曲線積分與曲面積分-習(xí)題課

1、第十章 習(xí)題課曲線積分與曲面積分一 基本要求1理解兩類曲線和曲面積分的概念,了解兩類積分的性質(zhì)以及兩類積分的關(guān)系.2掌握計(jì)算兩類曲線、曲面積分的方法.3掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件.4.了解高斯公式,并會(huì)用公式求曲面積分.5會(huì)用曲線積分和曲面積分求一些幾何量與物理量（弧長(zhǎng),質(zhì)量,重心,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,引力、功和流量等）. 二.要點(diǎn)提示弧微分設(shè)L：（1）對(duì)弧長(zhǎng)（第一類）1.曲線積分的計(jì)算化為定積分計(jì)算（2）對(duì)坐標(biāo)（第二類）設(shè)L：2曲面積分的計(jì)算（化為二重積分）若（1）對(duì)面積（第一類）的曲面積分若 下側(cè)，則若 上側(cè)，則（2）對(duì)坐標(biāo)（第二類）的曲面積分3.格林公式 平面上曲線積分與二重

2、積分的關(guān)系（1）曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件L取正向.以及等價(jià)關(guān)系.（2）添加曲線使積分曲線弧段成為閉曲線，利用格林公式求曲線積分.4.高斯公式 曲面積分與三重積分的關(guān)系三 問(wèn)題與思考問(wèn)題1 下列運(yùn)算正確嗎？解（1）正確. (2) 錯(cuò)誤，因?yàn)槎胤e分的積分包括圓的邊界和內(nèi)部，正確的是問(wèn)題1 設(shè) 為平面在柱面下面兩個(gè)積分的解法是否正確？?jī)?nèi)那一部分的上側(cè)，三 問(wèn)題與思考正確錯(cuò)誤是 在xoy面上的投影， 因?yàn)榈诙€(gè)積分是對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，如果 是下側(cè)，則故正確的作法是： 其中的微元問(wèn)題2. 如何正確理解兩類曲線積分和曲面積分的概念？答：由于實(shí)際需要,曲線積分與曲面積分為兩種類型,有關(guān)質(zhì)量重心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等數(shù)

3、量積分問(wèn)題導(dǎo)出第一類線面積分;有關(guān)變力作功,流體流過(guò)曲面的流量等向量問(wèn)題導(dǎo)出第二類線、面積分. 前者被積函數(shù)化為數(shù)量函數(shù)沿區(qū)域積分,無(wú)需考慮方向性,而后者被積函數(shù)是向量函數(shù),必須考慮方向.因此,一個(gè)函數(shù)的積分可以由積分區(qū)域的有向或無(wú)向分為兩種類型的積分. 在所學(xué)過(guò)的積分中區(qū)域無(wú)向的積分有：重積分,第一類曲線積分和第一類曲面積分區(qū)域有向的積分有：定積分,第二類曲線積分和第二類曲面積分. 曲線的方向是由起點(diǎn)到終點(diǎn)（定積分）或切向量的方向來(lái)確定,曲面的方向則由曲面上點(diǎn)的法向量所指向的側(cè)來(lái)確定.問(wèn)題3 設(shè) 是半球面 的外側(cè).有人說(shuō)：“由對(duì)稱性知故同樣也有 ”, 對(duì)嗎?不對(duì) 討論題 由此給出對(duì)弧長(zhǎng)的曲線

4、積分的幾何意義. 已知一柱面的準(zhǔn)線（平面曲線）和高，可以利用積分求出它的面積嗎？提示：由定積分的幾何意義推廣.答：柱面的側(cè)面積（準(zhǔn)線y=y(x)為底邊，z=f (x,y)為高的面積）y=y(x)平面上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分幾何意義：例1 計(jì)算。 四 典型題目解解 改寫L：因?yàn)榉e分曲線L關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù) 2xy是x例3 設(shè)L為橢圓其周長(zhǎng)為a，求解 原式=的奇函數(shù)，因此有而所以 L取順時(shí)針方向.t 從 變到0. 例4 計(jì)算曲線積分其中L是曲線因此可令再由得解 這里L(fēng)由一般方程給出，首先要將一般從z軸正向看去，方程化為參數(shù)方程. 注意到于是L參數(shù)方程t 從 變到0. 解法2 由對(duì)稱性（輪換性）的下側(cè).是介于之間的部分，它的法向量指向前側(cè).解 由于曲面在xoy面的投影為一半圓周曲線，所以例7 求面積