北京四中中考數(shù)學總復習：實數(shù)-知識講解（提高）

1、PAGE 第PAGE 頁碼10頁/總NUMPAGES 總頁數(shù)10頁Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.中考總復習：實數(shù)知識講解 （提高）撰稿：張曉新 審稿：杜少波【考綱要求】1.了解有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)的概念；借助數(shù)軸理解相反數(shù)、絕對值的概念及意義，會比較實數(shù)的大??；2.知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，會用科學記數(shù)法表示有理數(shù)，會求近似數(shù)和有效數(shù)字；了解乘方與開方、平方根、算術平方根、立方根的概念，并理解這兩種運算之間的關系，了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質；3.掌握實數(shù)的運算法則，并能靈活運用；

2、4.逐步形成數(shù)形結合、分類討論、建模思想.【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、實數(shù)的分類1.按定義分類：2.按性質符號分類：有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)或者“形如（m，n是整數(shù)n0）”的數(shù)叫有理數(shù)無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)要點詮釋：常見的無理數(shù)有以下幾種形式：（1）字母型：如是無理數(shù)，等都是無理數(shù)，而不是分數(shù)；（2）構造型：如2.10100100010000（每兩個1之間依次多一個0）就是一個無限不循環(huán)的小數(shù)；（3）根式型：都是一些開方開不盡的數(shù)；（4）三角函數(shù)型：sin35、tan27、cos29等.考點二、實數(shù)的相關概念1.相反數(shù)（1)代數(shù)意義：只有符號不同

3、的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)0的相反數(shù)是0；（2)幾何意義：在數(shù)軸上原點的兩側，與原點距離相等的兩個點表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)；（3)互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和等于0.a、b互為相反數(shù)a+b=0.2.絕對值（1)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0可用式子表示為： （2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離距離是一個非負數(shù)，所以絕對值的幾何意義本身就揭示了絕對值的本質，即絕對值是一個非負數(shù)用式子表示：若a是實數(shù)，則|a|03.倒數(shù)（1)實數(shù)的倒數(shù)是；0沒有倒數(shù)；（2)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)a、b互為倒數(shù).4.平方根（1)如果一

4、個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個平方根，它是0本身；負數(shù)沒有平方根a（a0）的平方根記作（2)一個正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術平方根a（a0）的算術平方根記作5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；0的立方根仍是0要點詮釋：若則則表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b的點之間的距離.考點三、實數(shù)與數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，數(shù)軸的三要素缺一不可每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)要點詮釋：（1）數(shù)軸的三要素：原點、正方

5、向和單位長度.（2）實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的.考點四、實數(shù)大小的比較1.對于數(shù)軸上的任意兩個點，靠右邊的點所表示的數(shù)較大.2.正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)；絕對值大的反而小.3.對于實數(shù)a、b， 若a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab，bc，則ac.5.無理數(shù)的比較大?。豪闷椒睫D化為有理數(shù)：如果ab0， a2b2ab；或利用倒數(shù)轉化：如比較與.要點詮釋：實數(shù)大小的比較方法：（1）直接比較法：正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.（2）數(shù)軸法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.考點五、實數(shù)的運算1.加法同號兩數(shù)相加，取相

6、同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)滿足運算律：加法的交換律a+b=b+a，加法的結合律(a+b)+c=a+(b+c)2.減法減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)3.乘法兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.幾個非零實數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0乘法運算的運算律：（1）乘法交換律ab=ba；（2）乘法結合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法對加法的分配律a(b+c

7、)=ab+ac4.除法（1）除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除0除以任何一個不等于0的數(shù)都得05.乘方與開方（1)求n個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，a所表示的意義是n個a相乘.正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負數(shù)的奇次冪是負數(shù)（2)正數(shù)和0可以開平方，負數(shù)不能開平方；正數(shù)、負數(shù)和0都可以開立方（3)零指數(shù)與負指數(shù)要點詮釋：（1）加和減是一級運算，乘和除是二級運算，乘方和開方是三級運算這三級運算的順序是三、二、一如果有括號，先算括號內的；如果沒有括號，同一級運算中要從左至右依次運算（2）實數(shù)的運算律 加法交換律：a+b=b+a 加法結合

8、律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交換律：ab=ba 乘法結合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc考點六、有效數(shù)字和科學記數(shù)法1.近似數(shù)一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位精確度的形式有兩種：（1）精確到哪一位；（2）保留幾個有效數(shù)字.2.有效數(shù)字一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，都叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字3.科學記數(shù)法把一個數(shù)用a10（其中110，n為整數(shù)）的形式記數(shù)的方法叫科學記數(shù)法要點詮釋：（1）當要表示的數(shù)的絕對值大于1時，用科學記數(shù)法寫成a10，其中110，n為正整數(shù)，其值等于原數(shù)中整數(shù)部分的

9、數(shù)位減去1；（2）當要表示的數(shù)的絕對值小于1時，用科學記數(shù)法寫成a10，其中110，n為負整數(shù)，其值等于原數(shù)中第一個非零數(shù)字前面所用零的個數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點前面的零）.考點七、數(shù)形結合、分類討論、建模思想1.數(shù)形結合思想實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，絕對值的幾何意義等，數(shù)軸在很多時候可以幫助我們更直觀地分析題目，從而找到解決問題的突破口；2.分類討論思想（算術）平方根，絕對值的化簡都需要有分類討論的思想，考慮問題要全面，做到既不重復又不遺漏；3. 從實際問題中抽象出數(shù)學模型以現(xiàn)實生活為背景的題目，我們要抓住問題的實質，明確該用哪一個考點來解決問題，然后有的放矢.【典型例題】類型一、實數(shù)的有關概

10、念1在實數(shù)，0，3.14，0.1010010001（每兩個1之間依次多1個0），sin30這8個實數(shù)中，無理數(shù)有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個 【答案】C；【解析】在上面所給的實數(shù)中，只有，0.1010010001這三個數(shù)是無理數(shù)，其它五個數(shù)都是有理數(shù)，故選C.【點評】對實數(shù)分類，不能只為表面形式迷惑，而應從最后結果去判斷首先明確無理數(shù)的概念，即“無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)”.一般來說，用根號表示的數(shù)不一定就是無理數(shù)，如=2是有理數(shù)，關鍵在于這個形式上帶根號的數(shù)的最終結果是不是無限不循環(huán)小數(shù)同樣，用三角符號表示的數(shù)也不一定就是無理數(shù)，如sin30、tan45等而0.1010010001盡管

11、有規(guī)律，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)是無理數(shù)，而不是分數(shù)舉一反三：【高清課程名稱： 實數(shù) 高清ID號：369214關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題2-4】【變式】倒數(shù)等于它本身的數(shù)是_，相反數(shù)等于它本身的數(shù)是_，絕對值等于它本身的數(shù)是_【答案】1；0；非負數(shù).類型二、實數(shù)有關的計算【高清課程名稱： 實數(shù) 高清ID號：369214關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題8-9】2(1)有一列數(shù)，那么依此規(guī)律，第7個數(shù)是_；（2）已知依據(jù)上述規(guī)律，則 【答案】(1) ； （2）.【解析】(1) 符號：單數(shù)為負，雙數(shù)為正，所以第7個為負.分子規(guī)律：第幾個數(shù)就是幾，即第7個數(shù)分子就是7，分母規(guī)律

12、：分子的平方加1，第7個數(shù)分母就是50.所以第7個數(shù)是.（2）【點評】(1) 規(guī)律：（n為正整數(shù)）；（2）規(guī)律：（n為正整數(shù)）.舉一反三：【變式】a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，依此類推，則 【答案】因為，.三個一循環(huán)，因此類型三、實數(shù)大小的比較3若，試不用將分數(shù)化小數(shù)的方法比較a、b的大小【答案與解析】a=，b， ab【點評】通過通分進行比較.舉一反三：【變式】當時，比較1b與1的大小.【答案】（1）b0時，b0或b0當b0時，1b1，當b0時，1b1.類型四、平方根的應用4已知，求的值.【答案與解析】0，0，0，

13、. 解得 則.【點評】利用0，0，0（為自然數(shù)）等常見的三種非負數(shù)及其性質，分別令它們?yōu)榱悖靡粋€三元一次方程組，解得、的值，代入后本題得以解決。舉一反三：【變式】已知x、y是實數(shù)，且+（y26y+9）=0，若axy3x=y，則實數(shù)a的值是（ ） A B C D【答案】A. +（y3）2=0， 3x+4=0，y3=0， x=，y=3 axy3x=y，3a3（）=3， a= 答案選A.類型五、實數(shù)運算中的規(guī)律探索5在快速計算法中，法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”是一樣的，后面的就改用手勢了下面兩個圖框是用法國“小九九”計算89和67的兩個示例（1）用法國“小九九”

14、計算78，左、右手依次伸出手指的個數(shù)是多少？（2）設a、b都是大于5且小于10的整數(shù)，請你說明用題中給出的規(guī)則計算ab的正確性？【答案與解析】（1）按照題中示例可知：要計算78，左手應伸出7-5=2個手指，右手應伸出8-5=3個手指；（2）按照題中示例可知：要計算ab，左手應伸出（a-5）個手指，未伸出的手指數(shù)為5-（a-5）=10-a；右手應伸出（b-5）個手指，未伸出的手指數(shù)為5-（b-5）=10-b兩手伸出的手指數(shù)的和為（a-5）+（b-5）=a+b-10，未伸出的手指數(shù)的積為（10-a）（10-b）=100-10a-10b+ab根據(jù)題中的規(guī)則，ab的結果為10（a+b-10）+（100

15、-10a-10b+ab）而10（a+b-10）+（100-10a-10b+ab）=10a+10b-100+100-10a-10b+ab=ab所以用題中給出的規(guī)則計算ab是正確的【點評】此題是定義新運算題型通過閱讀規(guī)則，得出一般結論解題關鍵是對號入座不要找錯對應關系6探究數(shù)字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它的體積小，密度大，吸引力強，任何物體到它那里都別想再“爬出來”，無獨有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數(shù)，通過一種運算，都能被它“吸”進去，無一能逃脫它的魔掌譬如：任意找一個3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個數(shù)的每個數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加，得到一個新的數(shù)，然后把這個新數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)字再立方，求和，重復運算下去，就能得到一個固定的數(shù)T=_，我們稱它為數(shù)字“黑洞”，T為何具有如此魔力通過認真的觀察、分析，你一定能發(fā)現(xiàn)它的奧秘！此短文中的T是（）A363 B153 C159 D456【答案】B；【解析】把6代入計算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；開始重復，則T=153故選B【點評】此題只需根據(jù)題意，任意找一個符合條件的數(shù)進行計算，