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文檔簡介
1、學生: 科目: 數(shù) 學 教師: 譚 前 富 課 題幾何模型之二:圖形中的最短距離、定值及不等式問題教學內(nèi)容知識框架在平面幾何問題中,當某幾何元素在給定條件變動時,求某幾何量(如線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù))的最大值或最小值問題,稱為最值問題。 最值問題的解決方法通常有兩種: (1) 應用幾何性質(zhì): 三角形的三邊關系:兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊; 兩點間線段最短; 連結(jié)直線外一點和直線上各點的所有線段中,垂線段最短; 定圓中的所有弦中,直徑最長。 運用代數(shù)證法: 運用配方法求二次三項式的最值; 運用一元二次方程根的判別式?!纠}精講】 最短路徑和幾何不等式問題:考查知識點-:“兩
2、點之間線段最短”,“兩邊之和大于第三邊”,“斜邊大于直角邊”,“垂線段最短”,“點關于線對稱”,“線段的平移”。原型-“飲馬問題”,“造橋選址問題”??嫉妮^多的還是“飲馬問題”,出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等。最短路徑和幾何不等式問題的兩種基本模型-: 、歸于函數(shù)模型:即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對稱性及增減性,確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值、歸于幾何模型,這類模型又分為兩種情況:(1)歸于“兩點之間的連線中,線段最短”。凡屬于求“變動的兩線段之和的最小值”時,大都應用這一模型。(2)歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動的兩線段之差的最
3、大值”時,大都應用這一模型。 解題總思路-找點關于線的對稱點實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”,較難的會出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查。二最短距離中的數(shù)形結(jié)合:例:求代數(shù)式的最小值.三立體幾何中的最短路徑問題:(1)臺階問題 如圖,是一個三級臺階,它的每一級的長、寬和高分別等于5cm,3cm和1cm,A和B是這個臺階的兩個相對的端點,A點上有一只螞蟻,想到B點去吃可口的食物.請你想一想,這只螞蟻從A點出發(fā),沿著臺階面爬到B點,最短線路是多少?(2)圓柱問題 有一圓形油罐底面圓的周長為24m,高為6m,一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食物,它爬行的最短路線長為多少?變式1:有一圓柱形油罐,已知油
4、罐周長是12m,高AB是5m,要從點A處開始繞油罐一周建造梯子,正好到達A點的正上方B處,問梯子最短有多長?ABABc變式2: 桌上有一個圓柱形玻璃杯(無蓋),高為12厘米,底面周長18厘米,在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖,一只小蟲從桌上爬至杯子外壁,當它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時,突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達蜜糖所在的位置。(3)正方體問題 如圖,邊長為1的正方體中,一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是( ). (A)3 (B) (C)2 (D)1(4)長方體問題 如圖,一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā),沿長方體的表面爬到對角頂點
5、C1處(三條棱長如圖所示),問怎樣走路線最短?最短路線長為多少?析:展開圖如圖所示, 路線1即為所求。長、寬、高中,較短的兩條邊的和作為一條直角邊,最長的邊作為另一條直角邊, 斜邊長即為最短路線長。幾何模型:條件:如圖,、是直線同旁的兩個定點問題:在直線上確定一點,使的值最小方法:作點關于直線的對稱點,連結(jié)交于點,則的值最小(不必證明)ABECBD圖1模型應用:(1)如圖1,正方形的邊長為2,為的中點,是上一動點連結(jié),由正方形對稱性可知,與關于直線對稱連結(jié)交于,則的最小值是_;OABC圖2P(2)如圖2,的半徑為2,點在上,是上一動點,求的最小值;(3)如圖3,是內(nèi)一點,OABPRQ圖3分別是
6、上的動點,求周長的最小值問題探究(1)如圖 = 1 * GB3 ,四邊形是正方形, ,為邊的中點,為上的一個動點,求的最小值;(2)如圖 = 2 * GB3 ,若四邊形是菱形, ,為邊上的一個動點,為上的一個動點,求的最小值;問題解決(3)如圖 = 3 * GB3 ,若四邊形是矩形, ,為邊上的一個動點,為上的一個動點,求的最小值;ADBCADBCEP第25題圖ACDB圖 = 1 * GB3 圖 = 2 * GB3 圖 = 3 * GB3 25、(本題滿分12分)某縣社會主義新農(nóng)村建設辦公室,為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學長期存在的飲水困難問題,想在這三個地方的其中一處建一所供水站,由供水站
7、直接鋪設管道到另外兩處。如圖,甲、乙兩村坐落在夾角為30的兩條公路的AB段和CD段(村子和公路的寬均不計),點M表示這所中學。點B在點M的北偏西30的3km處,點A在點M的正西方向,點D在點M的南偏西60的km處。為使供水站鋪設到另兩處的管道長度之和最短,現(xiàn)有如下三種方案:方案一:供水站建在點M處,請你求出鋪設到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值;方案二:供水站建在乙村(線段CD某處),甲村要求管道鋪設到A處,請你在圖中,畫出鋪設到點A和點M處的管道長度之和最小的線路圖,并求其最小值;方案三:供水站建在甲村(線段AB某處),請你在圖中,畫出鋪設到乙村某處和點M處的管道長度之和最小的線路圖
8、,并求其最小值。北東D30ABCMOEF圖乙村綜上,你認為把供水站建在何處,所需鋪設的管道最短?D30ABCMOEF圖乙村25(本題滿分12分)問題探究(1)請在圖的正方形內(nèi),畫出使的一個點,并說明理由(2)請在圖的正方形內(nèi)(含邊),畫出使的所有的點,并說明理由問題解決(3)如圖,現(xiàn)在一塊矩形鋼板工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的和鋼板,且請你在圖中畫出符合要求的點和,并求出的面積(結(jié)果保留根號)DCBADCBADCBA(第25題圖)1、(2009年達州)在邊長為2的正方形ABCD中,點Q為BC邊的中點,點P為對角線AC上一動點,連接PB、PQ,則PBQ周長的最小值為_(結(jié)果不取近似值)
9、.ADEPBC2、(2009年撫順市)如圖所示,正方形的面積為12,是等邊三角形,點在正方形內(nèi),在對角線上有一點,使的和最小,則這個最小值為( ) A B C3 D3、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,AD=2,BC=DC=5,點P在BC上移動,則當PA+PD取最小值時,APD中邊AP上的高為( )A、 B、 C、 D、3(動點,作A關于BC的對稱點A,連AD交BC于P,涉及勾股定理,相似)4、(07南通)已知等腰三角形ABC的兩個頂點分別是A(0,1)、B(0,3),第三個頂點C在x軸的正半軸上關于y軸對稱的拋物線yax2bxc經(jīng)過A、D(3,2)、P三點,且點P
10、關于直線AC的對稱點在x軸上(1)求直線BC的解析式;(2)求拋物線yax2bxc的解析式及點P的坐標;ABO(第4題圖)DxyABO(第28題圖)Dxy(3)設M是y軸上的一個動點,求PMCM的取值范圍yOxPDB5、(09年新疆烏魯木齊市)如圖,在矩形中,已知、兩點的坐標分別為,為的中點設點是平分線上的一個動點(不與點重合)(1)試證明:無論點運動到何處,總造橋與相等;(2)當點運動到與點的距離最小時,試確定過三點的拋物線的解析式;(3)設點是(2)中所確定拋物線的頂點,當點運動到何處時,的周長最???求出此時點的坐標和的周長;(4)設點是矩形的對稱中心,是否存在點,使?若存在,請直接寫出點
11、的坐標 6、(09湖北荊門)一次函數(shù)的圖象與x、y軸分別交于點A(2,0),B(0,4)(1)求該函數(shù)的解析式; 第6題(2)O為坐標原點,設OA、AB的中點分別為C、D,P為OB上一動點,求PCPD的最小值,并求取得最小值時P點坐標7、(2009年濟南)已知:拋物線的對稱軸為與軸交于兩點,與軸交于點其中、(1)求這條拋物線的函數(shù)表達式(2)已知在對稱軸上存在一點P,使得的周長最小請求出點P的坐標(3)若點是線段上的一個動點(不與點O、點C重合)過點D作交軸于點連接、設的長為,的面積為求與之間的函數(shù)關系式試說明是否存在最大值,若存在,請求出最大值;若不存在,請說明理由ACxyBOACxyBO8
12、、(2009年衢州市)如圖,已知點A(-4,8)和點B(2,n)在拋物線上(1)求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標,并在x軸上找一點Q,使得AQ+QB最短,求出點Q的坐標;(2)平移拋物線,記平移后點A的對應點為A,點B的對應點為B,點C(-2,0)和點D(-4,0)是x軸上的兩個定點當拋物線向左平移到某個位置時,AC+CB 最短,求此時拋物線的函數(shù)解析式;當拋物線向左或向右平移時,是否存在某個位置,使四邊形ABCD的周長最短?若存在,求出此時拋物線的函數(shù)解析式;若不存在,請說明理由(2)圖)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44AB(2)圖)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44A
13、4x22A8-2O-2-4y6BCD-449、(2009年北京市)如圖,在平面直角坐標系中,ABC三個頂點的坐標分別為,延長AC到點D,使CD=,過點D作DEAB交BC的延長線于點E.(1)求D點的坐標;(2)作C點關于直線DE的對稱點F,分別連結(jié)DF、EF,若過B點的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形,確定此直線的解析式;(3)設G為y軸上一點,點P從直線與y軸的交點出發(fā),先沿y軸到達G點,再沿GA到達A點,若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍,試確定G點的位置,使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短。(要求:簡述確定G點位置的方法,但不要求證明)10、(200
14、9恩施市)BAPX圖(1)YXBAQPO圖(3)BAPX圖(2)恩施州自然風光無限,特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世著名的恩施大峽谷和世界級自然保護區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè),、到直線的距離分別為和,要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū),向、兩景區(qū)運送游客小民設計了兩種方案,圖(1)是方案一的示意圖(與直線垂直,垂足為),到、的距離之和,圖(2)是方案二的示意圖(點關于直線的對稱點是,連接交直線于點),到、的距離之和(1)求、,并比較它們的大?。唬?)請你說明的值為最?。唬?)擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直,建立如圖(3)所示的直角坐標系,到直線的距離為,請你在旁和旁各修
15、建一服務區(qū)、,使、組成的四邊形的周長最小并求出這個最小值11、(09陜西) 如圖,在銳角ABC中,AB4,BAC45,BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD和AB上的動點,則BM+MN的最小值是_12、(2009年浙江省紹興市)定義一種變換:平移拋物線得到拋物線,使經(jīng)過的頂點設的對稱軸分別交于點,點是點關于直線的對稱點(1)如圖1,若:,經(jīng)過變換后,得到:,點的坐標為,則的值等于_;四邊形為( )A平行四邊形 B矩形C菱形 D正方形(2)如圖2,若:,經(jīng)過變換后,點的坐標為,求的面積;(3)如圖3,若:,經(jīng)過變換后,點是直線上的動點,求點到點的距離和到直線的距離之和的最小值幾何定值問題:
16、【問題1】已知一等腰直角三角形的兩直角邊AB=AC=1,P是斜邊BC上的一動點,過P作PEAB于E,PFAC于F,則PE+PF= 。方法1:特殊值法:把P點放在特殊的B點或C點或BC中點。此種方法只適合小題。方法2:等量轉(zhuǎn)化法:這是絕大部分同學能夠想到的方法,PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。方法3:等面積法:連接AP,總結(jié)語:這雖然是一道動態(tài)幾何問題,難嗎?不難,在解決過程中(方法2抓住了邊長AB 的不變性和PE,PF與BE,AE的不變關系;方法3抓住了面積的不變性),使得問題迎刃而解。過渡:這道題太簡單了,因為等腰直角三角形太特殊了,我若把等腰直角三角形換成一般的等腰三角
17、形,問題有沒有變化,又該如何解決?請看:【變式1】若把問題1中的等腰直角三角形改為等腰三角形,且兩腰AB=AC=5,底邊BC=6,過P作PEAB于E,PFAC于F,則PE+PF還是定值嗎?若是,是多少?若不是,為什么?【變式2】已知P為邊長為a的等邊三角形ABC內(nèi)任意一動點, P到三邊的距離分別為h1,h2,h3,則P到三邊的距離之和是否為定值?為什么?過渡:研究完了P在三角形內(nèi)部運動的情況,我們不防降低對P點的約束,讓這個好動的點P動到三角形外部去,情況又會有何變化?【變式3】已知P為邊長為a的等邊三角形ABC外任意一點,P到三邊的距離分別為h1,h2,h3,則P到三邊的距離之間有何關系?為
18、什么? 圖1 圖2 圖3 圖1 圖2 圖3過渡:前面我們研究的都是以三角形為背景的動態(tài)幾何定值問題,下面再看一道以圓為背景的定值問題。【問題2】已知:已知弧AB為120度,在以AB為弦的弓形劣弧上取一點M(不包括A、B兩點),以M為圓心作圓M和AB相切,分別過A,B作M的切線,兩條切線相交于點C.求證:ACB有定值,并求出這個定值.分析:問:這個圖形中不變的是什么?不變的角是那一個?答: 此題中的不變量是弧AB,因此AMB也是不變量;不變關系是相切。問:已知直線和圓已經(jīng)相切,我們會想到什么?答:連接圓心與切線方法1:問:要證ACB有定值,可以轉(zhuǎn)化為求什么為定值?答:要證ACB有定值,只需證CA
19、B+CBA是定值,只需證MAB+MBA是定值,只要AMB是定值即可。證明:在ABC中,MAB+MBA=180AMB,M是ABC的內(nèi)心,CAB+CBA=2(180AMB).ACB=180(CAB+CBA)=1802(180AMB)= 2AMB18060.ACB有定值60.方法2:問:要證ACB有定值,可以轉(zhuǎn)化為求什么為定值?答:要證ACB有定值,只需證EMF是定值,只需證EMD+FMD是定值,只要AMD+BMD即AMB是定值即可。證明:在四邊形CEMF中,C+EMF=180,M是ABC的內(nèi)心,DMA=EMA, FMB=DMBEMD+FMD=2AMB =240EMF=120 C =180-EMF=
20、60總結(jié):若要證的不變量比較困難,你可以先找找題中比較容易看出的不變量,然后建立兩者之間的聯(lián)系。(設計意圖:多角度,多方位地研究動態(tài)幾何中的定值問題,本題以圓為背景,研究角的定值問題。)過渡:上題是道有關定值的證明題,也就是已經(jīng)明確方向肯定是定值了,若不是證明題呢?【問題3】已知:O是如圖同心圓的圓心,AB是大圓的直徑?點P是小圓上的一動點,大小圓半徑分別為R與r?問:PA2PB2是否有定值,若有,求出定值;若沒有,說明理由.分析:這道題是探索定值的問題,可以先用特位定值法,探索以下是否可能是定值。點P放在直徑AB上.得PA2PB2(Rr)2(. Rr)22(R2r2).點P放在與直徑AB垂直
21、的另一條直徑上也可得PA2PB2 R2r2R2r22(R2r2).說明PA2PB2非常有可能是定值,而且這個值為2(R2r2)證明:(直角三角形計算法)PA2PB2HA2PH2+PH2HB22PH2(OH+R)2+(R-OH)22PH22OH2+2R2=2(PH2OH2) +2R2=2r22R2解答動態(tài)幾何定值探索問題的方法,一般有兩種: 第一種是分兩步完成 :先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法,常用特殊位置定值法,即把動點放在特殊的位置,找出定值的表達式,然后寫出證明. 第二種是采用綜合法,直接寫出證明.特點:圖形中的某個元素,按某種規(guī)律在運動類型:(1)點動
22、 (2)線動 (3)旋轉(zhuǎn)、平移 (4)形變解題思路:不要被動、變迷惑,通過觀察,分析,動中窺靜,變化之中求不變,從而明確圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系,找到解題的途徑。典型例題:定量問題:定積:例1如圖,若四邊形RBCS是等腰梯形,=60,RS=n,BC=m,點P在梯形內(nèi),且點P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h1、h2、h3、h4,梯形的高為h,則h1、h2、h3、h4、h之間的關系為 ;問題一的變式2與右圖中等式有何關系?例2 如圖,已知菱形ABCD外切于O,MN是與AD、CD分別交于M、N的任意一條切線。求證:AMCN為定值。2、定比:例1 如圖,兩圓相交于點A、B,過點B引割線分別交兩圓于C、D,連結(jié)AC、AD。求證:AC:AD為定值。變式練習 如圖,O的半徑為,Q為O外一點,QA、QB切O于A、B,P為直線上任一點,且P在O的外部,QSOP于S,則OPOS= 。例2 設是等邊三角形,P是內(nèi)任意一點,作三角形三邊的垂線PD、PE、PF,點D、E、F是垂足。試證不管P在哪里,總有=。3、定平方和:例 如圖,O的半徑為R,AB、CD是O的任意兩條弦且ABCD于M。求證:+為定值。變式練習 如圖,內(nèi)接于O的四邊形ABCD的對角線AC與BD垂直相交于點K,設O的半徑為R。求證:(1)+是定值。(2)+是定值。4、定倒數(shù)和:例 如圖,過O內(nèi)
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