復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)題課件

1、2022/8/201主要內(nèi)容一、復(fù)數(shù)的幾種表示及運(yùn)算，區(qū)域，曲線；初等復(fù)變函數(shù)。二、柯西-黎曼方程：(1) 判斷可導(dǎo)與解析，求導(dǎo)數(shù)；七、Fourier變換的概念，函數(shù)，卷積。三、柯西積分公式，柯西積分定理，高階導(dǎo)數(shù)公式。四、洛朗展式。五、留數(shù)：(1) 計(jì)算閉路積分；六、保形映射：(1) 求象區(qū)域；八、利用Laplace變換求解常微分方程(組)。(2) 構(gòu)造解析函數(shù)。(2) 計(jì)算定積分。(2) 構(gòu)造保形映射。2022/8/202一、填空題。(1) 的模為，輻角主值為 .。 . (2) 的值為的值為 ，. .。(3) 伸縮率為處的旋轉(zhuǎn)角為映射w = z3 - z在z = i .。 ，. (4) 在

2、區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù) .。充要條件為2022/8/203(7) .。(5) 在 z0 = 1+i處展開成泰勒級數(shù)的 .。收斂半徑為(6) z = 0 是(何種類型的奇點(diǎn))。 . 的(8) ，已知 .。求2022/8/204四、計(jì)算下列各題： 2. 3. 4. 1.二、驗(yàn)證z 平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以為實(shí)部的解析函數(shù)，使是。三、將函數(shù)在與洛朗級數(shù)。處展開為2022/8/205五、求區(qū)域在映射下的像。八、設(shè)函數(shù)在上解析，證明：七、用拉氏變換求解方程：六、求把下圖陰影部分映射到單位圓內(nèi)部的保形映射。i-i2022/8/206二、驗(yàn)證z 平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以為實(shí)部的解析函數(shù)，使是。故 u(x,y)

3、為調(diào)和函數(shù)(1)解:(2) 方法一2022/8/207二、驗(yàn)證z 平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以為實(shí)部的解析函數(shù)，使是。解:故 u(x,y) 為調(diào)和函數(shù)(1)(2) 方法二2022/8/208三、將函數(shù)在與洛朗級數(shù)。處展開為解:(1) 在 z=1 處122022/8/209三、將函數(shù)在與洛朗級數(shù)。處展開為解:(2) 在 z=2 處122022/8/2010四、 1.解:方法一: 利用留數(shù)求解 z=0 為二級極點(diǎn),方法二: 利用高階導(dǎo)數(shù)公式求解2022/8/2011四、 2. 解: z=1 為本性奇點(diǎn),2022/8/2012四、 3. 解:2022/8/2013四、 4. 解:2022/8/2014五

4、、求區(qū)域在映射下的像。解:(z)(w)010ii/21+i(1+i)/2i212022/8/2015六、求把下圖陰影部分映射到單位圓內(nèi)部的保形映射。i-i(z)(w)(z2)(z1)2022/8/2016七、用拉氏變換求解方程：(1) 對方程兩邊取拉氏變換得：解：2022/8/2017(2) 求拉氏逆變換方法一：利用部分分式求解2022/8/2018(2) 求拉氏逆變換方法二：利用留數(shù)求解一階極點(diǎn)二階極點(diǎn)，2022/8/20192022/8/2020八、設(shè)函數(shù)在上解析，證明：證明：(1) 奇點(diǎn)由于(2) 左邊=2022/8/2021 (7) 0;(8) 一、(1) 1,; (2) (5) ; (4) u,v 在D內(nèi)可微，且滿足CR方程 (3) ,4; (6) 可去奇點(diǎn)2022/8/2022(1) 預(yù)處理：使邊界至多由兩段圓弧(或直線段)構(gòu)成。一般步驟：(2) 將邊界的一個(gè)交點(diǎn)z1映射為，(3) 將角形域或者帶形域映射為上半平面。(4) 將上半平面映射為單位圓。工具：幾種簡單的分式映射、冪函數(shù)等。另一個(gè)(交)點(diǎn)z2映射為0從而將區(qū)域映射為角形域或者帶形域。工具： 工具： (對于角形域)(對于帶形域)工具： (無附加條件)(由附加條件確定0 ,z0)2022/8/2023 先通過Laplace變換將微分方程(組)化為象函數(shù)的代數(shù)方程(組)，由代數(shù)方程求出象函數(shù)