M為對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)（不與B、D重合），連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MNCM，交AB（或AB的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)N，連接CN感知：如圖，當(dāng)M為BD的中點(diǎn)時(shí)，易證CMMN（不用證明）探究：如圖，點(diǎn)M為對(duì)角線BD上任一點(diǎn)（不與B

5、、D重合）請(qǐng)?zhí)骄縈N與CM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論應(yīng)用：（1）直接寫出MNC的面積S的取值范圍；（2）若DM：DB3：5，則AN與BN的數(shù)量關(guān)系是9矩形ABCD中，AB2，AD4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形EGCF（其中E、G、F分別與A、B、D對(duì)應(yīng)）（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G落在AD邊上時(shí)，直接寫出AG的長(zhǎng)為；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G落在線段AE上時(shí)，AD與CG交于點(diǎn)H，求GH的長(zhǎng)；（3）如圖3，記O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，S為OGE的面積，求S的取值范圍10如圖，已知在RtABC中，C90，AC8，BC6，點(diǎn)P、Q分別在邊AC、射線CB上，且APCQ，過(guò)點(diǎn)P作PMAB，垂足為點(diǎn)M，聯(lián)

6、結(jié)PQ，以PM、PQ為鄰邊作平行四邊形PQNM，設(shè)APx，平行四邊形PQNM的面積為y（1）當(dāng)平行四邊形PQNM為矩形時(shí)，求PQM的正切值；（2）當(dāng)點(diǎn)N在ABC內(nèi)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P且平行于BC的直線經(jīng)過(guò)平行四邊形PQNM一邊的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出x的值11（1）問(wèn)題探究：如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，E是BC的中點(diǎn)，AE是BAD的平分線，則線段AB，AD，DC之間的等量關(guān)系為；（2）方法遷移：如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，E是BC的中點(diǎn)，AE是BAF的平分線，試探究線段AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（

7、3）聯(lián)想拓展：如圖，ABCF，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，EDFBAE，試探究線段AB，DF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論12如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)M，已知BC5，點(diǎn)E在射線BC上，tanDCE，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位沿BD方向向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQBD交射線BC于點(diǎn)O，以BP、BQ為鄰邊構(gòu)造PBQF，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t0）（1）tanDBE；（2）求點(diǎn)F落在CD上時(shí)t的值；（3）求PBQF與BCD重疊部分面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）連接PBQF的對(duì)角線BF，設(shè)BF與PQ交于點(diǎn)N，連接MN，當(dāng)MN與ABC的邊平行（不重合）或垂直

8、時(shí)，直接寫出t的值13如圖，在RtABC中，A90，AC3，AB4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q為線段AP的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向上作PMAB，且PM3AQ，以PQ、PM為邊作矩形PQNM設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）線段MP的長(zhǎng)為（用含t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)線段MN與邊BC有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍（3）當(dāng)點(diǎn)N在ABC內(nèi)部時(shí)，設(shè)矩形PQNM與ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（4）當(dāng)點(diǎn)M到ABC任意兩邊所在直線距離相等時(shí)，直接寫出此時(shí)t的值14如圖，在ABC中，BAC90，B45，BC8過(guò)點(diǎn)A作ADBC且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射

9、線AD方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，在線段QC上取點(diǎn)E，使得QE2，連結(jié)PE，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）直接寫出線段AP，CQ的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)PEBC時(shí)，求t的值當(dāng)t值取問(wèn)結(jié)果時(shí)，判斷四邊形APEQ的形狀，并說(shuō)明理由（3）是否存在t的值，使以A、B、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（4）若將點(diǎn)Q沿射線CB方向運(yùn)動(dòng)的速度改為每秒a個(gè)單位，當(dāng)四邊形APCE為菱形時(shí)，直接寫出a的值15如圖，已知ABC中，ACB90，AC4，BC3，點(diǎn)M、N分別是邊AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接eqoac

10、(,MN)，將AMN沿MN所在直線翻折，翻折后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A（1）如圖1，若點(diǎn)A恰好落在邊AB上，且ANAC，求AM的長(zhǎng)；（2）如圖2，若點(diǎn)A恰好落在邊BC上，且ANAC試判斷四邊形AMAN的形狀并說(shuō)明理由；求AM、MN的長(zhǎng)；（3）如圖3，設(shè)線段NM、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，當(dāng)且時(shí)，求CP的長(zhǎng)參考答案1解：（1）證明：AF平分BAD，BAFDAF，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABCD，DAFCEF，BAFCFE，CEFCFE，CECF，又四邊形ECFG是平行四邊形，四邊形ECFG為菱形；（2）四邊形ABCD是平行四邊形，ABDC，ABDC，ADBC，ABC120，BCD60，BCF1

11、20由（1）知，四邊形CEGF是菱形，CEGE，BCGBCF60，CGGECE，DCG120，EGDF，BEG120DCG，AE是BAD的平分線，DAEBAE，ADBC，DAEAEB，BAEAEB，ABBE，BECD，DGCBGE（SAS）；DGCBGE，BGDG，BGEDGC，BGDCGE，CGGECE，CEG是等邊三角形，CGE60，BGD60，BGDG，BDG是等邊三角形，BDG60；（3）如圖2中，連接BM，MC，ABC90，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形，又由（1）可知四邊形ECFG為菱形，ECF90，四邊形ECFG為正方形BAFDAF，BEABDC，M為EF中點(diǎn)，

12、CEMECM45，BEMDCM135，在BME和DMC中，BMEDMC（SAS），MBMD，DMCBMEBMDBME+EMDDMC+EMD90，BMD是等腰直角三角形AB8，AD14，BD2DM，BDeqoac(,S)ABG346，2證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，DFDC，BEAB，DFBE，DFBE，四邊形DEBF為平行四邊形，DEBF；（2）AGBD，GDBC90，DBC為直角三角形，又F為邊CD的中點(diǎn)BFDCDF，又四邊形DEBF為平行四邊形，四邊形DEBF是菱形；ADBG，AGBD，G90，四邊形AGBD是矩形，eqoac(,

13、S)ABDeqoac(,S)ABD3，eqoac(,S)BDE6E為邊AB的中點(diǎn)，eqoac(,S)BDE四邊形DEBF的面積23（1）證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形，ABC90，BAPAPB90BPBE，APBBEPGEF，MN垂直平分線段AP，GFE90，BGN+GEF90，BAPBGN（2）解：四邊形ABCD是矩形，BADABP90，ADBC，ADBC8，BDADBC，DAEAPB，10，APBBEPDEA，DAEDEA，DADE8，BEBPBDDE1082，PA2，MN垂直平分線段AP，AFPF，PBAD，PEPAEFPFPE，（3）解：如圖3中，連接AM，MP設(shè)CMx四邊形AB

14、CD是矩形，ADMMCP90，ABCD6，ADBC8，MN垂直平分線段AP，MAMP，AD2+DM2PC2+CM2，82+（6x）262+x2，x，PFMPCM90，P，F(xiàn)，M，C四點(diǎn)共圓，CFMCPM，tanCFMtanCFM4解：（1）如圖中，四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，AEAG，ABAD，BADEAG90，BAEDAG，在ABE和DAG中，ABEDAG（SAS），BEDG；如圖2，延長(zhǎng)BE交AD于T，交DG于H由知，ABEDAG，ABEADG，ATB+ABE90，ATB+ADG90，ATBDTH，DTH+ADG90，DHB90，BEDG，故答案為：BEDG，BEDG；（2）數(shù)

15、量關(guān)系不成立，DG2BE，位置關(guān)系成立如圖中，延長(zhǎng)BE交AD于T，交DG于H四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，BADEAG，BAEDAG，AD2AB，AG2AE，ABEADG，ABEADG，DG2BE，ATB+ABE90，ATB+ADG90，ATBDTH，DTH+ADG90，DHB90，BEDG；（3）如圖中，作ETAD于T，GHBA交BA的延長(zhǎng)線于H設(shè)ETx，ATyAHGATE，2，GH2x，AH2y，4x2+4y24，x2+y21，BG2+DE2（2x）2+（2y+2）2+x2+（4y）25x2+5y2+20255（）證明：（1）如圖1中，AE平分BAD，BAEFAE，在ABE和AF

16、E中，ABEAFE（SAS），（2）ABEAFE，AEBAEF，BEBF，AE平分BC，BECE，F(xiàn)ECE，AEDAEF+DEF90，AEB+DEC90，DEFDEC，在DEF和DEC中，DEFDEC（SAS），DFDC，ADAF+DF，ADAB+CD；（）證明：（1）如圖2中，E是BC的中點(diǎn)，BECEBC，同（1）得：ABEAFE（SAS），DEGDEC（SAS），BEFE，AEBAEF，CEEG，CEDGED，BECE，EFEG，AED120，AEB+CED18012060，AEF+GED60，F(xiàn)EG60，F(xiàn)EG是等邊三角形（2）由（1）可知FGGEEFBC，ADAG+GH+HD，ADAB

17、+CD+BC6解：（1）如圖1中，MNBD，CMNCBD45，CNMCDB45，CMNCNM，CMCN，CBCD，MBND，ABAD，ABMADN90，eqoac(,AB)eqoac(,M)ADN（SAS），BAMDAN，BAD90，MAN45，BAMDAN22.5，BAC45，BAB22.5，22.5（2）如圖2中，ABQADQ90，AQAQ，ABAD，RtAQBRtAQD（HL），QABQAD，BAB30，BAD90，BAD30，QADBAD30如圖2中，連接AP，在AB上取一點(diǎn)E，使得AEEP，連接EP設(shè)PBaABPABP90，APAP，ABAB，RtAPBRtAPB（HL），BAPPA

18、B15，EAEP，EAPEPA15，BEPEAP+EPA30，PEAE2a，BEAB6，a，2a+a6，a6（2PB6（2），PCBCPB66（2）66，CPQ+BPB180，BAB+BPB180，CPQBAB30，PQ1247解：（1）如圖1中，作AHBC于H，ADBC，C90，AHCCD90，四邊形AHCD是矩形，ADCH2，AHCD3，tanAEC3，3，EH1，CE1+23，BEBCCE532（2）延長(zhǎng)AD交BM的延長(zhǎng)線于GAGBC，DG，AG2+，y（0 x3）（3）如圖31中，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上時(shí)，BNEABC45，EBNEAB，EB2ENAE，解得x如圖32中，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC的

19、延長(zhǎng)線上時(shí)，ANBABE45，BNAEBA，AB2AEAN，（3）2+解得x13，綜上所述DM的長(zhǎng)為或138解：探究：如圖中，過(guò)M分別作MEAB交BC于E，MFBC交AB于F，則四邊形BEMF是平行四邊形，四邊形ABCD是正方形，ABC90，ABDCBDBME45，MEBE，平行四邊形BEMF是正方形，MEMF，CMMN，CMN90，F(xiàn)ME90，CMEFMN，MFNMEC（ASA），MNMC；應(yīng)用：（1）當(dāng)點(diǎn)M與D重合時(shí)，CNM的面積最大，最大值為18，當(dāng)DMBM時(shí)，CNM的面積最小，最小值為9，綜上所述，9S18（2）如圖中，由（1）得FMAD，EMCD，ANBC6，AF3.6，CE3.6，

20、MFNMEC，F(xiàn)NEC3.6，AN7.2，BN7.261.2，AN6BN，故答案為AN6BN9解：（1）如圖1中，四邊形ABCD是矩形，BCADCG4，B90，ABCD2，DG2，AGABBG42，故答案為42（2）如圖2中，由四邊形CGEF是矩形，得到CGE90，點(diǎn)G在線段AE上，AGC90，CACA，CBCG，RtACGRtACB（HL）ACBACG，ABCDACGDAC，ACHHAC，AHCH，設(shè)AHCHm，則DHADAH5m，在RtDHC中，CH2DC2+DH2，m222+（4m）2，m，AH，GH（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在對(duì)角線AC上時(shí)，OGE的面積最小，最小值OGEG2（4）4當(dāng)點(diǎn)G在A

21、C的延長(zhǎng)線上時(shí)，eqoac(,OE)G的面積最大最大值EGOG2（4+）4+綜上所述，4S4+10解：（1）在RtACB中，C90，AC8，BC6，AB10，當(dāng)四邊形PQMN是矩形時(shí)，PQABtanPQM（2）如圖1中，延長(zhǎng)QN交AB于K由題意BQ6x，QNPMx，AMx，KQBQ，BKBQ，MKABAMBKQNQK，xx，yPMMK（0 x）（3）如圖31中，當(dāng)平分MN時(shí)，D為MN的中點(diǎn)，作NEBC交PQ于E，作NHCB交CB的延長(zhǎng)線于H，EGBC于GPDBC，ENBC，PDNE，PEDN，四邊形PDNE是平行四邊形，PEDN，DNDM，PQMN，PEEQ，EGPC，CGGQ，EGPC，四邊

22、形EGHN是矩形，NHEGNQPMx，PC8x，x（8x），解得x如圖32中，當(dāng)平分NQ時(shí)，D是NQ的中點(diǎn)，作DHCB交CB的延長(zhǎng)線于HDHPC，8xx，解得x，綜上所述，滿足條件x的值為或11解：（1）探究問(wèn)題：結(jié)論：ADAB+DC理由：如圖中，延長(zhǎng)AE，DC交于點(diǎn)F，ABCD，BAFF，在ABE和FCE中，CEBE，BAFF，AEBFEC，ABEFEC（AAS），CFAB，AE是BAD的平分線，BAFFAD，F(xiàn)ADF，ADDF，DC+CFDF，DC+ABAD故答案為ADAB+DC（2）方法遷移：結(jié)論：ABAF+CF證明：如圖，延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，E是BC的中點(diǎn)，CEBE，ABDC

23、，BAEG且BECE，AEBGECAEBGEC（AAS）ABGCAE是BAF的平分線BAGFAG，BAGG，F(xiàn)AGG，F(xiàn)AFG，CGCF+FG，ABAF+CF（3）聯(lián)想拓展：結(jié)論；ABDF+CF證明：如圖，延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，E是BC的中點(diǎn)，CEBE，ABCF，BAEG，在AEB和GEC中，AEBGEC，ABGC，EDFBAE，F(xiàn)DGG，F(xiàn)DFG，ABDF+CF12解：（1）如圖1中，作DHBE于H在RtBCD中，DHC90，CD5，tanDCH，DH4，CH3，BHBC+CH5+38，tanDBE故答案為（2）如圖2中，四邊形ABCD是菱形，ACBD，BC5，tanCBMCM，BM

24、DM2PFCB，解得t（3）如圖31中，當(dāng)0t時(shí)，重疊部分是平行四邊形PBQF，SPBPQ210t2tt如圖32中，當(dāng)t1時(shí)，重疊部分是五邊形PBQRT，SS平行四邊形PBQFeqoac(,S)TRF10t25t（5t）5t（5t）t2+30t10eqoac(,S)PDT54（5S如圖33中，當(dāng)1t2時(shí)，重疊部分是四邊形PBCT，eqoac(,S)BCDt）（42t）t2+10t（4）如圖41中，當(dāng)MNAB時(shí)，設(shè)CM交BF于TPNMT，MT，MNAB，2，PBBM，2t2，t如圖42中，當(dāng)MNBC時(shí)，易知點(diǎn)F落在DH時(shí)，PFBH，解得t如圖43中，當(dāng)MNAB時(shí)，易知PNMABD，可得tanPN

25、M，解得t，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，MNBC，此時(shí)t2，綜上所述，滿足條件的t的值為或或或213解：（1）由題意AP2t，AQPQt，PM3PQ，PM3t故答案為3t（2）如圖21中，當(dāng)點(diǎn)M落在BC上時(shí)，PMAC，解得t如圖22中，當(dāng)點(diǎn)N落在BC上時(shí)，NQAC，解得t，綜上所述，滿足條件的t的值為t（3）如圖31中，當(dāng)0t時(shí)，重疊部分是矩形PQNM，S3t2如圖32中，當(dāng)t時(shí)，重疊部分是五邊形PQNEFSS矩形PQNMeqoac(,S)EFM3t23t（42t）3t（42t）t2+18t6，綜上所述，S（4）如圖41中，當(dāng)點(diǎn)M落在ABC的角平分線BF上時(shí)，滿足條件作FEBC于EFABFEB90，F(xiàn)BAFBE，BFBF，BFABFE（AAS），AFEF，ABBE4，設(shè)AFEFx，A90，AC3，AB4，BC5，ECBCBE541，在RtEFC中，則有x2+12（3x）2，解得x，PMAF，t如圖42中，當(dāng)點(diǎn)M落在ACB的角平分線上時(shí)，滿足條件作EFBC于F同法可證：ECAECF（AA